7.3 双曲线-【十年高考】备战2026年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§7.3　双曲线 课时 2016~2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 合计 88.双曲线的定义及标准方程 7 1 0 1 1 0 10 89.双曲线的几何性质 25 6 3 2 3 5 44 90.直线与双曲线的位置关系 0 1 3 0 0 0 4 命题热度 本专题命题热度非常高() 课程标准 备考策略 双曲线 ①了解双曲线的定义、几何图形、标准方程 ②掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) ③了解双曲线的简单应用 ④了解直线与双曲线位置关系的判断方法 ⑤掌握直线被双曲线所截的弦长公式.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题 掌握双曲线的标准方程的结构特征,特别是a,b,c三者之间的关系;掌握双曲线离心率、渐近线的基本求解方法;熟练掌握注意强化与知识网络的交汇点有关题目的训练,如双曲线的定义与性质、与椭圆、抛物线、圆有关知识的交汇点等.判断直线与双曲线位置关系、弦长问题的解题方法 考点88双曲线的定义及标准方程答案P376　 1.(2024·全国甲,理5文6,5分,难度★★)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 (　　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.4 B.3 C.2 D. 2.(2023·天津,9,5分,难度★★★)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 3.(2021·北京,5,4分,难度★★)若双曲线:-=1的离心率为2,且过点(,),则双曲线的方程为 (　　) A.2x2-y2=1 B.x2-=1 C.5x2-3y2=1 D.-=1 4.(2020·天津,7,5分,难度★★★)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为 (　　) A.-=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1 5.(讲解 2020·浙江,8,4分,难度★★★)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|= (　　) A. B. C. D. 6.(讲解 2018·天津,理7文7,5分,难度★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 7.(2017·天津,理5,5分,难度★★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 8.(讲解 2017·全国3,理5,5分,难度★★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 9.(讲解 2017·全国1,文5,5分,难度★★)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为 (　　) A. B. C. D. 10.(2016·天津,理6,5分,难度★★★)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 考点89双曲线的几何性质答案P377　 1.(2025·全国新高考1,3,5分,难度★)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 2.(多选题)(2025·全国新高考2,11,6分,难度★★)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则 (　　) A.∠A1MA2= B.|MA1|=2|MA2| C.C的离心率为 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8 3.(2025·北京,3,4分,难度★)双曲线x2-4y2=4的离心率为 (　　) A. B. C. D. 4.(2025·天津,9,5分,难度★★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P.若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,则双曲线的离心率为 (　　) A.2 B.5 C. D. 5.(2025·上海,15,5分,难度★★)已知两点A(0,1),B(1,2)及曲线x2-y2=1(x≥1,y≥0),若C为该曲线上一点,则三角形ABC的面积 (　　) A.有最大值,无最小值 B.无最大值,有最小值 C.既有最大值也有最小值 D.既无最大值也无最小值 6.(2024·天津,8,5分,难度★★★)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 7.(2023·全国乙,理11文12,5分,难度★★★)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是 (　　) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3)　D.(-1,-4) 8.(讲解 2022·全国乙,理11,5分,难度★★★)双曲线C的两个焦点为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线与C交于M,N两点,且cos∠F1NF2=,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 9.(2021·天津,8,5分,难度★★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线与C,D两点,若|CD|=|AB|,则双曲线的离心率为 (　　) A. B. C.2 D.3 10.(讲解 2021·全国甲,理5,5分,难度★★)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 11.(2021·全国甲,文5,5分,难度★★)点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为(　　) A. B. C. D. 12.(讲解 2020·全国1,文11,5分,难度★★★)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　　) A. B.3 C. D.2 13.(2020·全国2,理8文9,5分,难度★★)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 14.(讲解 2020·全国3,理11,5分,难度★★★)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 15.(2019·北京,文5,5分,难度★★★)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a= (　　) A. B.4 C.2 D. 16.(2019·天津,理5文6,5分,难度★★)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为 (　　) A. B. C.2 D. 17.(2019·全国1,文10,5分,难度★★★)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 (　　) A.2sin 40° B.2cos 40° C. D. 18.(2019·全国2,文12,5分,难度★★★)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　) A. B. C.2 D. 19.(2018·浙江,2,4分,难度★★)双曲线-y2=1的焦点坐标是 (　　) A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2) 20.(2018·全国1,理11,5分,难度★★★)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　) A. B.3 C.2 D.4 21.(2018·全国2,理5文6,5分,难度★★)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 22.(2018·全国3,理11,5分,难度★★★)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 23.(2017·全国2,理9,5分,难度★★★)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 (　　) A.2 B. C. D. 24.(2017·全国2,文5,5分,难度★★★)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.(,2) C.(1,) D.(1,2) 25.(2024·全国新高考1,12,5分,难度★★)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交曲线C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则双曲线C的离心率为　　　　.  26.(2024·北京,13,5分,难度★★)已知双曲线-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　　.  27.(2023·全国新高考1,16,5分,难度★★★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为　　　　　.  28.(2022·北京,12,5分,难度★★)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　　.  29.(2022·浙江,16,4分,难度★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是　　　　.  30.(讲解 2021·全国新高考2,13,5分,难度★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为　　　　　.  31.(2021·全国乙,理13,5分,难度★★)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为　　　　　.  32.(2021·全国乙,文14,5分,难度★★)双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　　.  33.(2020·北京,12,5分,难度★★★)已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　.  34.(2020·江苏,6,5分,难度★★★)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率是　　　　.  35.(2020·全国1,理15,5分,难度★★★)已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　　.  36.(2020·全国3,文14,5分,难度★★)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为　　　　　.  37.(2019·全国1,理16,5分,难度★★★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　　.  38.(2018·上海,2,4分,难度★★)双曲线-y2=1的渐近线方程为　　　　　.  39.(2018·江苏,8,5分,难度★★★)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为　　　　　.  40.(2017·北京,理9文10,5分,难度★★)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=　.  41.(2017·全国1,理15,5分,难度★★★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为. 42.(2017·全国3,文14,5分,难度★★★)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=　　　　　.  43.(2016·北京,理13,5分,难度★★★)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　　.  44.(2016·山东,理13,5分,难度★★★)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　　.  考点90直线与双曲线的位置关系答案P381　 1.(2022·全国甲,文15,5分,难度★★)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值:　　　　　　　　　　.  2.