学易金卷：八年级数学上学期第一次月考02（江西专用，北师大版2024八年级上册第一章～第二章）

数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 02 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 7．_______________ 9．________________ 11．__________________ 8._______________ 10．_________ _______ 12．__________________ 三、（本大题共 5小题，每小题 6分，共 30分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步理） 13.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 14．（6分） 15．（6分） 16．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 四、（本大题共 3小题，每小题 8分，共 24分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步理） 18．（8分） 19.（8分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 五、（本大题共 2小题，每小题 9分，共 18分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步理） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 六、（本大题共 12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 理） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八上第一章~第二章。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 2．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．实数，0，，，，，，，（相邻的两个1之间依次多一个2），无理数的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 6．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．比较大小： （填“”或“”） 8．如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是 ． 9．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 11．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ． 12．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算：． （2）解方程．． 14．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 15．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 16．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 17．第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 19．先阅读，再解答： 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请解决下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；直接写结果 (3)利用你发现的规律计算：． 20．如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，于是进行了以下探索： 若设（其中均为整数），则有，所以． 这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你依照小明的方法解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)若，当均为整数时，用含的式子分别表示，得______，______； (3)若，当均为正整数时，求的值． 22．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷02 参考答案 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C B C D 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7． 8． 9．5 10． 11． 12．9或25 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13． 【详解】解：（1） ；（3分） （2）∵， ∴， ∴或， ∴或．（6分） 14． 【详解】（1）解：∵的平方根是和，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴；（3分） （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为．（6分） 15． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：；（2分） （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，，（3分） ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，（5分） 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴．（6分） 16． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，；（3分） （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 （6分） 17． 【详解】（1）解：四个直角三角形全等， ，， ， 在中，；（3分） （2）解：不是直角三角形， 理由如下： 如下图所示，连接、， 在中，，， ， 在中，，， ， 由可知， ， ， 不是直角三角形．（6分） 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ；（2分） （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为．（5分） （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是．（8分） 19． 【详解】（1）解：（1）由题意可得的有理化因式是， 故答案为：；（2分） （2）原式 故答案为：；（4分） （3）原式 （8分） 20． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴以，，为边的三角形不是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N不是线段的勾股分割点， 故答案为：不是；（2分） （2）∵点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴；（5分） ②为斜边时，有， 设，则， ∴； ∴的长为5或13， ∴的长为或， ∴的长为5或13．（8分） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21． 【详解】（1）解： ∴， 故答案为：7，4；（2分） （2）解：， ∴， 故答案为：，；（4分） （3）解： ∴， ∴． ∵均为正整数， ∴或． 当时，； 当时，， 即的值为28或12．（9分） 22． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即；（4分） （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米．（9分） 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：；（2分） （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ；（6分） （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷02 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．_______________ 9．________________ 11．__________________ 8._______________ 10．_________ _______ 12．__________________ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 14．（6分） 15．（6分） 16．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．（8分） 19.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八上第一章~第二章。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 2．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．实数，0，，，，，，，（相邻的两个1之间依次多一个2），无理数的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 6．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．比较大小： （填“”或“”） 8．如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是 ． 9．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 11．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ． 12．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算：． （2）解方程．． 14．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 15．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 16．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 17．第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 19．先阅读，再解答： 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请解决下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；直接写结果 (3)利用你发现的规律计算：． 20．如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，于是进行了以下探索： 若设（其中均为整数），则有，所以． 这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你依照小明的方法解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)若，当均为整数时，用含的式子分别表示，得______，______； (3)若，当均为正整数时，求的值． 22．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷02 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八上第一章~第二章。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 2．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据，结合正方形的面积公式和勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴； 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； 根据二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的性质逐项进行计算即可． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．实数，0，，，，，，，（相邻的两个1之间依次多一个2），无理数的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，立方根，理解无理数就是无限不循环小数是解答本题的关键．根据无理数的概念先确定无理数个数即可． 【详解】解：， 则在实数，0，，，，，，，（相邻的两个1之间依次多一个2）中是无理数的有， ， ， （相邻的两个1之间依次多一个2）共4个， 故选：B． 5．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 6．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是掌握各运算法则． 正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：根据程序计算得， 第1步：， 第2步：， 第3步返回：， 输出， 故选：D． 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据负数小于正数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8．如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用——最短路径问题，根据圆柱侧面展开图，利用勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：圆柱体的底面周长为，高， 把圆柱侧面沿展开，得到长方形，如图， ， ， 故答案为：． 9．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ， 设到线段的距离为， ， ， 解得：； 故答案为：． 11．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用题中的新定义计算即可求出的值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 解得：． 故答案为：． 12．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】9或25 【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论． 分为两种情况，一种是点E在线段上，另一种是点E在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：将沿翻折得到， ，， ①如图1，当点E在线段上时， ， ，，E三点共线. ， . ， ； ②如图2，当点E在的延长线上时， ，，， . 设，则， ， ， ， 解得， ， 综上，的值为9或 故答案为：9或 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算：． （2）解方程．． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或． 14．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义、无理数估算，属于基础题型，熟练掌握这三者是关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可求出、，估算出的范围即可求出； （2）将、、的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）解：∵的平方根是和，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 15．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2） 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 16．如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)，， (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 17．第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． (1)求线段的长度； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)不是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． 由赵爽弦图中四个直角三角形全等，可知，，从而可求，根据勾股定理可求； 利用勾股定理可以求出，，由可知，因为，不是直角三角形． 【详解】（1）解：四个直角三角形全等， ，， ， 在中，； （2）解：不是直角三角形， 理由如下： 如下图所示，连接、， 在中，，， ， 在中，，， ， 由可知， ， ， 不是直角三角形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 19．先阅读，再解答： 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请解决下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；直接写结果 (3)利用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）将分子分母同乘并将计算即可； （3）根据规律将原式化简后再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得的有理化因式是， 故答案为：； （2）原式 故答案为：； （3）原式 20．如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 【答案】(1)不是； (2)5或13 【分析】本题考查勾股定理，结合勾股定理求解是解决问题的关键． （1）结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得出答案； （2）点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴以，，为边的三角形不是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N不是线段的勾股分割点， 故答案为：不是； （2）∵点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； ∴的长为5或13， ∴的长为或， ∴的长为5或13． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，于是进行了以下探索： 若设（其中均为整数），则有，所以． 这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你依照小明的方法解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)若，当均为整数时，用含的式子分别表示，得______，______； (3)若，当均为正整数时，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)28或12 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出； （2）通过完全平方公式去掉括号表示出； （3）根据题意，求出，根据均为正整数，分两种情况求出的值． 【详解】（1）解： ∴， 故答案为：7，4； （2）解：， ∴， 故答案为：，； （3）解： ∴， ∴． ∵均为正整数， ∴或． 当时，； 当时，， 即的值为28或12． 22．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$