2.3 基本初等函数-【十年高考】备战2026年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§2.3　基本初等函数 课时 2016~2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 合计 16.指数与指数函数 4 0 1 2 0 1 8 17.对数与对数函数 16 3 1 0 3 2 25 18.二次函数与幂函数 3 0 1 1 0 0 5 命题热度 本专题命题热度较高() 课程标准 备考策略 (1)二次函数与幂函数 ①从函数观点看一元二次方程:会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系 ②通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数 掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、零点及最值等);对于幂函数,要抓住在第一象限内三条直线x=1,y=1,y=x所分六个区域,再根据指数α的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定 (2)指数函数 ①通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质 ②通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念 ③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点 熟练掌握指数运算的规律;准确理解指数函数的图象与性质;利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量 (3)对数函数 ①理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 ②通过具体实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与特殊点 ③知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1) 熟练掌握对数运算的规律;准确理解对数函数的图象与性质;求解与指数函数或对数函数有关的复合函数问题,首先,要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,一般要借助“同增异减”,分析判断函数的单调性,最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决 考点16指数与指数函数答案P226　 1.(2023·全国新高考1,4,5分,难度★★)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 2.(2023·天津,3,5分,难度★)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则 (　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 3.(2022·浙江,7,4分,难度★★)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25 B.5 C. D. 4.(2020·北京,6,4分,难度★★★)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 5.(2020·天津,6,5分,难度★★★)设a=30.7,b=-0.8,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 6.(2017·北京,理5,5分,难度★★)已知函数f(x)=3x-x,则f(x) (　　) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 7.(2025·上海,14,4分,难度★★)已知a>0,a≠1,s∈R,若as>a,则 (　　) A.a>0,s<0 B.a>1,s<0 C.0<a<1,s>0 D.0<a<1,s<0 8.(2018·上海,11,5分,难度★★★)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点Pp,,Qq,-.若2p+q=36pq,则a=　　　　　.  考点17对数与对数函数答案P226　 1.(2025·全国新高考1,8,5分,难度★★★★)若实数x,y,z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是 (　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 2.(2025·北京,9,4分,难度★★★)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时) (　　) A.2 B.4 C.20 D.40 3.(2024·北京,7,4分,难度★★★)记水的质量为d=,并且d越大,水质量越好.若S不变,且d1=2.1,d2=2.2,则n1与n2的关系为 (　　) A.n1<n2 B.n1>n2 C.若S<1,则n1<n2;若S>1,则n1>n2 D.若S<1,则n1>n2;若S>1,则n1<n2 4.(2024·天津,5,5分,难度★★)若a=4.2-0.2,b=4.20.2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 5.(2022·全国甲,文12,5分,难度★★★)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 (　　) A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 6.(2021·全国新高考2,7,5分,难度★★)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 7.(2021·天津,5,5分,难度★★)设a=log20.3,0.4,c=0.40.3,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b 8.(2021·天津,7,5分,难度★★)若2a=5b=10,则+= (　　) A.-1 B.lg 7 C.1 D.log710 9.(2020·海南,7,5分,难度★★★)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+∞) 10.(2020·全国1,文8,5分,难度★★★)设alog34=2,则4-a=(　　) A. B. C. D. 11.(2020·全国3,文10,5分,难度★★★)设a=log32,b=log53,c=,则 (　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 12.(2020·全国3,理12,5分,难度★★★★)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 13.(2019·天津,理6,5分,难度★★★)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 14.(2019·天津,文5,5分,难度★★★)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 15.(2019·全国1,理3文3,5分,难度★★)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 16.(2018·天津,理5,5分,难度★★)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 17.(2018·天津,文5,5分,难度★★)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 18.(2018·全国3,理12,5分,难度★★★★)设a=log0.20.3,b=log20.3,则 (　　) A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 19.(2017·山东,理7,5分,难度★★★)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 (　　) A.a+<<log2(a+b) B.