精品解析：吉林省长春市博硕学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

长春博硕学校 2024-2025学年度下学期八年级第一次阶段性练习 数学试卷 命题人：董桂梅 审题人：高磊 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 在，，，中，分式的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，毫克可以用科学记数法表示为（ ） A. 毫克 B. 毫克 C. 毫克 D. 毫克 3. 下列曲线中表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 5. 若把一次函数向上平移3个单位长度，得到函数解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 7. 解分式方程时，去分母后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线交x轴于点C，交反比例函数的图象于A、B两点，过点B作轴，垂足为D．若，则k的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 平面直角坐标系中，点在第__________象限． 10. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________． 11. 若正比例函数的图象经过点，则m的值是__________． 12. 已知点，都在一次函数的图象上，则__________（填“＞”“＝”或“＜”）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，以下结论正确的是：__________． ①B点的坐标为；②； ③为等腰三角形；④的最小值为3． 三、解答题（共10小题，共78分） 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本，求甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ 18. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标是整数的点称为整点，记三个顶点都是整点的三角形为整点三角形，如图，已知整点，，请在所给的网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． （1）在图1中画一个等腰且的面积为3． （2）在图2、图3中各画一个（两个三角形不全等），并且使点P落在坐标轴上． 19. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？ 20. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求的面积； （3）点C的坐标为，当时，直接写出m的值． 21. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示． （1）分别求出与x之间的函数表达式； （2）当两车相遇时，求客车行驶的时间； （3）两车相距时，求客车行驶的时间． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若，则x的取值范围是 ； （3）若直线与轴相交于点，点是反比例函数上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 23. 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，经过点的直线交轴的负半轴于点，且，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）当时，求的长； （3）如图2，作点C关于直线的对称点G． ①用含m的代数式表示点G的坐标为 ； ②点D在线段上运动的过程中，当时，m的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校 2024-2025学年度下学期八年级第一次阶段性练习 数学试卷 命题人：董桂梅 审题人：高磊 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 在，，，中，分式的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A、B（）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：分式有：，，共2个， 故选：B． 2. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，毫克可以用科学记数法表示为（ ） A. 毫克 B. 毫克 C. 毫克 D. 毫克 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：毫克， 故选B． 3. 下列曲线中表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的定义，根据构成函数的条件：对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； B、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； C、可以表示是的函数，符合题意； D、不满足对于每一个自变量有且只有一个因变量与之对应，不是函数；不符合题意； 故选C． 4. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得x-3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x-3≠0， 解得：x≠3， 故选择：D． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 5. 若把一次函数向上平移3个单位长度，得到函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，根据一次函数向上平移3个单位长度可得，即可得出答案． 【详解】解：一次函数向上平移3个单位长度可得， 即. 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 【详解】解：直线：与直线：交于点， 当时，， 点A的坐标为， 关于x、y的方程组的解是， 故选：C． 7. 解分式方程时，去分母后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母的方法，等式的性质是解题的关键． 根据题意，等式两边同时乘以去分母即可，注意不能漏乘项． 【详解】解：分式方程去分母后变形， 故选：A ． 8. 如图，直线交x轴于点C，交反比例函数的图象于A、B两点，过点B作轴，垂足为D．若，则k的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， 轴， 轴， ， ， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 平面直角坐标系中，点在第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．据此判断可得答案． 【详解】解：∵，， ∴平面直角坐标系中，点在第三象限， 故答案为：三． 10. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当比例系数小于时，函数值随自变量的增大而增大． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内的函数值随自变量的增大而增大， ， 解得． 故答案为：． 11. 若正比例函数的图象经过点，则m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，熟知函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解答的关键．将代入中得到，进而解方程求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， 故答案为：． 12. 已知点，都在一次函数的图象上，则__________（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性质是解决此题的关键．由时，y随x的增大而减小，解答即可． 【详解】解：根据一次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，以下结论正确的是：__________． ①B点的坐标为；②； ③为等腰三角形；④的最小值为3． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，垂线段最短，勾股定理；能熟练利用勾股定理求解，并能由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． ①把代入，求出点B的坐标即可； ②先求出点A的坐标，然后根据两点间距离公式，求出的长度即可； ③先分别求出、的长，即可得出，说明为等腰三角形； ④根据，即可求解． 【详解】解：①把代入得， ∴点B的坐标为，故①正确； ②把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，， ∴， ∴为等腰三角形，故③正确； ④∵垂线段最短， ∴当时，最小， ， 又∵， ，即的最小值为3，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（共10小题，共78分） 14. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，涉及负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先通过去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果进行检验，进而可得结论． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 经检验，是方程的解， 即原方程的解为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，再约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本，求甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ 【答案】甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程． 【详解】解：设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的解． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． 18. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标是整数的点称为整点，记三个顶点都是整点的三角形为整点三角形，如图，已知整点，，请在所给的网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． （1）在图1中画一个等腰且的面积为3． （2）在图2、图3中各画一个（两个三角形不全等），并且使点P落在坐标轴上． 【答案】（1）如图1，所作等腰即为所求； （2） 如图2，所作即为所求； 如图3，所作即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握以上知识点是关键． （1）如图所示，取整点P，则等腰即为所求； （2）如图所示，取整点P，则即为所求． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 如图2，所作即为所求； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图3，所作即为所求； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 19. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）的结论解答即可． 【小问1详解】 解：设， 根据题意，得， 解之，得， ∴； 【小问2详解】 当时，． ∴当这种树的胸径为时，其树高为． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 20. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求的面积； （3）点C的坐标为，当时，直接写出m的值． 【答案】（1），； （2）4 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． （1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）先求出长，再解得m值即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，；当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由勾股定理得， ∵点C的坐标为，当时， ∴或． 21. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示． （1）分别求出与x之间的函数表达式； （2）当两车相遇时，求客车行驶的时间； （3）两车相距时，求客车行驶的时间． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意可知，，然后解方程即可得出答案； （3）分2种情况进行讨论，或分别解方程即可． 【小问1详解】 解：（1）设，代入 得到：， 解得：， ∴， 设，代入，， 那么有，，解得 ∴； 【小问2详解】 解：两车相遇时，，那么有 解得： 故客车行驶的时间为； 【小问3详解】 解：两车相距时，那么有 或 解得或 故客车行驶的时间为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若，则x的取值范围是 ； （3）若直线与轴相交于点，点是反比例函数上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合知识点，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，以及利用三角形面积公式建立等式求解点的坐标． （1）已知反比例函数图象过点，将点坐标代入反比例函数中，可求出的值，进而得到反比例函数解析式．再把点代入已求出的反比例函数解析式，求出点坐标．最后将，两点坐标代入一次函数，通过解方程组得到一次函数的k，b的值，从而确定一次函数解析式； （2）依据题意得，当时x的取值范围是函数的图象在的上方对应的自变量取值范围，结合直线与反比例函数的图象相交于，两点，从而根据函数图象可以判断得解； （3）先求出直线与轴交点的坐标，再根据已知条件求出点坐标为．设点坐标为，利用三角形面积公式，根据的面积等于的面积列出方程，求解得出点坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数（）经过点， 将点代入中得，， 反比例函数解析式为， 的图象经过点， ，点坐标为， 将，两点代入中得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，当时x的取值范围是函数的图象在的上方对应的自变量取值范围． 又∵直线与反比例函数的图象相交于，两点， ∴结合函数图象可得，当时， 故答案为：； 【小问3详解】 解：对于函数，令，得， 解得， ， ，，轴，轴， 点坐标为， ，，， ， 点是反比例函数上一点， 可设点坐标为， ， 解得， 点坐标为． 23. 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，经过点的直线交轴的负半轴于点，且，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）当时，求的长； （3）如图2，作点C关于直线的对称点G． ①用含m的代数式表示点G的坐标为 ； ②点D在线段上运动的过程中，当时，m的值为 ． 【答案】（1），， （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标： （1）在中，令得，令得，即得，，而，在轴负半轴，故； （2）设直线的解析式为，将点，代入可得直线的解析式为，当时，，，可得； （3）①由，，求得，得到或，据此求解可得；②根据已知条件得到，可解得或． 【小问1详解】 解：在中，令得，令得， ，， ∵，在轴负半轴， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点，代入中可得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标， 在中令得，即， 在中令得，即， ； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∴或， ∴点G的坐标为， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $