第二章　有理数及其运算课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2024）六年级数学上册

1.认识正数与负数 (1)正数:像+3,+15,+2.4%等大于　 　的数,叫作　 　.  (2)负数:像-2,-8,-0.5%等在正数前面加上“-”的数,叫作　 　.  注意:　 　都大于零,　 　都小于零.  “0”既不是　 　,也不是　 　.  2.用正数、负数可以表示具有相反意义的量. 过教材　要点概览 2　认识有理数 第1课时　有理数 0 正数 负数 正数 负数 正数 负数 初中五四制练案·数学·LJ·六上 3.有理数的分类 (1)按定义分类: 2 (2)按符号分类: 3 精讲练　新知探究 探究点一　正数和负数的意义 [典例1] 中国古代著作《九章算术》中明确提出“正负术”,这是世界上至今发现的最早最详细的记载.如果盈利70元记作+70元,那么亏本50元记作( ) A.-50元 B.-70元 C.+50元 D.+70元 [变式1](2023广饶月考)如果某水库警戒水位150米记作0米,那么151米记作　 　米,148米记作　 　米.  A +1 -2 4 点睛 用正数、负数表示具有相反意义的量的“三步法”: (1)确定问题中存在的具有相反意义的量; (2)明确具有相反意义的量的“基准”,把一种意义的量确定为正,另一种和它意义相反的量则为负; (3)用正数、负数表示出问题中具有相反意义的量. 5 探究点二　有理数的意义及其分类 [典例2] 把下列各数填入相应的集合中: 6 [变式2]下列说法中,正确的是( ) A.正分数和负分数统称为分数 B.0既是整数也是负整数 C.正整数、负整数统称为整数 D.正有理数和负有理数统称为有理数 A 7 B 8 点睛 有理数分类中的“两点注意”: (1)特殊性:0既不是正数,也不是负数; (2)多属性:同一个数,可能属于多个不同的集合,如6既是正数又是 整数. 9 谢谢观赏！ 10 有理数 有理数 1,3,325,-789,0,-23.13,0.618,-2 024. 正数集合:; 负数集合:; 整数集合:; 分数集合:. [变式3]关于-4,,0.41,-1,0,3.14这六个数,下列说法错误的是( ) A.-4,0是整数 B.,0.41,0,3.14是正数 C.-4,,0.41,-1,0,3.14是有理数 D.-4,-1是负数 $$1.在许多情况下,很难取得准确数,或者没有必要使用准确数,而可以使用　 　.  2.近似数与准确数的接近程度,可以用　 　表示.  3.为了得到所需精确度的近似数,常采用　 　法.  过教材　要点概览 7　近似数 近似数 精确度 四舍五入 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　用四舍五入法取近似数 [典例1] 按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数: (1)2.318 9(精确到0.01); (2)89.912 2(精确到个位); (3)0.865 88(精确到千分位); (4)563 127(精确到千位). 解:(1)2.318 9≈2.32. (2)89.912 2≈90. (3)0.865 88≈0.866. (4)563 127≈5.63×105. 2 探究点二　确定近似数的精确度 [典例2] 下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位? (1)132.4;(2)0.057 2;(3)5.08×105;(4)6.80万. 解:(1)132.4精确到十分位. (2)0.057 2精确到万分位. (3)5.08×105精确到千位. (4)6.80万精确到百位. 3 谢谢观赏！ 4 $$1.加法的意义 把两个或多个数合并成一个数的运算. 2.加法运算 (1)整数、小数的加法:相同数位上的数字对齐,从　 　位算起,哪一位上的数相加满十,向前一位进一.  过教材　要点概览 1　从小学算术说起 第二章　有理数及其运算 低 初中五四制练案·数学·LJ·六上 (2)分数的加法: ①同分母分数相加,分母　 　,分子　 　;  ②异分母分数相加,先　 　,再按照同分母分数相加的法则进行计算. 3.运算律 (1)加法交换律:a+b=　 　;  (2)加法结合律:(a+b)+c=　 　;  (3)乘法交换律:a×b=　 　;  (4)乘法结合律:(a×b)×c=　 　;  (5)乘法对加法的分配律:a×(b+c)=　 　.  不变 相加 通分 b+a a+(b+c) b×a a×(b×c) ab+ac 2 4.表示具有相反意义的量 为了表示具有相反意义的量,我们可以把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把与这个量意义相反的量规定为负的,用　 　来表示.  负数 3 精讲练　新知探究 探究点一　小学算术的加法 [典例1] 计算: 解:(1)8+11=19; (2)0.618+3.14=3.758; 4 5 探究点二　运算律 6 探究点三　表示具有相反意义的量 [典例3] 如果一个乒乓球超出标准质量5 mg记作+5 mg,那么恰好为标准质量应记作　 　,低于标准质量3 mg应记作　 　.  [变式2]一种袋装食品的标准净重是100 g.质监部门工作人员为了了解该食品每袋净重与标准净重的误差,把净重108 g记为+8 g,那么净重 96 g记为　 　g.  0 mg -3 mg -4 7 谢谢观赏！ 8 (1)8+11;　(2)0.618+3.14;　(3)+. (3)+=+=. [变式1]计算:1+3. 解:1+3 =1+3 =(1+3)+(+) =4+ =5. [典例2] 计算:2.2×3+5×2.2+2.2. 解:2.2×3+5×2.2+2.2 =2.2×(3+5+1) =2.2×10 =22. $$1.数轴的概念 规定了　 　、　 　和　 　的直线.  2.数轴的画法 (1)画一条水平　 　;  (2)在直线上取一点表示0,这个点叫作　 　;  (3)选取某一长度作为单位长度; (4)规定直线上向右的方向为　 　,就得到数轴.  过教材　要点概览 第2课时　数轴 原点 单位长度 正方向 直线 原点 正方向 初中五四制练案·数学·LJ·六上 3.任何一个有理数都可以用数轴上的一个　 　来表示.  4.数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的　 　.正数大于　 　,负数小于　 　,正数大于负数.  点 大 0 0 2 精讲练　新知探究 探究点一　数轴上的点与有理数的关系 [典例1]如图所示,在数轴上,A,B,C,D,E各点分别表示什么数? 解:A,B,C,D,E各点分别表示-3,-1.5,0,0.5,3. 3 解:如图所示: 4 点睛 在数轴上画表示有理数的点的步骤: (1)由符号确定表示该数的点在原点的哪一边; (2)在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度; (3)在数轴上画出对应的点. 5 探究点二　有理数的大小比较 [典例2] 比较4,-2,1,0,-2.5的大小. 解:在数轴上表示各数,如图所示: 所以-2.5<-2<0<1<4. 6 7 点睛 利用数轴比较有理数大小的步骤: (1)画数轴; (2)表示点:在数轴上描出相应各点; (3)定大小:根据“数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大”确定大小关系. 8 探究点三　数轴的简单应用 [典例3] 覃老师需要家访三名同学,这三名同学的家和学校位于同一条直线的道路旁,覃老师从学校出发,向东走2 km到达A同学的家,继续向东走2.5 km到达B同学的家,然后又回头向西走8.5 km到达C同学的家,最后回到学校. (1)以学校为原点,向东为正方向,以1个单位长度长表示1 km,画出数轴,在数轴上表示出A,B,C同学的家的位置. 解:(1)如图所示: 9 (2)覃老师完成此次家访任务,全程共走了多少千米? 解:(2)2+2.5+8.5+4=17(km). 答:覃老师完成此次家访任务,全程共走了17 km. 10 谢谢观赏！ 11 [变式1]把下列各数表示在数轴上: -1,,0,4,-2,-3,2.5. [变式2]画出数轴,用数轴上的点表示下列各数,并用“>”将它们连接 起来: -4,3.5,-1.5,1,0,2.5. 解:用数轴上的点表示各数,如图所示: 所以3.5>2.5>1>0>-1.5>-4. $$1.根据有理数减法法则,减一个数,等于加　 　,知有理数的加减混合运算可以统一成　 　运算,即变为求几个正数、负数或0的和.因此,在进行加减混合运算时,可适当运用加法的运算律简化运算. 2.在进行有理数加减混合运算时,为了书写简便,可以把已经统一为加法运算的式子中各个加数的括号和它前面的加号省略,写成省略加号 的和的形式. 过教材　要点概览 第4课时　有理数的加减混合运算 这个数的相反数 加法 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点　有理数的加减混合运算 [典例] 计算: (1)(-13)+(-7)-(+20)-(-40)+(+16); 解:(1)(-13)+(-7)-(+20)-(-40)+(+16) =-13-7-20+40+16 =-40+40+16=16; 2 3 点睛 有理数加减混合运算的一般步骤: 第一步,把加减混合运算统一成加法运算; 第二步,利用加法法则、加法交换律和加法结合律进行简便运算. 