<log2(a+b)<a+ C.a+<log2(a+b)< D.log2(a+b)<a+< 20.(2017·全国1,理11,5分,难度★★★)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 (　　) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 21.(2017·全国2,文8,5分,难度★★)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 22.(2017·全国1,文9,5分,难度★★★)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 (　　) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 23.(2024·全国甲,理15文15,5分,难度★★★)已知a>1且-=-,则a=　　　　　.  24.(2018·全国1,文13,5分,难度★★)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=　　　　　.  25.(2016·浙江,理12,6分,难度★★★)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　.  考点18二次函数与幂函数答案P228　 1.(2020·浙江,9,4分,难度★★★)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则 (　　) A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0 2.(2017·浙江,5,4分,难度★★★)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m (　　) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 3.(2023·天津,15,5分,难度★★★★)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为　　　　　.  4.(2022·北京,14,5分,难度★★★)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　　;a的最大值为　　　　　.  5.(2018·上海,7,5分,难度★★)已知α∈-2,-1,-,,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.3　基本初等函数 考点16　指数与指数函数 1.D　方法一(导数法):由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2, 由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D. 方法二(复合函数法):因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递减,只需函数h(x)=x(x-a)=-在(0,1)内单调递减,所以≥1,即a≥2.故选D. 2.D　因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D. 3.C　由log83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b==,所以4a-3b=(2a-3b)2=,故选C. 4. D　因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1, 在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图: 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2), 不等式2x>x+1的解为x<0或x>1. 所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D. 5.D　∵b=-0.8=30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.8<log0.70.7=1,∴c<a<b.故选D. 6.A　因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x--x=x-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 又y=3x和y=-x在R上都是增函数, 所以函数f(x)在R上是增函数.故选A. 7.D　当a>1时,由as>a⇒s>0;当0<a<1时,由as>a⇒s<0.结合选项可知应选D. 8.6　∵f(x)=的图象经过点P,Q, ∴=,=-, 两式相加,得+=1, 即=1, 化简,得2·2p+q+a(p·2q+q·2p) =2p+q+a(p·2q+q·2p)+a2pq,即 2p+q=a2pq=36pq,∴a2=36.∵a>0,∴a=6. 考点17　对数与对数函数 1.B　因为2+log2x=3+log3y=5+log5z=k, 所以log2x=k-2,log3y=k-3,log5z=k-5,则x=2k-2,y=3k-3,z=5k-5. 当k=0时,x=,y=,z=,此时x>y>z,故A正确; 当k=5时,x=23=8,y=32=9,z=1,此时y>x>z,故C正确; 当k=8时,此时y>z>x,故D正确. 故选B. 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解. 2.B　由题意,得klog2(1.024×109)-klog2106=20, 即klog2=20, ∴klog21 024=20, ∴10k=20,解得k=2,即T=2log2N. ∴2log2(4.096×108)-2log2(1.024×108)=2log24=4.故选B. 3.C　∵d1==2.1,d2==2.2,∴=. 若S<1,则n1,n2∈(0,1)且n1<n2;若S>1, 则n1,n2∈(1,+∞),且n1>n2.故选C. 4.D　因为函数y=4.2x在(-∞,+∞)内单调递增,且-0.2<0.2,所以0<4.2-0.2<4.20.2,即0<a<b;因为函数y=log4.2x在(0,+∞)内单调递增,且0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0.故c<a<b.故选D. 5.A　方法一:(基本不等式) 因为9m=10,所以m=log910. 又因为lg 11×lg 9<2=2<1=lg 10×lg 10(提示:利用基本不等式求出两个正实数乘积的取值范围), 所以>,log910>log1011.a=10m-11=1-11>1-11=11-11=0,所以a>0. 因为lg 10×lg 8<2=2<2=lg 9×lg 9,所以<,log910<log89.b=8m-9=-9<-9=9-9=0,所以b<0.综合a>0>b,故选A. 方法二:(构造函数) 由9m=10,得m=log910∈1,. 由于a=10m-10-1,b=8m-8-1,构造函数f(x)=xm-x-1(x>1),则f'(x)=mxm-1-1(x>1). 令f'(x0)=0,解得x0=. 由m∈1,,知x0∈(0,1), 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,即f(10)>f(8),所以a>b. 又f(9)=-10=0,所以a>0>b.故选A. 6.C　因为>2=5a,所以a<. 因为8b=3>,所以b>,故a<c<b,故选C. 先利用对数与指数互化,再根据函数单调性易求解. 7.D　∵a=log20.3<log21=0,b=lo0.4>lo0.5=1,0<c=0.40.3<0.40=1,∴a<c<b,故选D. 8.C　∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510, ∴+=+=lg 2+lg 5=1,故选C. 9.D　由x2-4x-5>0,得x>5或x<-1. 所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞). 因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增, 所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增. 所以a≥5,故选D. 与指数函数、对数函数有关的复合函数的单调性与应用 解决与指数函数、对数函数有关的复合函数单调性问题的基本方法是利用复合函数单调性的判定法则,即“同增异减”.判定外层函数的单调性,要在内层函数的值域内进行,所以厘清复合函数的复合过程是解题的关键. 10.B　因为alog34=log34a=2,所以4a=32=9, 所以4-a==. 11.A　∵a=log32=lo23=log98<1,∴a<. ∵b=log53=lo33=log2527>1,∴b>. 又c=,∴a<c<b.故选A. 12.A　∵a=log53=lo34=log12581<1,∴a<. ∵b=log85=lo54=log512625>1,∴b>, ∵55<84,∴b=log85=lo55<1,∴b<, ∵134<85,∴c=log138=lo85>1, ∴c>.综上,a<b<c. 13.A　∵a=log52<log5=,b=log0.50.2>log0.50.5=1,c=0.50.2=0.2>1,∴b>c>a.故选A. 14.A　a=log27>log24=2.b=log38<log39<2,且b>1. 又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A. 15.B　因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1, 又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B. 16.D　因为c=lo=log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1. 因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2, 所以ln 2<ln e=1,即b<1. 综上可知,c>a>b.故选D. 17.D　∵c=lo=log35>log3>log33=1,∴c>a>1. 又b=<0=1,∴c>a>b. 18.B　∵a=log0.20.3>0,b=log20.3<0,∴ab<0. 又a+b=+=+= 而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0,∴a+b<0. =+=log0.32+log0.30.2=log0.30.4<log0.30.3=1.∴ab<a+b.故选B. 19.B　不妨令a=2,b=,则a+=4,=,log2(a+b)=log2∈(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+.故选B. 20.D　由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5. 由==>1,可得2x>3y; 再由==<1,可得2x<5z; 所以3y<2x<5z,故选D. 21.D　由题意可知x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 求复合函数单调区间的注意点 函数的单调区间一定是函数定义域的子集,所以给定函数的单调区间,既要满足单调性的要求,又要确保函数在单调区间内的意义.本题求单调区间时,一定不能忽略定义域,否则易误选C. 22.C　f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C. 23.64　由-=-log2a=-,得(log2a)2-5log2a-6=0,即(log2a+1)(log2a-6)=0, 又a>1,则log2a+1>0,所以log2a=6,则a=64. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 24.-7　因为f(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7. 25.4　2　设logba=t,由a>b>1,知t>1. 由题意,得t+=,解得t=2,则a=b2. 由ab=ba,得b2b=,即得2b=b2,即b=2, ∴a=4. 考点18　二次函数与幂函数 1.C　当a<0时,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此时2a+b<b,由二次函数的图象可知,只有b<0时,满足(x-b)(x-2a-b)≥0,b>0不满足条件; 当b<0时,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b, (1)当a+b>0时,此时0<a<2a+b,当x≥0时,(x-a)(x-2a-b)≥0不恒成立; (2)当a+b<0时,此时2a+b<a,若满足(x-a)·(x-2a-b)≥0恒成立,只需满足a<0; (3)当a+b=0时,此时2a+b=a>0,满足(x-a)·(x-2a-b)≥0恒成立. 综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时,只有b<0.故选C. 2.B　因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f-=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B. 3.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)　解含参数、含绝对值的二次函数问题的基本思想:去绝对值符号、分类讨论. 令g(x)=x2-ax+1(如何去绝对值?利用g(x)=0的Δ=a2-4来讨论),方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4. ①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立, 所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1). 若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1; 若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1,. ②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况. 若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1)(*), 若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1)(**), 由(*)式得x1=,x2=-1, 由(**)式得x3=,x4=1. 将x1=代入x2-ax+1,有2-a·+1=; 将x2=-1代入x2-ax+1,有(-1)2+a+1=a+2; 将x3=代入x2-ax+1,有2-a·+1=; 将x4=1代入x2-ax+1,有12-a+1=2-a, 所以当a>2时,<0,不满足条件;a+2>0,满足条件;>0,不满足条件;2-a<0,满足条件,故f(x)有两个零点-1,1. 当a<-2时,>0,满足条件;a+2<0,不满足条件;<0,满足条件;2-a>0,不满足条件,故f(x)有两个零点,. 综上所述,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 4.0(第一空答案不唯一)　1　根据题意可以用0,2为a的取值的分界点,研究函数f(x)的性质.当a<0时,f(x)=-ax+1,x<a,该函数的值域为(-∞,-a2+1),故整个函数没有最小值;当a=0时,f(x)=-ax+1,x<a,该函数的值域为{1},而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),即存在最小值为0,故a的一个取值可以为0;当0<a≤2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),若存在最小值,则需满足-a2+1≥0,于是结合0<a≤2可得0<a≤1;当a>2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[(a-2)2,+∞),若存在最小值,则满足-a2+1≥(a-2)2,此时无解. 综上,a的取值范围为[0,1],故a的最大值为1. 5.-1　因为幂函数f(x)=xα为奇函数,所以α只能为-1,1,3.又函数f(x)=xα在(0,+∞)上递减,所以α=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$