学易金卷：九年级数学上学期第一次月考01（浙江专用，浙教版九上1～2章：二次函数+概率）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D A C B B D B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．2 12．36 13． 14．/ 15．或/或 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）【详解】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 ······（2分） 当时函数， ······（1分） 当时函数， ······（1分） 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 ······（1分） 解得：， ······（1分） 当时，， ······（2分） 函数的解析式． 18．（8分）【详解】（1）解：， 故答案为：； ······（2分） （2）解：根据题意，利用频数和频率预估概率，频数越大，概率误差越小， ∴频数为1000时，频率为 ······（2分） ∴“摸到白球的”的概率的估计值是； ······（1分） （3）解：（个） ······（2分） 所以，袋中一共有20个球． ······（1分） 19．（8分）【详解】（1）解：如图，以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为， ······（1分） 由题意可知，，，， ，，，， ······（1分） 设该抛物线的解析式为， 则，解得：， 该抛物线的解析式为； ······（1分） （2）解：， ， ， ······（1分） ， ······（1分） 水位以每天的速度上升， ， ······（2分） 即水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； （3）解：由题意可知，点在抛物线上， 则． ······（2分） 20．（8分）【详解】（1）解：四张卡片中两张属于化学变化， ······（1分） ∴从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是， 故答案为：； ······（2分） （2）解：将4张卡片分别记为A，B，C，D，则属于化学变化的有A和D， 画树状图如下： ······（2分） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，共2种， ······（1分） ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． ······（2分） 21．（8分）【详解】（1）解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得，， ∴； ······（2分） （2）解：二次函数， 当时，， ∴， 解得，； 故答案为：； ······（2分） （3）解：由函数性质可知，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴在时，当，则， ······（1分） ∴此时函数值的范围为， ······（1分） 在时，当，则， 此时函数值的范围为， ······（1分） 综上所述，当时，y的取值范围是， 故答案为：． ······（1分） 22．（10分）【详解】（1）解：把分别代入得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； ······（2分） （2）解：设抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ······（1分） 当时，， 解得， ∴． ······（1分） 连接交直线于点，如下图 ······（1分） ∵， ∴， ∴此时最小， ······（1分） 设直线的解析式为， 把分别代入得 ， 解得， ······（2分） ∴直线的解析式为， ······（1分） 当时，， ∴点坐标为． ······（1分） 23．（10分）【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为，， 设该抛物线的解析式为， ······（1分） 抛物线经过点， ，解得， ······（1分） 该抛物线的函数表达式为． 当时，， ······（1分） 此时篮球不能直接从篮圈的正中心投进． ······（1分） （2）解：①设小明带球向正前方移动，能使篮球直接从篮圈的正中心投入， 由题意可得移动后的抛物线为． 把点代入得， ······（1分） 解得或， ······（1分） 小明的活动范围不能超过， ，即小明应该带球向正前方移动投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入． ······（1分） ②由①知小明移动后抛物线的函数表达式为． ∵小明移动后距篮圈中心的水平距离为，体育老师在小明正前方处进行拦截， ∴当时，， ······（2分） ， 体育老师至少需要跳起高才能将小明投出去的篮球拦截下来． ······（1分） 24．（12分）【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线和轴的另外一个交点为， 把，代入， 得， 解得， ······（2分） ∴抛物线的表达式为． ······（1分） （2）①由（）得抛物线的表达式为， 当时， ∵时，，取得最大值， ∴， 解得：， ······（2分） ∵点， 当时，， ∴， 综上可得：； ······（2分） ②如图，如果点在轴上，且四边形是菱形， 由抛物线的表达式， 令，，即点， ······（1分） ∵ ∴，是等腰直角三角形， ∴， ······（1分） ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点与点纵坐标相等，点与点纵坐标相等， ······（1分） 由点的坐标得，直线的表达式为：。 设点，点， ∵点， ∴ ······（1分） 解得： ∴， ∴点， ∴点． ······（1分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~2章（二次函数+简单事件的概率）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 2．将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 3．下列事件是必然事件的是（ ） A．打开电视，正在播放奥运赛事 B．2024年全年有367天 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 【答案】D 【详解】解：A．打开电视可能播放奥运赛事，也可能播放其他内容，属于随机事件，不符合题意； B． 2024年是闰年（能被4整除且不为整百年），全年有366天，因此“367天”不可能发生，属于不可能事件，不符合题意； C． 掷硬币结果可能正面或反面朝上，属于随机事件，不符合题意； D． 袋中所有球均为红球，无论摸哪一个都必定是红球，属于必然事件，符合题意． 故选D． 4．已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 5．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 6．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的面积为4， 所以黑色部分的面积为， 则所求的概率， 故选：B 7．抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵对称轴直线， ∴， ∴， ∴直线经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在一、三象限， 故选：． 8．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 【答案】D 【详解】由试验数据可知，当种子数量较大时（如700、900、1000），发芽频率分别为0.949、0.953、0.951，均稳定在0.95左右． 根据频率估计概率的原理，大样本量的频率更接近真实概率． 因此，发芽概率约为0.95，对应选项D． 故选：D． 9．