专题3.5 双曲线的简单几何性质（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题3.5 双曲线的简单几何性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 双曲线的简单几何性质】 2 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 3 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 4 【题型4 双曲线的渐近线方程】 5 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 5 【题型6 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 6 【题型7 等轴双曲线】 6 【题型8 双曲线中的最值问题】 7 【题型9 双曲线的实际应用问题】 8 知识点1 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的渐近线 (1)已知双曲线方程求渐近线方程 若双曲线方程为，则其渐近线方程为. 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即可得到渐近线方程. (2)已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为mx±ny=0，则可设双曲线方程为m2x2-n2y2=λ，根据己知条件，求出λ即可. (3)与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上） (4)等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其渐近线方程为y=±x，因此等轴双曲线可设为. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 【题型1 双曲线的简单几何性质】 【例1】（24-25高二上·广西梧州·期末）双曲线的焦距为（    ） A． B．3 C． D．6 【变式1-1】（24-25高二上·广西百色·期末）双曲线的虚半轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·云南红河·期末）双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【变式1-3】（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点； (2)渐近线方程为，且经过点. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 【例3】（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式3-1】（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·福建·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式3-3】（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型4 双曲线的渐近线方程】 【例4】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式4-2】（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·云南保山·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例5】（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 【变式5-2】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 【例6】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若双曲线的离心率为，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式6-1】（24-25高二上·河南·阶段练习）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【变式6-2】（24-25高三上·陕西·阶段练习）设双曲线，的离心率分别为，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【题型7 等轴双曲线】 【例7】（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式7-2】（24-25高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·江西景德镇·期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 知识点2 双曲线中的最值问题 1．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型8 双曲线中的最值问题】 【例8】（2025·新疆·模拟预测）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式8-1】（24-25高二上·安徽宣城·阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【变式8-3】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【题型9 双曲线的实际应用问题】 【例9】（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【变式9-2】（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 双曲线的简单几何性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 双曲线的简单几何性质】 2 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 4 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 6 【题型4 双曲线的渐近线方程】 10 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 12 【题型6 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 14 【题型7 等轴双曲线】 16 【题型8 双曲线中的最值问题】 18 【题型9 双曲线的实际应用问题】 21 知识点1 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的渐近线 (1)已知双曲线方程求渐近线方程 若双曲线方程为，则其渐近线方程为. 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即可得到渐近线方程. (2)已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为mx±ny=0，则可设双曲线方程为m2x2-n2y2=λ，根据己知条件，求出λ即可. (3)与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上） (4)等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其渐近线方程为y=±x，因此等轴双曲线可设为. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 【题型1 双曲线的简单几何性质】 【例1】（24-25高二上·广西梧州·期末）双曲线的焦距为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【解题思路】根据已知双曲线的标准方程得出进而求出焦距即可. 【解答过程】因为，所以焦距. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·广西百色·期末）双曲线的虚半轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化双曲线方程为标准方程，求出的值，即可得出该双曲线的虚半轴长． 【解答过程】将双曲线的方程化为标准方程得，则，， 可得双曲线的虚半轴长为. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·云南红河·期末）双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解题思路】判断是双曲线曲线，先分别求解两双曲线的焦距、实轴长、虚轴长、离心率，再判断选项即可． 【解答过程】的实轴的长为，虚半轴的长为4， 因为，所以曲线是双曲线， 实轴的长为，虚轴的长为， 显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确； 双曲线与双曲线的离心率分别为：和，不相等，所以C不正确． 双曲线与双曲线的焦距都为8，焦距相等，所以D正确； 故选：D． 【变式1-3】（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】将双曲线方程转化为标准方程，根据实轴长与虚轴长相等列方程来求得的值. 【解答过程】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 故选：C. 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【解答过程】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据双曲线焦点位置分类讨论，设出双曲线的方程，根据题意建立关于的等式，解之即可得到答案． 【解答过程】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 故选：B． 【变式2-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点； (2)渐近线方程为，且经过点. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由双曲线的离心率公式及过定点即可求出标准方程. （2）由渐近线方程即可将双曲线方程设为，再将定点代入即可. 【解答过程】（1）设所求双曲线方程为. , ，所以,解得 所以双曲线的标准方程为 （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为. 因为在双曲线上， 即， 所以双曲线的标准方程为. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据虚轴长及离心率计算可得结果； （2）求得双曲线的焦点坐标，根据过的点坐标构造方程组解得结果； （3）设双曲线方程为，代入点可得结果. 【解答过程】（1）设所求双曲线的标准方程为或. 由题意知且， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为或. （2）双曲线的焦点为. 设所求双曲线的方程为， 则有,解得. 故所求双曲线的方程为. （3）设所求双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为， 即. 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 【例3】（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，进而可得的面积． 【解答过程】因为双曲线，所以，设左焦点为， 由题意可知，关于原点对称，所以， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得， 所以，可得， 又， 所以， 所以的面积为． 故选：B． 【变式3-1】（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【解答过程】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B. 【变式3-2】（2025·福建·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可. 【解答过程】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】延长交双曲线左支于点，连结，依题意设，则根据双曲线的性质得，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得，进而在中，利用勾股定理得，即可求解渐近线. 【解答过程】 如图，延长交双曲线左支于点，连结， 由双曲线的对称性及知，设，， 则有，，又， 在中，，即，解得， 又在中，，即， 所以，即，所以， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C. 【题型4 双曲线的渐近线方程】 【例4】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用双曲线的离心率求出，进而求出双曲线的渐近线方程. 【解答过程】由双曲线的离心率为2，得，解得， 而双曲线的渐近线方程为，所以所求方程为. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】根据双曲线渐近线方程的概念直接得出结果. 【解答过程】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 所以. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出椭圆的焦点坐标，由此可得双曲线的右焦点，得到，解得，再根据渐近线方程公式计算. 【解答过程】由椭圆，易知其右焦点坐标为， ∴双曲线的右焦点为，则，得到. ∴该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二上·云南保山·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】延长交于点，由，且是的角平分线，得到，结合双曲线定义，和为的中位线，求出，进而得到渐近线. 【解答过程】如图，延长交于点，由，且是的角平分线， 是等腰三角形，且， 又∵点在双曲线的右支上， ∴由双曲线的定义有， 又有为的中位线， ∴，∴， ∴双曲线的渐近线方程为，即， 故选：B． 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例5】（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【解答过程】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 【答案】B 【解题思路】由条件分和两类情况，结合余弦定理求解即可. 【解答过程】在第一象限，，又为等腰三角形， 当时，， 又，则； 当时，， 又， 解得或（舍去），则； 故的离心率为或2. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由焦点到渐近线的距离为，结合垂直平分线得出，再转换可得离心率  ． 【解答过程】，渐近线方程为，即，点到渐近线的距离为， 又由题意，所以， 而渐近线是的垂直平分线，则， 所以，， 故选：A． 【变式5-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【解答过程】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A. 【题型6 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 【例6】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若双曲线的离心率为，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程结合离心率公式运算求解即可. 【解答过程】由题意知，双曲线的离心率，所以． 故选：D． 【变式6-1】（24-25高二上·河南·阶段练习）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】根据离心率列方程，从而求得. 【解答过程】，，因为，所以，解得. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高三上·陕西·阶段练习）设双曲线，的离心率分别为，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】分别求得双曲线的离心率，结合，列出方程，即可求解. 【解答过程】由双曲线，可得其离心率为， 又由双曲线，可得其离心率为， 因为，可得，解得. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【解答过程】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即,解得或,又因为,即. 故选：A. 【题型7 等轴双曲线】 【例7】（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程. 【解答过程】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【解题思路】根据等轴双曲线定义可设方程为，根据焦点坐标算出，解得双曲线方程，从而得出长轴. 【解答过程】由题意，设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则， 双曲线方程可化为， 由焦点可知，，则， 于是实半轴为，于是实轴长是. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【解答过程】解：令 ，得， 又双曲线焦点在x轴上， 等轴双曲线的一个焦点为， 即， ∴， 故等轴双曲线的方程为. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二上·江西景德镇·期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中且即可求解. 【解答过程】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上， 故令得，即. 又因为且，所以， 所以双曲线方程为，即. 故选：B. 知识点2 双曲线中的最值问题 1．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型8 双曲线中的最值问题】 【例8】（2025·新疆·模拟预测）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解题思路】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果. 【解答过程】由双曲线的对称性，假设在右支上，即， 由到的距离为，而， 所以 ， 综上，，同理，则， 对于双曲线，有且， 所以，而，即. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·安徽宣城·阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【解答过程】如图，记双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知，四边形是平行四边形， 则，因为，则， 设，则，又， 所以，即，，则， 因为，所以， 在中，， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时由于，当且仅当时，等号成立， 注意当时，，不满足题意， 故，所以当时，有解， 且由得，满足题意，所以的最小值为．   故选：B.   【变式8-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解. （2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知，，则，解得或， 因此， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式8-3】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 【题型9 双曲线的实际应用问题】 【例9】（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D.    【变式9-1】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解题思路】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【解答过程】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D. 【变式9-2】（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解. 【解答过程】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B. 【变式9-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置. 【解答过程】如图，    以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则 设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故， 由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上， 依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$