(讲解 2022·全国新高考1,21,12分,难度★★★★)已知点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率; (2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积. 3.(2022·全国新高考2,21,12分,难度★★★★)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x. (1)求C的方程; (2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-的直线与过Q且斜率为的直线交于点M,从下面三个条件①②③中选择两个条件,证明另一个条件成立: ①M在AB上;②PQ∥AB;③|AM|=|BM|. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 4.(2021·全国新高考1,21,12分,难度★★★★)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ §7.3　双曲线 考点88　双曲线的定义及标准方程 1.C　设点P(-6,4),F1(0,-4),F2(0,4), 则e==2.故选C. 2. D　双曲线的渐近线方程为y=±x,由双曲线的对称性,不妨过点F2作渐近线y=x的垂线,如图所示.设点Pm,,F1(-c,0),F2(c,0), 则有=. 因为PF2⊥OP,所以·=-1,即·=-1. 整理得m(a2+b2)=a2c. 又a2+b2=c2,所以m=,即P,. 由题意,知点F2到渐近线y=x的距离|PF2|=2,即=b=2. 又==,将b=2代入上式,整理得a2-2a+2=0,解得a=. 故所求双曲线的方程为-=1.故选D. 3.B　由=2,a2+b2=c2得b2=3a2.将点(,)的坐标代入方程-=1,解得a2=1.故所求双曲线的标准方程为x2-=1.故选B. 4.D　∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为+=1,即y=-bx+b, ∴-b=-且-b·=-1,∴a=1,b=1.故选D. 5.D　由条件可知点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3, 双曲线方程为x2-=1(x>0).又点P为函数y=3图象上的点, 联立方程解得x2=,y2=. 所以|OP|==.故选D. 6.C　由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E. 由题易知EF为梯形ABCD的中位线, 所以|EF|=(d1+d2)=3. 又因为点F(c,0)到y=x的距离为=b,所以b=3,b2=9. 因为e==2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为-=1.故选C. 7.B　∵e2=1+=2,∴=1,a=b. ∵F(-c,0),P(0,4),∴kPF===1.∴c=4. 又a2+b2=c2=16,∴a2=b2=8. ∴所求双曲线的方程为-=1. 8.B　由题意得=,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为-=1. 9.D　由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.故选D. 10.D　根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有⇒ 则xy=·=⇒b2=12. 故所求双曲线的方程为-=1.故选D. 考点89　双曲线的几何性质 1.D　(方法1)由题知,2b=×2a,∴b=a, ∴c==2a, ∴e==2.故选D. (方法2)由题可得,=, 则e====2.故选D. 求双曲线离心率(值或范围)的两种方法 (1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解;若已知a,b,可利用e=求解. (2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程(不等式),借助于e=,转化为关于e的n次方程(不等式)求解. 2.ACD　因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-π=,A正确;以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x,由设M(a,b),N(-a,-b),又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2.在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=,所以|MA1|∶|MA2|=2∶,所以B错误;所以|A1M|===,由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13,所以e=,所以C正确;因为当a=时,c2=26,从而b2=24,即b=2,所以=2=2·2a·b·=2ab=2××2=8,所以D正确.故选ACD. 求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 3.B　由题意得双曲线的标准方程为-y2=1, ∴a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5, ∴a=2,c=, 则e==.故选B. 4.A　 如图,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,而|PF1|+|PF2|=3|F1F2|=6c, ∴|PF1|=a+3c,|PF2|=3c-a. 又=c,∴p=2c,即y2=4cx. 设P(x0,y0),过点P作PH垂直于准线x=-,H为垂足. 由抛物线定义得|PF2|=x0+c=3c-a,∴x0=2c-a. 又|PH|=|PF2|,|PH|2+=|PF1|2,∴|PF2|2+=|PF1|2,∴y0==. 代入方程y2=4cx,得12ac=4c(2c-a). ∴2a=c,则e==2.故选A. 5. A　由题意,知直线AB与曲线x2-y2=1(x≥1,y≥0)的渐近线平行,作出图象如图,当点C在双曲线右上半支上无限趋近渐近线时,△ABC在AB边上的高无限趋近渐近线与直线AB的距离但取不到,可知△ABC的面积无最小值.当点C位于点(1,0)时,△ABC在AB边上的高最大,此时面积有最大值.故选A. 6.A　由已知,得∠F1PF2=90°.由直线PF2的斜率为2,得|PF1|=2|PF2|,又由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a,从而|PF1|=4a,|PF2|=2a,故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×4a×2a=4a2.依题意,4a2=8,即a2=2.设双曲线的半焦距为c.依题意,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=20a2,从而4c2=20a2,即c2=5a2,进而b2=c2-a2=4a2=8.故双曲线的方程为-=1.故选A. 7.D　由题可知若线段AB中点在直线x=1或直线x=-1上时,只有kAB∈(-3,3)时,AB与双曲线有两个交点. 设AB中点M,根据双曲线性质有kAB·kOM==9. 对于A选项,kOM=1,得kAB=9,不满足; 对于B选项,kOM=-2,得kAB=-,不满足; 对于C选项,kOM=3,得kAB=3,不满足; 对于D选项,kOM=4,得kAB=,满足.故选D. 8.C　设双曲线C的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,则由题意可知|NF1|-|NF2|=2a,|F1F2|=2c.如图所示: 设切线与圆D的切点为A,连接DA,过点F2作F2B⊥NF1于点B,则D为F1F2的中点,DA∥F2B,|DA|=a, ∴|F2B|=2a,|BF1|===2b. 在Rt△BNF2中,∵cos∠F1NF2=,|F2B|=2a, ∴sin∠F1NF2=,|NF2|=a,|BN|=a, ∴|NF1|=|BN|+|BF1|=a+2b, ∴|NF1|-|NF2|=a+2b-a=2a, ∴b=a,∴c==a, ∴离心率e==. 9.A　根据题意知抛物线准线方程为x=-c, ∴|AB|=,|CD|=. ∵|CD|=|AB|,∴c=b.又c2=a2+b2,∴a=b, ∴双曲线的离心率e==,故选A. 10.A　不妨设|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7, 所以2c=|F1F2|=,所以c=,2a=|PF1|-|PF2|=2,a=1,所以离心率e=. 双曲线的离心率或其取值范围问题 求双曲线 离心率的 常用方法 公式法 直接求出a,c或找出a,b,c之间任意两个的关系,代入公式e===. 构造法 由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于e的一元方程求解. 求双曲线离心率 取值范围的思路 根据条件得到不等关系,并想办法转化为关于a,b,c的不等关系,结合c2=a2+b2和=e得到关于e的不等式,然后求解. 11.A　由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为=.故选A. 12.B　由题意知a=1,b=,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0). 因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上, 故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16. 由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2, 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4, 所以|PF1|·|PF2|=6, 所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=3. 13.B　由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±x. 因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点, 所以不妨令D(a,-b),E(a,b), 所以|DE|=2b.所以S△ODE=×2b·a=ab=8. 所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时取等号. 所以c≥4,所以2c≥8.所以双曲线C的焦距的最小值为8. 故选B. 14.A　方法一:不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a, ① 又PF1⊥PF2,故|PF1|2+|PF2|2=4c2, ② 由①得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2, ③ 由②③得|PF1|PF2|=2c2-2a2, 所以=|PF1||PF2|=c2-a2=4. 又=,可得a=1. 方法二:由PF1⊥PF2及=4,知==4,则b=2.又=,则c2=5a2, 所以a2+b2=5a2,解得a=1. 方法二中利用了双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点三角形的面积公式,即点P在双曲线上(异于顶点),且∠F1PF2=α,则=. 15.D　∵双曲线的离心率e==,c=, ∴=,解得a=,故选D. 16.D　由抛物线方程可得l的方程为x=-1. 由得y1=-.由得y2=. ∴AB=.由|AB|=4|OF|得=4,故=2. 2==.∴e=,故选D. 17.D　由已知可得-=tan 130°=-tan 50°, 则e=== ===.故选D. 18. A　如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴. ∵|PQ|=|OF|=c, ∴|PA|=. ∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心, ∴|OA|=.∴P,. 又点P在圆x2+y2=a2上,∴+=a2,即=a2, ∴e2==2,∴e=,故选A. 19.B　∵c2=a2+b2=3+1=4,∴c=2. 又焦点在x轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0). 20. B　如图,由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±x, 所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°. 不妨设∠OMN=90°, 则|MN|=|OM|. 又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30°=, 所以|MN|=3. 21.A　∵e2===2+1=3,∴=. ∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±x, ∴渐近线方程为y=±x. 22. C　如图,过点F1作OP的反向延长线的垂线,垂足为P',连接P'F2,由题意可知,四边形PF1P'F2为平行四边形,且△PP'F2是直角三角形. 因为|F2P|=b,|F2O|=c, 所以|OP|=a. 又|PF1|=a=|F2P'|,|PP'|=2a, 所以|F2P|=a=b, 所以c==a,所以e==. 23.A　可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为==,即=,所以c=2a,所以e=2.故选A. 24.C　由题意得e2===1+. 因为a>1,所以1<1+<2.所以1<e<.故选C. 25.　 由双曲线的对称性不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.由题意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8,∴a=4.易知AF2⊥F1F2, ∴在Rt△AF2F1中,有|F1F2|===12.设双曲线C的焦距为2c(c>0),则2c=|F1F2|=12,∴c=6. ∴双曲线C的离心率e===. 本题解题的关键是抓住Rt△AF1F2三边关系,由通径长可得|AF2|,利用双曲线定义求出a,再由勾股定理求得c,进而得离心率. 26.±　由-y2=1,得双曲线的渐近线方程为y=±x.∵直线过点(3,0),且与双曲线只有一个交点,∴直线与双曲线的渐近线平行,∴直线的斜率为±. 利用几何法判断直线与双曲线的位置关系 可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系.设此双曲线的渐近线斜率为±k,当直线的斜率等于±k时,直线与双曲线相交于一点,如图,直线①③均与双曲线右支交于一点;当直线过P点且斜率在(-k,k)上时,直线与双曲线左右两支各交于一点,如直线②;当直线过点P且斜率在(-∞,-k)∪(k,+∞)上时,直线可能与双曲线的右支交于两点,如直线⑥,也可能与双曲线右支相切,如直线④,还可能与双曲线相离,如直线⑤. 27.　方法一(坐标法):设A(x,y),B(0,m), 不妨令点A在第一象限,则m<0. 设F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,则=(x+c,y),=(c,m),=(x-c,y),=(-c,m). 由⊥,=-, 有·=(x+c)c+ym=0,(*)式 由(*)式得 代入(x+c)c+ym=0中,得m=-2c. 则点A坐标为c,c,代入-=1中,有-=1, 即25e2-=9,解得e2=或e2=(舍去),故e=. 方法二(解三角形法):由=-,得=.设|F2A|=2x,|F2B|=3x. 由对称性可得|F1B|=3x.由定义可得,|AF1|=2x+2a,|AB|=5x.设∠F1AF2=θ,则sin θ==,从而cos θ==,解得x=a, 所以|AF1|=4a,|AF2|=2a. 在△AF1F2中,由余弦定理可得cos θ==,即5c2=9a2,从而可得e=. 28.-3　由题意知a2=1,b2=-m,其中m<0,所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x,则有=,解得m=-3. 29.　由题意可知,F(-c,0),A(x,y),B(x2,y2), ∴=(x2+c,y2),=(x1+c,y1), 由=3,∴(x1+c,y2)=3(x1+c,y1),得x2=3x1+2c, 由 消掉y解得x2=,则x1=-c. ① 由消掉y得16x2-(x+c)2=16a2. ② 将①代入②式得,(5x1+c)(3x1-c)=16a2, 所以-c+c-c-c=16a2, 整理得=,故e=. 30.y=±x　∵e==2,∴==1+=4, ∴=3,∴=. ∴渐近线方程为y=±x. 31.4　由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=± x,得-=-,解得m=3.可得C的焦距为2=4. 32.　由双曲线方程可得c==3, 即双曲线的右焦点为F(3,0). 则点F到直线x+2y-8=0的距离d==. 33.(3,0)　　在双曲线C中,a=,b=, 则c==3, 则双曲线C的右焦点坐标为(3,0), 双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0, 所以,双曲线C的焦点到其渐近线的距离为=. 34.　由双曲线-=1(a>0),得其渐近线方程为y=±x,又因为其中一条为y=x, 所以a=2.所以c2=a2+b2=4+5=9, 所以c=3.则离心率e==. 35.2　由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=. 由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc,±. ∵AB的斜率为3,∴Bc,. ∵kAB=====e+1=3,∴e=2. 36.　由题意得=,即b=a. ∵c2=a2+b2=3a2,即c=a,∴e==. 37.2　如图,由=,得|F1A|=|AB|. 又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|. 由·=0,得F1B⊥F2B. 则OA⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|. 故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B, 得∠BOF2=60°.则=tan 60°=. 所以e====2. 38.y=±x　由题意可知a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,所求渐近线方程为y=±x=±x. 39.2　因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为==b,所以b=c. 因为a2=c2-b2=c2-c2=c2, 所以a=c,e=2. 40.2　由e2=1+=1+=3,得m=2. 41.　 如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0, ∴点A到l的距离d=. 又∠MAN=60°,MA=NA=b, ∴△MAN为等边三角形, ∴d=MA=b,即=b,∴a2=3b2, ∴e===. 42.5　渐近线方程为y=±x.由题意得=,解得a=5. 43.2　∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°, ∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x. ∴=1,即a=b.又|OB|=2,∴c=2. ∴a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2. 44.2　由双曲线和矩形的对称性可知AB⊥x轴,不妨设A点的横坐标为c,则由-=1,解得y=±.设Ac,,Bc,-,则|AB|=,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-(舍去),所以离心率为2. 考点90　直线与双曲线的位置关系 1.2(答案不唯一,只要1<e≤即可)　由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需≤2即可. 由≤2,得≤4,所以e2≤5,故1<e≤. 2.解 (1)∵点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上, ∴-=1,解得a2=2. ∴双曲线的标准方程为-y2=1. 易知直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y=kx+m, 点P(x1,y1),Q(x2,y2),由 得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0, ∴Δ>0,x1+x2=,x1x2=. 设直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ, 则kAP+kAQ=+=0, ∴(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0, ∴(kx1+m-1)(x2-2)+(kx2+m-1)(x1-2)=0, 整理,得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0, ∴2k(-2m2-2)+4km(m-1-2k)-4(m-1)(1-2k2)=0, 即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-1)=0. ∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线PQ过点A(2,1),舍去,∴k=-1,即直线l的斜率为-1. (2)由(1)知,直线l的方程为y=-x+m,x1+x2=4m,x1x2=2m2+2,则+=12m2-4, ∴|PQ|=·=·=4,点A(2,1)到直线l的距离d==. ∴△PAQ的面积S△PAQ=d·|PQ|=|3-m|.由tan∠PAQ=2得cos∠PAQ=,sin∠PAQ=. ∴S△PAQ=|PA||QA|sin∠PAQ=|PA||QA|, ∴|PA|·|QA|=|3-m|. 在△PAQ中,由余弦定理得 cos∠PAQ==, ∴|PA|2+|QA|2-|PQ|2=(x1-2)2+(y1-1)2+(x2-2)2+(y2-1)2-(x1-x2)2-(y1-y2)2=2m2-12m+18=|PA||QA|. ∴m2-6m+9=|3-m|, ∴|m-3|=或m-3=0, 即m=或m=3(舍去,若m=3,则点A在直线PQ上). ∴S△PAQ=××=. 直线与双曲线相交的弦长问题的求解方法 设直线与双曲线相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则可结合一元二次方程根与系数的关系得到如下弦长公式:|MN|==|x2-x1|=|y2-y1|=·(其中k为直线的斜率,a为x2的系数). 3.解 (1)由题意得=,=2,解得a=1,b=,因此双曲线C的方程为x2-=1. (2)设PQ的方程为y=kx+b(k≠0), 联立曲线C的方程可得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0, 则x1+x2=,x1x2=-, x1-x2==. 设点M(xM,yM),则 ②-①,得y1-y2=2xM-(x1+x2), 而y1-y2=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2), 故2xM=k(x1-x2)+(x1+x2), 于是xM=. ①+②,得2yM-(y1+y2)=(x1-x2), 而y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+x2)+2b,故2yM=k(x1+x2)+(x1-x2)+2b, 于是yM==xM. 因此点M的轨迹为直线y=x,其中k为直线PQ的斜率. 若选择①②: 由条件②,知直线AB的方程为y=k(x-2). 设A(xA,yA),B(xB,yB),则 解得xA=,yA=, 同理可得xB=,yB=-, 此时xA+xB=,yA+yB=. 而点M的坐标满足 解得xM==,yM==,故M为AB的中点,即=. 若选择①③: 当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时M不在直线y=x上,矛盾; 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x-2),m≠0,设A(xA,yA),B(xB,yB),则 解得xA=,yA=. 同理可得xB=,yB=-. 此时xM==,yM==. 由于点M同时在直线y=x上, 故=×,∴k=m. 因此PQ∥AB. 若选择②③: 由条件②,知直线AB的方程为y=k(x-2). 设A(xA,yA),B(xB,yB),则 解得xA=,yA=, 同理可得xB=,yB=-. 设线段AB的中点为C,C(xC,yC), 则xC==,yC==. 由于|AM|=|MB|,故M在AB的垂直平分线上,即点M在直线y-yC=-(x-xC)上. 将该方程与y=x联立,可得xM==xC,yM==yC,即点M恰为AB的中点. 故点M在直线AB上. 4.解 (1)∵|MF1|-|MF2|=2,且F1(-,0),F2(,0), ∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足 ∴∴C的方程为x2-=1(x≥1). (2)如图,设T,m,显然直线AB的斜率与直线PQ的斜率都存在. 设直线AB的方程为y=k1x-+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得16x2-x2-x++2k1mx-+m2=16, 即(16-)x2+(-2k1m)x-+k1m-m2-16=0. ∴|TA|·|TB|=(1+)x1-x2-=(1+)x1x2-(x1+x2)+=(1+)-·+ =(1+)=(1+)·. 设kPQ=k2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+)·. ∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|, ∴(1+)·=(1+)·. ∴-16=-16.∴=. ∵k1≠k2,∴k1=-k2.∴k1+k2=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$