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 【答案】B 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：B． 10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 即， ∴， ∴，故①结论正确； ∵， ∴， 整理得， 则， ∵抛物线开口向下， ∴， 故，， ∴， 故方程一定有两个不相等的实数根，②结论正确； ∵，， 故抛物线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为； 当时，， 故当时，；即③结论正确； 根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为， 故抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ∵，， ∴， ∴，故④结论错误； ∵抛物线的对称轴为， 故点关于对称轴的对称点坐标为， ∵抛物线的开口向下， 故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小， 若， 则或，故⑤结论错误； 综上，结论正确的有①②③，有个． 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知，则 【答案】2． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：2． 12．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 13．商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是 ． 【答案】 【详解】已知交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，那么一分钟（60秒）内信号灯亮的总时间为秒． 根据概率的计算公式，随机事件发生的概率等于该事件发生的时间除以总时间，所以抬头看信号灯时是红灯的概率为红灯亮的时间除以总时间，即． 故答案为：． 14．如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    【答案】/ 【详解】如图，作于点C    ∵，，， ∴， ∴， 设函数解析式为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是 ． 【答案】或/或 【详解】解：对于， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴新的函数解析式为． 如图， 当直线过点A时，与新图象有3个交点， ∴， 解得：； 当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，即此时一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 综上可知m的值是或． 故答案为：或． 16．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：在矩形中，，点是的中点， ，，， ，，， 直线的函数解析式为， 设点的坐标为， 点是上一动点， ， 点是的中点， ， 由两点之间的距离公式可得： ， 由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为：， 因此，的最小值为， 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【详解】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 ······（2分） 当时函数， ······（1分） 当时函数， ······（1分） 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 ······（1分） 解得：， ······（1分） 当时，， ······（2分） 函数的解析式． 18．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的___________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中一共有多少个球？ 【详解】（1）解：， 故答案为：； ······（2分） （2）解：根据题意，利用频数和频率预估概率，频数越大，概率误差越小， ∴频数为1000时，频率为 ······（2分） ∴“摸到白球的”的概率的估计值是； ······（1分） （3）解：（个） ······（2分） 所以，袋中一共有20个球． ······（1分） 19．（8分）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为， ······（1分） 由题意可知，，，， ，，，， ······（1分） 设该抛物线的解析式为， 则，解得：， 该抛物线的解析式为； ······（1分） （2）解：， ， ， ······（1分） ， ······（1分） 水位以每天的速度上升， ， ······（2分） 即水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； （3）解：由题意可知，点在抛物线上， 则． ······（2分） 20．（8分）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 【详解】（1）解：四张卡片中两张属于化学变化， ······（1分） ∴从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是， 故答案为：； ······（2分） （2）解：将4张卡片分别记为A，B，C，D，则属于化学变化的有A和D， 画树状图如下： ······（2分） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，共2种， ······（1分） ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． ······（2分） 21．（8分）抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 【详解】（1）解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得，， ∴； ······（2分） （2）解：二次函数， 当时，， ∴， 解得，； 故答案为：； ······（2分） （3）解：由函数性质可知，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴在时，当，则， ······（1分） ∴此时函数值的范围为， ······（1分） 在时，当，则， 此时函数值的范围为， ······（1分） 综上所述，当时，y的取值范围是， 故答案为：． ······（1分） 22．（10分）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【详解】（1）解：把分别代入得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； ······（2分） （2）解：设抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ······（1分） 当时，， 解得， ∴． ······（1分） 连接交直线于点，如下图 ······（1分） ∵， ∴， ∴此时最小， ······（1分） 设直线的解析式为， 把分别代入得 ， 解得， ······（2分） ∴直线的解析式为， ······（1分） 当时，， ∴点坐标为． ······（1分） 23．（10分）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图，这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： (2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为，， 设该抛物线的解析式为， ······（1分） 抛物线经过点， ，解得， ······（1分） 该抛物线的函数表达式为． 