2.3二次根式（第3课时）（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

北师大版2024·八年级上册 2.3 二次根式的混合运算 （第3课时） 第二章 实数 章节导读 实数 2.1 认识实数 2.2 平方根与立方根 无理数 平方根 立方根 二次根式 算术平方根 平方根 立方根 无限不循环小数 实数 2.3 二次根数 二次根式的乘除 最简二次根式 二次根式的混合运算 无理数数的估算与比较 2.3.1学 习 目 标（P45-P46） 1 2 3 理解并应用二次根式的四则运算法则，体会转化思想，提升运算能力； 掌握混合运算的步骤和策略，运用分类讨论思想和整体思想，提升逻辑思维能力； 解决实际问题，培养数学建模思想，提升问题解决能力和合作意识. 情景引入 梯田A：上底 = 6 m，下底 = 10 m，高 = 4 m 梯田A的面积是多少？ 梯田B：上底 = m，下底 = m，高 = m 梯田B的面积是多少？ 梯田B的面积该如何计算？本节课将解决这一问题！ 温故知新 通过以上问题，猜测一下：如何进行二次根式的混合运算 1.最简二次根式的判断标准： ①开方数不含分母 ②被开方数不含开得尽的因数或因式 2.判断同类二次根式： ①先将二次根式化到最简 ②再对比被开方数是否一致 3.二次根式的乘除法则 ①乘法法则： ②除法法则： 4.同类二次根式的加减法则： 系数相加减，被开方数和根指数保持不变 ※问题1 如何处理混合运算中分母含有无理数问题? 新知探究 探究1 二次根式的混合运算 1.观察下列两个式子，你认为这两个式子有哪些计算难点？ ① ​； ② ​. ： ①这两个式子都涉及到二次根式的运算以及分式的加减 ②二次根式的运算的需要化简，分式的加减需要通分 基于以上分析可以发现，解决此题的难点是主要是：在这两个式子中，分母都有根号，这直接导致二次根式的化简与通分困难，进而影响分数的加减运算 如何解决这个问题？下面我们先看看小明的做法 ※问题1 如何处理混合运算中分母含有无理数问题? 新知探究 探究1 二次根式的混合运算 2.仔细观察小明对（1）式的计算步骤，回答下列问题： 分母含有无理数的分式，分子分母同乘它的无理数部分 化为同分母分数相加 分母相同，分子相加减 ※问题1 如何处理混合运算中分母含有无理数问题? 新知探究 探究1 二次根式的混合运算 3.在该计算过程中，分子分母同乘有上面目的是什么？ 核心目的是“分母有理化”——将分母中的无理数化为有理数2. 4.类比小米的计算方法计算，你有哪些方法？ 解：方法一：先化简再合并 =2 = 统一成根号内的运算 = =2= ※问题1 如何处理混合运算中分母含有无理数问题? 新知探究 探究1 二次根式的混合运算 5.通过以上探索，我们发现处理混合运算中分母含有无理数问题主要通过分母有理化，分母有理话具体如何操作？ ①当式子中的分母为单项式时 只需分子分母同乘分母中的无理数即可 ②当式子中的分母为多项式时 则需要借助平方差公式，化无理式为有理式. 你认为“分母有理化”有何意义？ 新知探究 探究1 二次根式的混合运算 分母有理化的意义： 分母有理化是数学中的一种重要变形方法； 其核心意义在于将分母中含有的无理数（如根号形式）转化为有理数 从而简化表达式、方便后续的计算和分析 即时训练 探究1 二次根式的概念 1.计算的正确结果是（ ） ​​ B. C. ​​ D. 2.计算正确结果是（ ） A. B. C. ​ D. 典例分析 例 计算 （1） （2）​ （3） （4）​. 解：（1） （2） （3）原式 典例分析 （4） ； （5）对于（3）的计算，你还有其他方法吗？ 先化简括号内的式子，在进行除法运算 = == 一化：把所有二次根式化为最简二次根式 二算：按四则运算规则计算，加减时，只有被开方数相同的最简二次根式（即同类二次根式）才能合并 三简：计算中随时约分、通分简化，结果要最简 方法技巧 ※问题2 二次根式的混合运算在化简以及数形结合方面的应用. 新知探究 探究2二次根式的混合运算的实际运用 1.化简​，其中，。你是怎么做的？ 解：①先化简 =- = ②代值 将，代入化简后的式子可得： =-13 方法技巧 在代值求解的计算中，通常先化简，再将已知的值代入，不仅能够大大地简化计算，更能够提升正确率 ※问题2 二次根式的混合运算在化简以及数形结合方面的应用. 新知探究 探究2二次根式的混合运算的实际运用 2. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。 （1）求梯形ABCD的周长。 （2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 解：（1）周长是四边长度之和， AD=6 BC= = 方法技巧 在求边长时，要注意结合勾股定理求一些不能直接数出来的边长 ※问题2 二次根式的混合运算在化简以及数形结合方面的应用. 新知探究 探究2二次根式的混合运算的实际运用 2. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。 （1）求梯形ABCD的周长。 （2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 解：（2）方法1：“梯形公式法”（直接数底和高） 梯形面积公式： CD= AB= 高==3 代入公式得： ※问题2 二次根式的混合运算在化简以及数形结合方面的应用. 新知探究 探究2二次根式的混合运算的实际运用 2. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。 （1）求梯形ABCD的周长。 （2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 方法2：“分割法”（数完整格子） 将梯形分割为“矩形+两个直角三角形”，分别数各部分的格子数： 中间矩形：以上底DC为长，以高为宽，面积= × 3=6； 左右三角形：面积分别为= 总面积3+6+9=18 ※问题2 二次根式的混合运算在化简以及数形结合方面的应用. 新知探究 探究2二次根式的混合运算的实际运用 3.通过以上学习，请你谈谈求图形的面积有哪些方法？ ①整体法： 可直接用面积公式求出，也可以利用填补的思路，看作一个规则图形，在不填补的部分减去 ②切割法： 将图形切割为几个比较好求的部分，再计算出其面积即可. 4.对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟？ ①数的扩充是“解决矛盾”的必然结果 ②数的扩充保持“运算一致性” ③数的扩充提升“描述准确性” ④数的扩充体现“严谨性”的提升 拓展提升 某社区需要规划一个梯形绿化区，其尺寸如下（单位：米）：上底是 ，下底为 ，高为 ，在绿化区内需修建一个矩形水池，水池长为 ，宽为 ，水池边与梯形底边平行.已知 剩余种植面积 为 平方米，但测量发现梯形实际高为 （待定），水池尺寸不变。 （1）当 时，计算梯形绿化区的面积； （2）求 的值，使剩余种植面积恰为 平方米。 解：（1）当 时， （2） 应用新知 1.计算： （1） （2） （3） （4）​ 解：（1）原式= （3）原式= （4） 题型总结 类型一：混合运算类 1.计算 2. 解：1.原式= 2.原式= 类型二：代数式求值类 3. 已知 ，求 值； 解：先化简 代入可得 题型总结 类型三：几何应用类 4. 一个长方形的长为 2，宽为 ， 求其对角线的长度. 解：长方形的对角线可用勾股定理来求， 根据勾股定理， 对角线长为 . 类型四：规律探究类 5. 观察下列等式： ，… 则第n个等式是 __________________________ 真题感知 1.（2024·湖南） 计算 的结果是（ ） A. B. ​C. ​ D. 2.（2024·天津） 计算 的结果为（ ） A. B. ​ C. D. A A 真题感知 3.（2024·四川） 已知 ，化简 的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 4. （2024·江苏） 矩形相邻边长分别为 cm、cm，设面积 ，则 在（ ） A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 D C 1. 基础必做题：习题2.3第3题； 2. 开放探究题：习题2.3 第12题； 作业布置 课堂小结 本节课学习内容梳理： 二次根式的混合运算 分母有理化 先乘除后加减 结果化到最简 实际运用 数形结合 化简 实际问题 感谢聆听! $