9.2 成对数据的统计分析-【十年高考】备战2026年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§9.2　成对数据的统计分析 考点112　变量的相关性、一元线性回归模型 1.C　成对数据相关分析中,若相关系数为正数,则两个变量的值多为同时增加或同时减少.由此可知A,B,D选项错误,C选项正确.故选C. 2.A　观察4个选项可知,选项A中的散点分布比较集中,且基本接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关.故选A. 3.D　结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x. 4.C　由已知得=xi=22.5,=·yi=160,又=4,所以=-=160-4×22.5=70,故当x=24时,=4×24+70=166.故选C. 5.解 (1)由题意知,所给数据的极差为216.93-206.78=10.15,中位数为=210.015. (2)P(恰有2个数据在211以上的概率)==. (3)由题意知,=×(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399,=2 006,把=211.399代入y=-0.311x+, 解得=835.265. 将x=2 028代入y=-0.311x+835.265,可求得y=204.557. 故预测2028年该项目金牌队的成绩为204.557 s. 6.解 (1)580人中日均体育锻炼时长不少于1小时人数占比为=. 该地区29 000名初中学生中日均体育锻炼时长不少于1小时的人数约为29 000×=12 500. (2)该地区初中学生的日均体育锻炼时长约为×(5+134)+×(44+147)+×(42+137)+×(3+40)+×(1+27)=≈0.9(小时). (3) 时长 [1,2) 其他 总数 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 ①提出原假设:该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关. ②确定显著性水平α=0.05,P(χ2≥3.841)≈0.05. ③χ2=≈3.976>3.841. ④否定原假设,即该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时有关. 7.解 (1) 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 K2==4.687 5, 因为3.841<K2<6.635,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)由题意,得==0.64,p+1.65=0.5+1.65××≈0.5+1.65××≈0.5+1.65×≈0.567. 因为>p+1.65, 所以该工厂产品的优级品率提高了. 8.解 (1)依题意,==0.06,==0.39, 故估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为=0.06, 平均一棵的材积量为=0.39. (2)依题意,所求样本相关系数 r= = ≈0.97. (3)由题意及(1),可知该林区这种树木的总材积量的估计值为×186=1 209(m3). 9.解 (1)由已知得样本平均数=yi=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12 000. (2)样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数 r===≈0.94. (3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样. 理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 10.解 (1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠. (以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 一元线性回归模型问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程 ①利用公式求出回归系数,; ②利用回归直线过样本点的中心求系数. (2)利用一元线性回归方程进行预测:把一元线性回归方程看作一次函数,求函数值. (3)利用回归直线判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是系数. (4)回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断,当|r|越趋近于1时,两变量的线性相关性越强. 11.解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 =4,(ti-)2=28,=0.55, (ti-)(yi-)=tiyi- yi=40.17-4×9.32=2.89. r≈≈0.99. 因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. (2)由=≈1.331及(1)得 ==≈0.103, =- ≈1.331-0.103×4≈0.92. 所以,y关于t的回归方程为=0.92+0.10t. 将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.92+0.10×9=1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨. 考点113　列联表独立性检验 1.解 (1)超声波检查结果不正常者有200人,这200人中患该疾病的有180人,∴P==. (2)零假设为H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关. 根据列联表中的数据,经计算得到χ2==765.625>10.828=x0.001. 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 2.解 (1)X所有可能取值为0,1,2,且P(X=k)=,k=0,1,2. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1. (2)(ⅰ)m=23.4. 列联表如下: <m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 (ⅱ)由列联表中的数据,可得统计量K2的观测值为 =6.4. 由于6.4>3.841,因此有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 3.解 (1)(利用平均数计算公式求试验组的样本平均数) 试验组的样本平均数为=(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)÷20=19.8(g). (2)①(第一步:弄清中位数的含义,需排序) 将40只小白鼠体重的增加量从小到大排序: 7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.2　15.5　16.5　18.0　18.8　18.8　19.2　19.8　20.2　20.2　21.3　21.6　22.5 22.8　23.2　23.6　23.9　25.1　25.8　26.5　27.5　28.2 30.1　32.3　32.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2 36.5　37.3　40.5　43.2 (第二步:计算中位数) m==23.4. (第三步:按已知完成表格) 由已知可得列联表 <m ≥m 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 ②(第四步:由K2公式计算观测值k) k==6.4>3.841, (第五步:根据计算结果作出判断) 故有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 4.解 (1)A公司一共调查了260个班次的长途客车,其中有240个班次的长途客车准点,故A公司的长途客车准点的概率为≈0.923, B公司一共调查了240个班次的长途客车,其中有210个班次的长途客车准点,故B公司的长途客车准点的概率为=0.875. (2)根据已知数据得到列联表如下: 公司 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 k= =≈3.205>2.706. 所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 解决独立性检验问题的基本步骤 5.解 (1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为=; 乙机床生产的产品中一级品的频率为=. (2)由题意K2的观测值 k= =≈10.256>6.635. 所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 6.解 (1)根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为=0.64. (2)根据抽查数据,可得2×2列联表: 　　　SO2 PM2.5　　　 [0,150] (150,475] [0,75] 64 16 (75,115] 10 10 (3)根据(2)的列联表得K2的观测值k=≈7.484. 由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 7.解 (1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表: 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为(100×20+300×35+500×45)=350. (3)根据所给数据,可得2×2列联表: 人次≤400 人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得K2=≈5.820. 由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 8.解 (1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6. (2)K2=≈4.762. 由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 9.解 (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”. 由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C). 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62, 故P(B)的估计值为0.62. 新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为 (0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66. 故P(C)的估计值为0.66. 因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 K2=≈15.705. 由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5, 箱产量低于55 kg的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+≈52.35(kg). 10.解 (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62. 因此,事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 K2=≈15.705. 由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 学科网（北京）股份有限公司 $$ §9.2　成对数据的统计分析 课时 2016~2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 合计 112.变量的相关性、 一元线性回归模型 5 0 1 0 4 1 11 113.