当时，， ······（1分） 此时篮球不能直接从篮圈的正中心投进． ······（1分） （2）解：①设小明带球向正前方移动，能使篮球直接从篮圈的正中心投入， 由题意可得移动后的抛物线为． 把点代入得， ······（1分） 解得或， ······（1分） 小明的活动范围不能超过， ，即小明应该带球向正前方移动投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入． ······（1分） ②由①知小明移动后抛物线的函数表达式为． ∵小明移动后距篮圈中心的水平距离为，体育老师在小明正前方处进行拦截， ∴当时，， ······（2分） ， 体育老师至少需要跳起高才能将小明投出去的篮球拦截下来． ······（1分） 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线和轴的另外一个交点为， 把，代入， 得， 解得， ······（2分） ∴抛物线的表达式为． ······（1分） （2）①由（）得抛物线的表达式为， 当时， ∵时，，取得最大值， ∴， 解得：， ······（2分） ∵点， 当时，， ∴， 综上可得：； ······（2分） ②如图，如果点在轴上，且四边形是菱形， 由抛物线的表达式， 令，，即点， ······（1分） ∵ ∴，是等腰直角三角形， ∴， ······（1分） ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点与点纵坐标相等，点与点纵坐标相等， ······（1分） 由点的坐标得，直线的表达式为：。 设点，点， ∵点， ∴ ······（1分） 解得： ∴， ∴点， ∴点． ······（1分） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~2章（二次函数+简单事件的概率）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 3．下列事件是必然事件的是（ ） A．打开电视，正在播放奥运赛事 B．2024年全年有367天 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 4．已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 5．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 7．抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 9．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知，则 12．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 13．商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是 ． 14．如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    15．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是 ． 16．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 18．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的___________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中一共有多少个球？ 19．（8分）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 20．（8分）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 21．（8分）抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 22．（10分）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 23．（10分）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图，这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： (2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 12 14 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) A火柴燃烧 B水结成冰 C玻璃杯破碎 D铁锅生锈 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(10分) y 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) y/m 3.25 ⊙ 2.8m 0 ←2.5m→> 4.5m x/m 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B D E A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~2章（二次函数+简单事件的概率）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 3．下列事件是必然事件的是（ ） A．打开电视，正在播放奥运赛事 B．2024年全年有367天 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 4．已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 5．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 7．抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 9．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知，则 12．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 13．商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是 ． 14．如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    15．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是 ． 16．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 18．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的___________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中一共有多少个球？ 19．（8分）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 20．（8分）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 21．（8分）抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 22．（10分）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 23．（10分）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图，这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： (2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第一次月考卷 九年级数学·答题卡 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $