4.3 复数-【十年高考】备战2026年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§4.3　复　数 考点53　复数的概念 1.B　由题意得a+3i=-1+bi,故a=-1,b=3,故选B. 2.A　∵z=1-2i,∴=1+2i,∴z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i=0, ∴解得故选A. 3.A　由(1+2i)a+b=2i,得a+b+2ai=2i. ∵a,b∈R,∴解得故选A. 4.C　由条件可知a-2=0,即a=2,故选C. 5.D　∵===+i, ∴复数的虚部是. 6.D　z=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.故选D. 7.A　由z=a+i,得z·=|z|2=a2+3=4, 所以a2=1,a=±1,选A. 8.C　由题意,得z==1+i,故|z|==. 9.B　p1:设z=a+bi(a,b∈R),则==∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1是真命题; p2:i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2是假命题; p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3是假命题; p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4是真命题. 10.C　∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C. 11.B　设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B. 12.3　z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3. 13.　===2-3i. ==. 14.2　∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i的实部为0, ∴a-2=0,∴a=2. 15.-2　∵==-i为实数, ∴-=0,即a=-2. 16.　由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|==,答案为. 17.5　因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z的实部是5. 考点54　复数的四则运算 1.C　∵(1+5i)i=-5+i,∴虚部为1.故选C. 2.A　由z=1+i,得===-i.故选A. 复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 3.B　由题意,得z===2+2i, ∴|z|==2.故选B. 4.C　∵=1+i,∴z=(z-1)(1+i)=(1+i)z-(1+i), ∴iz=1+i,∴z==1-i. 5.C　z=i(i-1)=-1-i.故选C. 6.A　由已知得i(+z)=i(5-i+5+i)=10i.故选A. 7.D　z=i,则z·=-()2·i2=2.故选D. 8.A　∵z=====-i,∴=i.∴z-=-i-i=-i.故选A. 9.C　由(a+i)(1-ai)=2,可得a+i-a2i+a=2,即2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故选C. 10.C　==1-i,故选C. 11.B　因为z=====1-2i,所以=1+2i.故选B. 12.C　|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|==.故选C. 13.D　∵i(1-z)=1,∴z==1+i,∴=1-i. ∴z+=2.故选D. 14.D　(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i.故选D. 15.B　∵i·z=3-4i,∴z=, ∴|z|===5,故选B. 16.C　= ==-+i,故选C. 17.D　iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i, 则|iz+3|=|2-2i|=2,故选D. 18.C　∵z=2-i,∴=2+i.∴+i=2+2i. ∴z(+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.故选C. 复数的运算类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可. 19.D　z===1+i.故选D. 20.C　因为(1+ai)i=3+i,所以-a+i=3+i. 由复数相等的充要条件,可得-a=3,即a=-3.故选C. 21.B　由题意得z===-1+i. 22.C　设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,2(z+)+3(z-)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i. 23.C　由已知可得,z===-(4i-3)=3-4i. 24.D　====-i,故选D. 25.B　(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i,故选B. 26.D　(方法一)由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i, 故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2. (方法二)|z2-2z|=|z|·|z-2|=|1+i|·|i-1|=×=2.故选D. 求复数的模的方法 求复数的模的相关问题时,可以直接根据复数的模的公式|a+bi|=(a,b∈R)求解,也可以利用性质||=|z|,|z2|=||2=z·,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=进行计算. 27.C　因为z=1+2i+i3=1+2i+i2·i=1+2i-i=1+i,所以|z|==. 28.A　(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4.故选A. 29.D　由(1+i)=1-i,知====-i,则z=i.故选D. 30.D　∵z=2+i,∴=2-i. ∴z·=(2+i)(2-i)=5.故选D. 31.C　∵z===-i, ∴|z|==.故选C. 32.D　z====1+i.故选D. 33.B　∵===1+i, ∴复数的共轭复数为1-i. 34.C　因为z=+2i=+2i=i,所以|z|=1. 35.D　===-+i. 36.D　i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. 37.D　(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i. 38.A　(方法一)∵z==1+=1-i, ∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i. (方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2, 即-z2=2i.所以z2=-2i. 复数运算的技巧 (1)充分观察题中的数字特征:==i. (2)充分利用复数模、共轭复数的运算性质:z·=|z|2=||2=|z2|. (3)利用一些基本结论简化计算: (1±i)2=±2i,=i,=-i; i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*). 39.D　===2-i,故选D. 40.B　(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B. 41.A　===i,故选A. 42.　因为===-3i+1, 所以=|-3i+1|=. 43.2　设z=1+bi(b≠0),则z+=1+bi+=1+bi+=1++i, 因为m∈R,所以b-=0,解得b=±1, 所以m=1+=1+1=2. 44.7-i　(+i)(-2i)=5+i-2i+2=7-i. 45.4+i　===4+i. 46.4-i　====4-i. 47.3-2i　====3-2i. 48.2　方法一(代数法)设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. ∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4. 又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i, ∴a+c=,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4. ∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12. ∴|z1-z2|==2. 方法二(复数的几何意义)设z1,z2在复平面内对应的向量分别为,,由题意知||=||=2, |+|=|+i|=2, 则以,为邻边的平行四边形为菱形,且∠Z2OZ1=120°,如图所示.则|z1-z2|=|-|=2. 