列联表与独立性检验 5 1 1 2 0 1 10 命题热度 本专题命题热度不高() 课程标准 备考策略 成对数据的统计分析 ①了解样本相关系数的统计含义 ②了解一元线性回归模型和2×2列联表,会用这些方法解决简单的实际问题 ③会利用统计软件进行数据分析 准确提取具体情境下的相关数据;正确区分统计数据与估计数据;灵活利用相关公式求解相关系数或卡方,熟练掌握求经验回归方程、独立性检验的一般步骤 考点112变量的相关性、一元线性回归模型答案P417　 1.(2024·上海,13,4分,难度★)已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是 (　　) A.气候温度高,海水表层温度就高 B.气候温度高,海水表层温度就低 C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势 D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势 2.(2024·天津,3,5分,难度★)下列图中,相关系数最大的是 (　　) 3.(讲解 2020·全国1,理5文5,5分,难度★★)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图: 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 (　　) A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x 4.(讲解 2017·山东,理5,5分,难度★★★)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+.已知xi=225,yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为 (　　) A.160 B.163 C.166 D.170 5.(2025·上海,17,14分,难度★★)中国队获得2024年巴黎奥运会男子4×100米混合泳接力金牌.以下为获得近十届奥运会该项目金牌队的成绩,数据按照升序排列如下(单位:s): 206.78　207.46　207.95　209.34　209.35　210.68　213.73　214.84　216.93　216.93 (1)求该数据的极差和中位数; (2)从这10个数据中抽3个数据,求恰有2个数据在211以上的概率; (3)若比赛成绩y关于年份x的回归直线方程为y=-0.311x+,年份x的平均数为2 006,预测2028年该项目金牌队的成绩. 6.(2024·上海,19,14分,难度★★★)为了解某地初中学生日均体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29 000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示: 时长 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29 000名初中学生中日均体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少? (2)估计该地区初中学生的日均体育锻炼时长(精确到0.1). (3)是否有95%的把握认为该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时有关? 附:χ2=,P(χ2≥3.841)≈0.05. 7.(2024·全国甲,理17文18,12分,难度★★★)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下: 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表: 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果>p+1.65,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(≈12.247) 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 8.(讲解 2022·全国乙,理19文19,12分,难度★★★★)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据: 样本 号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得=0.038,=1.615 8,xiyi=0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附:相关系数r=,≈1.377. 9.(讲解 2020·全国2,理18文18,12分,难度★★★★)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi=60,yi=1 200,(xi-)2=80,(yi-)2=9 000,(xi-)(yi-)=800. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数); (2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01); (3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法.并说明理由. 附:相关系数r=,≈1.414. 10.(2018·全国2,理18文18,12分,难度★★★)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 11.(讲解 2016·全国3,理18文18,12分,难度★★★★)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图. 注:年份代码1—7分别对应年份2008—2014. (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,≈2.646. 参考公式:相关系数 r=, 回归方程=+t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为=,=- . 考点113列联表与独立性检验答案P419　 1.(2025·全国新高考1,15,13分,难度★★)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 组别 检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患病的概率为P,求P的估计值; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析样本数据中超声波检查结果与是否患该疾病有关. 附:χ2=. P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2.(2023·全国甲,理19,12分,难度★★)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g). (1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望; (2)试验结果如下: 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2 25.8　26.5　27.5　30.1　32.6　34.3 34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3 40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5 18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6 22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3 36.5 (ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表: <m ≥m 对照组 试验组 (ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异? 附:K2=, P(K2≥k) 0.100　0.050　0.010 k 2.706　3.841　6.635 3.(2023·全国甲,文19,12分,难度★★)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结果如下. 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 (1)计算试验组的样本平均数; (2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表: <m ≥m 对照组 试验组 ②根据①中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异? 附:K2=, P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 4.(2022·全国甲,文17,12分,难度★★★)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表: 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率; (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关? 附:K2=, P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 . 5.(讲解 2021·全国甲,理17文17,12分,难度★★★)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表: 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 6.(讲解 2020·山东,19,12分,难度★★★★)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表: 　　　　　SO2 PM2.5　　　　　 [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表: 　　　　　SO2 PM2.5　　　　　 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] (3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关? 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 　. 7.(讲解 2020·全国3,理18文18,12分,难度★★★)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天): 　　　　锻炼人次 空气质量等级　　　　　 [0, 200] (200, 400] (400, 600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率; (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关? 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 8.(2019·全国1,文17,12分,难度★★★)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K2=. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 9.(讲解 2017·全国2,理18,12分,难度★★★★)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下: 旧养殖法 新养殖法 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:, K2=. 10.(2017·全国2,文19,12分,难度★★★)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下: 旧养殖法 新养殖法 (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附:, K2=. 学科网（北京）股份有限公司 $$