2.1 函数的概念及其表示-【十年高考】备战2026年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

第二章　函数与导数 §2.1　函数的概念及其表示 课时 2016~2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 合计 9.函数的概念 0 0 1 0 0 0 1 10.函数的定义域 5 0 1 0 0 0 6 11.分段函数 6 1 1 0 1 0 9 命题热度 本专题命题热度不高() 课程标准 备考策略 函数的概念 ①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域 ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用 ③通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用 掌握求函数的定义域的基本方法;对于求函数解析式的问题,常用配凑法、待定系数法、换元法及解方程组法等;把握研究分段函数的基本策略——分段研究 考点9函数的概念答案P220　 　(2022·北京,4,4分,难度★★)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有 (　　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 考点10函数的定义域答案P220　 1.(讲解 2017·山东,理1,5分,难度★★)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B= (　　) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 2.(2016·全国2,文10,5分,难度★★)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 3.(2022·北京,11,5分,难度★)函数f(x)=+的定义域是　　　　　.  4.(2020·北京,11,5分,难度★)函数f(x)=+ln x的定义域是　　　　　.  5.(2019·江苏,4,5分,难度★★)函数y=的定义域是　　　　　.  6.(2018·江苏,5,5分,难度★★)函数f(x)=的定义域为　　　　　.  考点11分段函数答案P220　 1.(讲解 2019·天津,理8,5分,难度★★★)已知a∈R,设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为 (　　) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 2.(讲解 2019·天津,文8,5分,难度★★★)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为 (　　) A., B., C.,∪{1} D.,∪{1} 3.(2019·浙江,9,4分,难度★★★)设a,b∈R,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则 (　　) A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0 C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0 4.(讲解 2018·全国1,文12,5分,难度★★★)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) 5.(讲解 2017·山东,文9,5分,难度★★★)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f= (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 6.(2024·上海,2,4分,难度★)已知函数f(x)=则f(3)=　　　　　.  7.(2022·浙江,14,6分,难度★★)已知函数f(x)=则ff=　　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　　.  8.(讲解 2021·浙江,12,4分,难度★★★)已知a∈R,函数f(x)=若ff=3,则a=　　　　　.  9.(2017·全国3,理15文16,5分,难度★★★)设函数f(x)=则满足f(x)+fx->1的x的取值范围是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　函数与导数 §2.1　函数的概念及其表示 考点9　函数的概念 　C　∵f(x)=的定义域是R, ∴f(-x)==, ∴f(x)+f(-x)==1,故选C. 考点10　函数的定义域 1.D　由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D. 2.D　y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞). y=x的定义域和值域均为R; y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R; y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞); y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D. 3.(-∞,0)∪(0,1]　由题意可知 即x∈(-∞,0)∪(0,1]. 4.(0,+∞)　由题意得 ∴x>0. 故函数的定义域为(0,+∞). 涉及与对数函数有关的定义域问题时,一定要保证真数大于0这一条件. 5.[-1,7]　要使根式有意义,则7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7. 6.[2,+∞)　要使函数f(x)有意义,则log2x-1≥0,解得x≥2,即函数f(x)的定义域为[2,+∞). 考点11　分段函数 1.C　当a≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a2-2a2+2a≥0.a2-2a≤0. ∴0≤a≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-=>0. 此时要使f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a≤1. 当a>1时,x=a>1,1-2a+2a≥0,显然成立. 此时f'(x)=,当x∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a≥0,ln a≤1,a≤e,可知1<a≤e. 综上可知,a∈[0,e],故选C. (1)求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a在R上恒成立⇔f(x)min≥a,f(x)≤a在R上恒成立⇔f(x)max≤a;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围. (2)本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生转化与化归思想及分类讨论思想. 2. D　当直线过点A(1,1)时,有1=-+a,得a=. 当直线过点B(1,2)时,有2=-+a,a=. 故当≤a≤时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x0)=-=-,x0=2. 此时切点为2,,此时a=1.故选D. 3.C　当x<0时,由x=ax+b,得x=,最多一个零点取决于x=与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程x3-(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=x3-(a+1)x2=x2x-(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示, 可以发现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系. ①若(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意. ②若(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意. ③若(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=<0,故-1<a<1,b<0,选C. 分段函数中的参数求法 求解分段函数参数的取值范围问题,一般将参数当成已知,画出分段函数图象,根据函数图象列出满足要求的不等式(组). 4. D　画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知: ①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立; ③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得x<1.故x≤-1. 综上所述,x的取值范围为(-∞,0). 5.C　由x≥1时,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),解得a=,则f=f(4)=2×(4-1)=6. 6.　∵3>0,又x>0时f(x)=, ∴f(3)=. 7.　3+　ff=f-+2=f=+-1=. 若x≤1时,由f(x)∈[1,3],解得x∈[-1,1]; 若x>1时,由f(x)∈[1,3],解得x∈(1,2+]. 所以b-a的最大值为(2+)-(-1)=3+. 8.2　因为函数f(x)= 所以f()=()2-4=2, 所以f(f())=f(2)=|2-3|+a=3,解得a=2. 9.-,+∞　由题意得当x>时,2x+>1恒成立,即x>; 当0<x≤时,2x+x-+1>1恒成立,即0<x≤; 当x≤0时,x+1+x-+1>1,解得x>-,即-<x≤0. 综上,x的取值范围是-,+∞. 学科网（北京）股份有限公司 $$