方法三(向量法)原题等价于平面向量a,b满足|a|=|b|=2,且a+b=(,1),求|a-b|.因为|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2,所以4+|a-b|2=16,所以|a-b|=2. 49.5　因为(1+i)z=1-7i,所以|1+i||z|=|1-7i|, 即|z|=5,解得|z|=5. 50.4-i　====4-i. 51.5　2　由题意可得a2-b2+2abi=3+4i, 则解得则a2+b2=5,ab=2. 52.2　(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a, 则所以即=2.故答案为2. 考点55　复数的几何意义 1.C　|z|==,故选C. 2.A　∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A. 3.A　===+i,则复数在复平面内对应的点的坐标为,,故选A. 4.B　由题意得z=1+2i,∴i·z=i-2.故选B. 5.C　(方法一)由题意可知z=x+yi(x,y∈R). 因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.故选C. (方法二)∵|z-i|=1表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1,∴x2+(y-1)2=1.故选C. 由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时也可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. 6.C　由z=-3+2i,得=-3-2i,则在复平面内对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 7.D　∵===+i,∴+i的共轭复数为-i,而-i在复平面内对应的点的坐标为,点位于第四象限,故选D. 8.B　设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以解得a<-1.故选B. 9.C　由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C. 10.2　设z=a+bi,a,b∈R,由z2=,得a2-b2+2abi=a2-b2-2abi,化简得ab=0. 由|z|≤1,得a2+b2≤1. 可知复平面内的点Z(a,b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动,如图所示. ∵|z-2-3i|表示复平面内点Z(a,b)到点M(2,3)的距离,由图可知,|MZ|min=|MZ1|或|MZ2|. 又|MZ1|==2, |MZ2|==, ∵2<,∴|z-2-3i|的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ §4.3　复　数 课时 2016~2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 合计 53.复数的概念 14 0 3 0 0 0 17 54.复数的四则运算 24 7 5 6 6 4 52 55.复数的几何意义 6 1 0 1 1 1 10 命题热度 本专题命题热度非常高() 课程标准 备考策略 复数 ①通过方程的解,认识复数 ②理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义 ③掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义 熟练掌握复数的基本运算法则;准确理解复数的相关概念,避免混淆;解决复数的几何意义时,从形的直观性方面来理解 考点53复数的概念答案P303　 1.(2022·浙江,2,4分,难度★)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则 (　　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 2.(讲解 2022·全国乙,理2,5分,难度★)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则 (　　) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 3.(2022·全国乙,文2,5分,难度★)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 (　　) A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 4.(2020·浙江,2,4分,难度★)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.(2020·全国3,理2,5分,难度★)复数的虚部是 (　　) A.- B.- C. D. 6.(2019·全国2,文2,5分,难度★)设z=i(2+i),则= (　　) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 7.(2017·山东,理2,5分,难度★)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a= (　　) A.1或-1 B.或- C.- D. 8.(2017·全国3,理2,5分,难度★)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= (　　) A. B. C. D.2 9.(讲解 2017·全国1,理3,5分,难度★)设有下面四个命题 p1:若复数z满足∈R,则z∈R; p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=; p4:若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为 (　　) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 10.(2017·全国1,文3,5分,难度★)下列各式的运算结果为纯虚数的是 (　　) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 11.(2016·山东,理1,5分,难度★)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= (　　) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 12.(2020·江苏,2,5分,难度★)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是　　　　.  13.(2019·天津,理9文9,5分,难度★)i是虚数单位,则的值为　　　　.  14.(2019·江苏,2,5分,难度★)已知复数(a+2i)·(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　　.  15.(2017·天津,理9文9,5分,难度★)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为　　　　　.  16.(2017·江苏,2,5分,难度★)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是　　　　　.  17.(2016·江苏,2,5分,难度★)复数z=(1+2i)·(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是　　　　　.  考点54复数的四则运算答案P304　 1.(2025·全国新高考1,1,5分,难度★)(1+5i)i的虚部为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 2.(2025·全国新高考2,2,5分,难度★)已知z=1+i,则= (　　) A.-i B.i C.-1 D.1 3.(2025·北京,2,4分,难度★)已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|= (　　) A. B.2 C.4 D.8 4.(2024·全国新高考1,2,5分,难度★)若=1+i,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 5.(2024·北京,2,4分,难度★)已知=i-1,则z= (　　) A.1-i B.-i C.-1-i D.1 6.(2024·全国甲,理1,5分,难度★)若z=5+i,则i(+z)= (　　) A.10i B.2i C.10 D.2 7.(2024·全国甲,文1,5分,难度★)设z=i,则z·= (　　) A.4 B. C.-2 D.2 8.(2023·全国新高考1,2,5分,难度★)已知z=,则z-= (　　) A.-i B.i C.0 D.1 9.(2023·全国甲,理2,5分,难度★)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 10.(2023·全国甲,文2,5分,难度★)=(　　) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 11.(2023·全国乙,理1,5分,难度★)设z=,则= (　　) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 12.(2023·全国乙,文1,5分,难度★)|2+i2+2i3|=(　　) A.1 B.2 C. D.5 13.(讲解 2022·全国新高考1,2,5分,难度★)若i(1-z)=1,则z+= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 14.(2022·全国新高考2,2,5分,难度★)(2+2i)·(1-2i)= (　　) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 15.(2022·北京,2,4分,难度★)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= (　　) A.1 B.5 C.7 D.25 16.(2022·全国甲,理1,5分,难度★)若z=-1+i,则= (　　) A.-1+i B.-1-i C.-+i D.--i 17.(2022·全国甲,文3,5分,难度★)若z=1+i,则|iz+3|=(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 18.(讲解 2021·全国新高考1,2,5分,难度★)已知z=2-i,则z(+i)= (　　) A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i 19.(2021·北京,2,4分,难度★)若复数z满足(1-i)·z=2,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 20.(2021·浙江,2,4分,难度★)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a= (　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 21.(讲解 2021·全国甲,理3文3,5分,难度★)已知(1-i)2z=3+2i,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.-+i D.--i 22.(讲解 2021·全国乙,理1,5分,难度★)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z= (　　) A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 23.(2021·全国乙,文2,5分,难度★)设iz=4+3i,则z= (　　) A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 24.(2020·山东,2,5分,难度★)= (　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 25.(2020·海南,2,5分,难度★)(1+2i)(2+i)= (　　) A.4+5i B.5i C.-5i D.2+3i 26.(讲解 2020·全国1,理1,5分,难度★)若z=1+i,则|z2-2z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 27.(2020·全国1,文2,5分,难度★)若z=1+2i+i3,则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 28.(2020·全国2,文2,5分,难度★)(1-i)4=(　　) A.-4 B.4 C.-4i D.4i 29.(2020·全国3,文2,5分,难度★)若(1+i)=1-i,则z= (　　) A.1-i B.1+i C.-i D.i 30.(2019·北京,理1文2,5分,难度★)已知复数z=2+i,则z·= (　　) A. B. C.3 D.5 31.(2019·全国1,文1,5分,难度★★)设z=,则|z|= (　　) A.2 B. C. D.1 32.(2019·全国3,理2,5分,难度★)若z(1+i)=2i,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 33.(2018·浙江,4,4分,难度★)复数(i为虚数单位)的共轭复数是 (　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 34.(讲解 2018·全国1,理1文2,5分,难度★)设z=+2i,则|z|= (　　) A.0 B. C.1 D. 35.(2018·全国2,理1,5分,难度★)=(　　) A.--i B.-+i C.--i D.-+i 36.(2018·全国2,文1,5分,难度★)i(2+3i)= (　　) A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i 37.(2018·全国3,理2文2,5分,难度★)(1+i)·(2-i)= (　　) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 38.(2017·山东,文2,5分,难度★)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= (　　) A.-2i B.2i C.-2 D.2 39.(2017·全国2,理1,5分,难度★)= (　　) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 40.(2017·全国2,文2,5分,难度★)(1+i)(2+i)=(　　) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i 41.(2016·北京,文2,5分,难度★)复数= (　　) A.i B.1+i C.-i D.1-i 42.(2025·天津,10,5分,难度★)i为虚数单位,则=　　　　.  43.(2024·上海,9,5分,难度★★)已知虚数z的实部为1,且z+=m(m∈R),则实数m为　　　　　.  44.(2024·天津,10,5分,难度★)已知i是虚数单位,复数(+i)(-2i)=　　　　　.  45.(2023·天津,10,5分,难度★)已知i是虚数单位,化简的结果为　　　　　.  46.(2021·天津,10,5分,难度★)i是虚数单位,复数=　　　　.  47.(2020·天津,10,5分,难度★)i是虚数单位,复数=　　　　　.  48.(讲解 2020·全国2,理15,5分,难度★★)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　　.  49.(2018·上海,5,4分,难度★)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=　　　　　.  50.(2018·天津,理9文9,5分,难度★)i是虚数单位,复数=　　　　　.  51.(2017·浙江,12,6分,难度★)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　.  52.(2016·天津,理9,5分,难度★)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为　　　　　.  考点55复数的几何意义答案P305　 1.(2024·全国新高考2,1,5分,难度★)已知z=-1-i,则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 2.(2023·全国新高考2,1,5分,难度★)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(讲解 2021·全国新高考2,1,5分,难度★)复数在复平面内对应的点所在象限为 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2020·北京,2,4分,难度★)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= (　　) A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i 5.(讲解 2019·全国1,理2,5分,难度★)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 6.(2019·全国2,理2,5分,难度★)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(讲解 2018·北京,理2文2,5分,难度★)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.(2017·北京,理2,5分,难度★)若复数(1-i)·(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 9.(2017·全国3,文2,5分,难度★)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.(2025·上海,10,5分,难度★★)若i为虚数单位,复数z满足z2=,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$