4 谢谢观赏！ 5 (2)3-(-)-+. 解:(2)3-(-)-+ =(3+)+(-) =4-2=2. $$ 1.计算器的常见按键功能 过教材　要点概览 8　用计算器进行计算 初中五四制练案·数学·LJ·六上 2 3 精讲练　新知探究 探究点　用计算器进行有理数的计算 [典例] 用计算器计算(写出按键顺序): (1)(-15)3÷52; 解:(1)按键顺序为 , 计算器显示的结果为-135, 所以(-15)3÷52=-135. ( (-) 1 5 ) yx 3 ÷ 5 x2 = 4 (2)-10+8÷22-(-4)×(-3). 解:(2)按键顺序为 , 计算器显示的结果为-20, 所以-10+8÷22-(-4)×(-3)=-20. (-) 1 0 + 8 ÷ 2 x2 - ( (-) 4 ) × ( (-) 3 ) = 5 B 6 C 7 点睛 运用计算器进行混合运算: 输入一个多位数,按键顺序应从高位依次输入,输入混合运算的顺序应从左到右,计算器将自行按照混合运算的顺序运算. 8 谢谢观赏！ 9 (1)ON/C是开机与清零键,按一下这个键,计算器就处于开机、清零状态. (2)=键的功能是完成运算. (3)+是运算功能键,按一下这个键,计算器就执行加法运算. (4)键盘上有些键的上方还注明了这个键的其他功能(称为第二功能).所有第二功能的使用,均应先按一下2ndF键,再按下第二功能对应的键.先按2ndF键,再按ON/C键,这时计算器执行的是ON/C键上方的OFF键的功能,即关闭计算器. (5)(-)的功能是使录入的数据或计算的结果取相反数. (6)x2是平方运算键,如计算62,先输入6,再按x2键,最后按=键. (7)yx键是乘方运算键,如计算54,先输入5,再按yx键,然后输入4, 最后按=键. 2.计算器的使用方法 使用计算器时,要先按一下ON/C键,以接通计算器的电源,然后按照算式的书写顺序输入数据,按运算键,输入数据,最后按=键,此时显示器上会显示出计算结果.停止使用计算器时要按一下2ndF+ON/C(即OFF键),以切断计算器的电源. [变式1]用计算器计算(-2.1)×2的正确按键顺序是( ) ①输入数据-2.1,按键顺序是(-) 2 · 1; ②输入2,按键顺序是2 ab/c 1 ab/c 4; ③按×键; ④按=键. A.①②③④ B.①③②④ C.③①④② D.②①④③ [变式2]使用计算器进行计算,其按键顺序为3 × ( (-) 2 ) yx 3 =,则显示结果为( ) A.-288 B.-18 C.-24 D.-32 $$1.绝对值的概念 在数轴上,一个数所对应的点与　　点之间的距离叫作这个数的绝对值. 数a的绝对值记作　 　.  2.绝对值的性质 正数的绝对值是　 　;负数的绝对值是它的　 　;0的绝 对值是　 　.  过教材　要点概览 第3课时　绝对值与相反数 原 |a| 它本身 相反数 0 初中五四制练案·数学·LJ·六上 3.相反数 符号　 　、绝对值　 　的两个数,我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数;  特别地,0的相反数是　 　.  4.相反数的几何意义 在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于　 　的两侧,且与原点的 　 　相等.  5.两个负数比较大小,绝对值大的反而　 　.  不同 相同 0 原点 距离 小 2 精讲练　新知探究 探究点一　绝对值 [典例1] 求下列各数的绝对值: 3 A 4 点睛 绝对值的求法: 要求一个数的绝对值,首先应确定绝对值符号内的这个数是正数,负 数,还是0,再根据绝对值的意义确定去掉绝对值符号后的结果. 5 探究点二　相反数 [典例2] 写出下列各数的相反数: 6 解:(1)-(+4.5)=-4.5. (2)-(-9)=9. (3)-(+32.6)=-32.6. 7 点睛 (1)求一个数的相反数的方法就是在这个数前添加“-”,如a的相反数是-a,m+n的相反数是-(m+n). (2)多重符号的化简:与“+”的个数无关,有奇数个“-”,结果为负;有偶数个“-”,结果为正. 8 探究点三　利用绝对值比较两个负数的大小 [典例3] 比较下列每组数的大小: 解:(1)因为|-3.2|=3.2,|-0.7|=0.7, 3.2>0.7,所以-3.2<-0.7. 9 D 10 谢谢观赏！ 11 26,-13,+9.9,-,-101,0. 解:|26|=26;|-13|=13;|+9.9|=9.9; |-|=;|-101|=101;|0|=0. [变式1]下列式子中,正确的是( ) A.|-6|=6 B.-|-6|=+6 C.|-0.5|=- D.-= +8.5,-2,0.35,0,-2,10%,100. 解:+8.5的相反数是-8.5; -2的相反数是2; 0.35的相反数是-0.35; 0的相反数是0; -2的相反数是2; 10%的相反数是-10%; 100的相反数是-100. [变式2]化简下列各数: (1)-(+4.5);　　　 (2)-(-9); (3)-(+32.6);　　　(4)-(-). (4)-(-)=. (1)-3.2和-0.7;(2)-和-. (2)因为|-|==,|-|==, <,所以->-. [变式3]下列四组有理数的大小比较正确的是( ) A.->- B.-|-1|>-|+1| C.< D.> $$有理数加法法则 (1)同号两数相加,取相同的　 　,并把绝对值　 　.  (2)异号两数相加,绝对值相等时和为　 　;绝对值不等时,取　 . 　的数的符号,并用较大的　 　减较小的　 　.  (3)一个数同0相加,仍得　 　.  过教材　要点概览 3　有理数的加减运算 第1课时　有理数的加法法则 符号 相加 0 绝对值 较大 绝对值 绝对值 这个数 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　有理数的加法运算 [典例1] 计算下列各题: 解:(1)(-99)+(-103)=-(99+103)=-202; (3)(-0.6)+2+(-0.4)=1.4+(-0.4)=1. 2 D 3 点睛 有理数加法运算的一般步骤: (1)判断加法运算的类型(同号、异号等); (2)确定和的符号; (3)进行绝对值的加减运算,确定最终结果. 4 探究点二　有理数加法的实际应用 [典例2] 一天早晨的气温是-7 ℃,中午的气温比早晨上升了11 ℃,中午的气温是多少? 解:(-7)+11=4(℃). 答:中午的气温是4 ℃. 5 [变式2]某特技飞行队做特技表演时,一架飞机起飞0.5 km后的高度变化如下表所示. (1)填表. 高度变化 记作 上升2.5 km +2.5 km 下降1.2 km 　　   上升1.1 km 　 　  下降1.8 km 　 　  解:(1)-1.2 km　+1.1 km　-1.8 km 6 (2)完成上述四个表演动作后,飞机离地面的高度是多少千米? 解:(2)根据题意,得 0.5+(+2.5)+(-1.2)+(+1.1)+(-1.8)=1.1(km), 故完成上述四个表演动作后,飞机离地面的高度是1.1 km. 7 点睛 有理数加法实际应用的“三点注意”: (1)确定各个量的正负; (2)将实际问题转化为有理数的加法,正确列出算式; (3)计算结果和答要写单位名称. 8 谢谢观赏！ 9 (1)(-99)+(-103); (2)(-)+(-); (3)(-0.6)+2+(-0.4). (2)(-)+(-)=-(+)=-; [变式1]下列各式中,计算结果正确的是( ) A.(-7)+(+4)=11 B.2.7+(-3.5)=6.2 C.(-)+=- D.+=1 $$有理数的加法运算律 (1)两个数相加,交换加数的位置,　 　不变,即a+b=b+a(加法　 　律). (2)三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,　 　不变,即(a+b)+c=a+(b+c)(加法　 　律).  过教材　要点概览 第2课时　有理数的加法运算律 和 交换 和 结合 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　有理数的加法运算律 [典例1] 计算下列各题: (1)(+22)+(-33)+(-78)+(-67)+11; 解:(1)(+22)+(-33)+(-78)+(-67)+11 =[(+22)+11+(-33)]+[(-78)+(-67)] =0+(-145) =-145. 2 3 B 4 点睛 进行有理数的加法运算时常用的方法技巧: (1)正数与负数分别相加; (2)互为相反数或相加得整数的数结合相加; (3)小数、整数、分数分别结合相加; (4)把分母相同或分母有倍数关系的数结合相加. 5 探究点二　有理数加法运算律的实际应用 [典例2] 已知A地的高度为3.72 m,现在测量B,C,D,E,F五地的高度,每次测量的数据如下表.(单位:m) B比A高 C比B高 D比C高 E比D高 F比E高 -1.44 -3.62 -8.10 2.16 10.89 问F地的高度是多少? 解:根据题意,得 3.72+(-1.44)+(-3.62)+(-8.10)+2.16+10.89=(3.72+2.16+10.89)+ [(-1.44)+(-3.62)+(-8.10)]=3.61(m). 答:F地的高度是3.61 m. 6 [变式2](2024漳州期中)为了有效控制酒后驾驶,交警驾驶警车在一条东西方向的公路上巡逻.规定向东为正,向西为负,已知交警驾驶警车从出发点A开始所行驶的情况如下(单位:km): +14,-9,+8,-7,+13,-6,+12,-5. (1)请你帮忙确定警车最后所在地相对于A地的方位? 解:(1)(+14)+(-9)+(+8)+(-7)+(+13)+(-6)+(+12)+(-5) =(14+8+13+12)+(-9-7-6-5)=20(km), 故警车最后所在地在A地的正东20 km处. 7 (2)已知警车每千米耗油0.1 L,如果队长命令该交警马上返回出发点,那么这次巡逻(含返回)共耗油多少升? 解:(2)14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|+20=94(km), 耗油94×0.1=9.4(L). 故这次巡逻(含返回)共耗油9.4 L. 8 谢谢观赏！ 9 (2)(+)+(-24)+(-3.5)+(-6)+(+2.5)+(+6)+(+)+(-10). 解:(2)(+)+(-24)+(-3.5)+(-6)+(+2.5)+(+6)+(+)+(-10) =[(+)+(+)] +[(-24)+(-10)]+[(-3.5)+(+2.5)]+[(-6)+(+6)] =1+(-34)+(-1)+0 =-34. [变式1]下列变形,运用加法运算律正确的是( ) A.10+(-12)=12+(-10) B.5+(-7)+7=5+[(-7)+7] C.(-2)+(-3)+3=[(-2)+(-3)]-3 D.5+(-2)+=+2 $$1.求n个相同因数a的积的运算叫作　 　 ,　 　的结果叫作幂,在an中,a叫作　 　,n叫作　 　,an读作“　 　”. 2.an表示有　 　相乘,特别注意负数、分数的乘方,应把底数加上 　 　.  3.正数的任何次幂都是　 　;负数的奇次幂是　 　,负数的偶 次幂是　 　.  过教材　要点概览 5　有理数的乘方 第1课时　有理数的乘方 乘方 乘方 底数 指数 a的n次幂(或a的n次方) n个a 括号 正数 负数 正数 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　有理数的乘方 [典例1] 计算: 解:(1)23=2×2×2=8; (2)-54=-5×5×5×5=-625; 2 3 点睛 有理数乘方运算的注意事项: (1)进行有理数的乘方运算时,一定要先确定符号; (3)当底数是负数或分数时,要用括号将底数括起来. 4 探究点二　有理数乘方的性质 [典例2] 用“>”或“<”填空: (1)(-8)6　 　0; (2)(-8)7　 　0;  (3)(-8)20　 　0; (4)-(-8)31　 　0.  [变式2]在(-2)2,(-1)2 021,-23,(-7)11,0中,非负数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 > < > > B 5 探究点三　有理数乘方的实际应用 [典例3] 一个面积为1 m2的正方形纸片,第1次截去一半,第2次截去剩下的一半,…,如此下去,第5次截完剩下的面积是多少?第10次呢? 6 [变式3]某种益生菌在培养过程中,每2小时分裂一次(由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…),则经过10小时,这种细菌由1个分裂成 ( ) A.16个　 B.32个　 C.64个　 D.128个 B 7 点睛 用乘方解决倍增(减)问题时,一般是从特殊到一般,发现规律,揭示数学关系,以幂的形式表示出来. 8 谢谢观赏！ 9 (1)23;(2)-54;(3)-;(4)-()3. (3)-=-=-; (4)-()3=-××=-. [变式1]计算: (1);(2)-;(3)-(-)2. 解:(1)=. (2)-=-. (3)-(-)2=-. (2)在运用乘方的定义进行计算时,要准确地识别乘方运算中的底数,注意(-4)4与-44的区别、与-的区别; 解:因为第1次截去一半,剩下的面积是 m2, 第2次截去剩下的一半,剩下的面积是×=()2=(m2), 第3次截去剩下的一半,剩下的面积是××=()3=(m2),…, 所以第5次截去剩下的一半,剩下的面积是()5=(m2), 第10次截去剩下的一半,剩下的面积是()10=(m2). $$1.乘法交换律 一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即ab= 　 　.  2.乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,即 (ab)c=　 　.  过教材　要点概览 第2课时　有理数的乘法运算律 ba a(bc) 初中五四制练案·数学·LJ·六上 3.乘法对加法的分配律 一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加,即a(b+c)=　 　.  ab+ac 2 精讲练　新知探究 探究点　有理数的乘法运算律 [典例] 计算: 3 4 5 6 7 点睛 (1)运用乘法交换律,在交换因数的位置时,要连同符号一起交换; (2)运用乘法对加法的分配律时,要用括号外因数乘括号内的每一个因数,不能漏乘,同时还需注意符号问题. 8 谢谢观赏！ 9 (1)(-0.125)×(-)×8×(-7); 解:(1)(-0.125)×(-)×8×(-7) =-(0.125×8)×(×7) =-1×4 =-4. (2)(-48)×(--+). 解:(2)(-48)×(--+) =-48×+48×+48×-48× =-54+104+36-64 =22. [变式]计算: (1)(-10)××(-0.1)×6; (2)36×(--+); 解:(1)(-10)××(-0.1)×6 =(10×0.1)×(×6)=1×2=2. (2)36×(--+) =36×(-)-36×+36× =-27-20+21=-26. (3)29×(-3); 解:(3)29×(-3) =(30-)×(-3) =30×(-3)-×(-3) =-90+ =-89. (4)-150×(-)-25×0.125+50×(-). 解:(4)-150×(-)-25×0.125+50×(-) =150×-25×-100× =(150-25-100)× =25×=. $$1.有理数乘法法则 (1)两数相乘,同号得　 　,异号得　 　,并把　 　相乘.  (2)任何数与0相乘,积仍为　 　.  2.如果两个有理数的乘积为1,那么称其中一个数是另一个数的　 　,也称这两个有理数　 　.若a,b互为倒数,则ab=　 　.  过教材　要点概览 4　有理数的乘除运算 第1课时　有理数的乘法法则 正 负 绝对值 0 倒数 互为倒数 1 初中五四制练案·数学·LJ·六上 3.(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由　 　的个数来决定.当 　 　的个数为奇数时,积的符号为　 　;当　 　的个数为偶数时,积的符号为　 　.积的绝对值等于各个因数的绝对值的积.  (2)几个数相乘,有一个因数为0时,积就为　 　.  负因数 负因数 负 负因数 正 0 2 精讲练　新知探究 探究点一　两个有理数的乘法运算 [典例1] 计算: 解:(1)5×(-11)=-(5×11)=-55. (4)(-3.25)×0=0. 3 解:(1)(-9)×(-8)=+(9×8)=72; 4 探究点二　倒数 A 5 点睛 求一个数的倒数的方法: (1)真分数和假分数:交换分子、分母的位置就得到该数的倒数; (2)整数:先看成是分母为1的分数,再颠倒分子、分母的位置; (3)小数和带分数:小数化为分数,带分数化为假分数,再求变形后的分数的倒数. 6 探究点三　多个有理数相乘 [典例3] 计算: 7 8 谢谢观赏！ 9 (1)5×(-11); (2)(-9)×(-); (3)(-2)×(-0.6); (4)(-3.25)×0. (2)(-9)×(-)=+(9×)=. (3)(-2)×(-0.6)=+(×)=. [变式1]计算: (1)(-9)×(-8); (2)(-1)×7; (3)0×2; (4)×(-). (2)(-1)×7=-7; (3)0×2=0; (4)×(-)=(-×)=-. [典例2] 的倒数是( ) A. B.- C.- D. (1)×(-)×(-)×1; 解:(1)×(-)×(-)×1 =×××=. (2)(-)×(-)×(-1.5)×6; (3)(-3.14)×(-)×199×0×(-88). 解:(2)(-)×(-)×(-1.5)×6 =-(×××6)=-2. (3)(-3.14)×(-)×199×0×(-88)=0. $$1.有理数减法法则 减一个数,等于　 　,  即a-b=a+(　 　).  2.有理数减法的运算步骤 (1)把减号变为　 　(改变运算符号);  (2)把减数变为它的　 　;  (3)把减法转化为　 　,按照　 　运算的步骤进行运算.  过教材　要点概览 第3课时　有理数的减法 加这个数的相反数 -b 加号 相反数 加法 加法 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　有理数的减法运算 [典例1] 计算下列各题: (1)(-20)-(-12);(2)(-1.4)-2.6; 解:(1)(-20)-(-12)=(-20)+12=-8. (2)(-1.4)-2.6=(-1.4)+(-2.6)=-4. 2 (4)(-10)-(-15)-(+36)-(-23). 解:(4)(-10)-(-15)-(+36)-(-23) =(-10)+15+(-36)+23 =[(-10)+(-36)]+(15+23) =(-46)+38=-8. 3 探究点二　有理数减法的实际应用 [典例2] 某矿井下A,B,C三处的海拔分别为-35.6米,-122.7米,-67.8米. (1)A处比C处高多少米? (2)B处比C处高多少米? 解:(1)-35.6-(-67.8)=32.2(米). 答:A处比C处高32.2米. (2)-122.7-(-67.8)=-54.9(米). 答:B处比C处高-54.9米. 4 谢谢观赏！ 5 (3)-(-); (3)-(-)=+=1. $$利用有理数加减混合运算解决实际问题的步骤 (1)列式:将实际问题转化为数学问题,列出算式; (2)计算:进行有理数的加减混合运算; (3)作答:结合计算结果,确定实际问题的答案. 过教材　要点概览 第5课时　有理数的加减混合运算的应用 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　有理数的加减混合运算的应用 [典例1] 某口罩加工厂为满足市场需求,计划每天生产6 000个口罩,由于各种原因,实际每天的生产量与计划相比有出入,下表是某一周的生产情况(超产为正,减产为负,单位:个). 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +150 -200 +300 -100 -50 +250 +150 2 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个? (2)与计划比较,这周产量超产或减产多少个? 解:(1)+300-(-200)=500(个), 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个. (2)150-200+300-100-50+250+150=500(个), 故这周产量超产500个. 3 (3)若该口罩加工厂实行计件工资制,工人每生产一个口罩便得0.2元,则本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元? 解:(3)6 000×7+500=42 500(个), 42 500×0.2=8 500(元). 故本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8 500元. 4 [变式1]有人用600元买了一匹马,又以700元的价钱卖了出去;然后,他再用800元把它买回来,最后以900元的价钱卖出.在这桩马的交易中,他 ( ) A.收支平衡 B.赚了100元 C.赚了300元 D.赚了200元 D 5 [变式2]某人用400元购买了8套儿童服装,准备以一定价格出售,如果每套儿童服装以56元的价格作为标准卖出,超出的记为正数,不足的记为负数,记录如下:-3,+7,-8,+9,-2,0,-1,-6.那么他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损? 解:卖完这8套儿童服装的总收入为 56×8+(-3+7-8+9-2+0-1-6)=448-4=444(元). 因为444>400, 所以他卖完这8套儿童服装后是盈利的. 6 探究点二　有理数的加减混合运算与新定义的综合 0 7 A 8 谢谢观赏！ 9 [典例2] 规定图形表示运算a+b-c,图形表示运算x+z-y-w,则+=　 　(直接写出答案).  [变式3]大家都知道,“七时五十分”可以说成“差十分八时”,有时这样表达更清楚,这也启发了人们设计了一种新的加减记数法. 比如:8写成1,1=10-2; 189写成29,29=200-20+9; 7 683写成13,13=10 000-2 320+3. 按这个方法计算5 2-3 1的结果是( ) A.2 408 B.1 990 C.2 410 D.3 024 $$一般地,一个大于10的数可以表示成　 　的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数方法叫作科学记数法.将用科学记数法表示的数a× 10n化为原数时,只需将a的小数点向右移动　 　位.  过教材　要点概览 第2课时　科学记数法 a×10n n 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　用科学记数法表示较大的数 [典例1] 用科学记数法表示下列各数: (1)24 800 000; (2)-5 764.3; (3)361万. 解:(1)24 800 000=2.48×107; (2)-5 764.3=-5.764 3×103; (3)361万=3 610 000=3.61×106. 2 [变式1]目前全球最薄的手撕钢产自中国,厚度只有0.015毫米,约是A4纸厚度的六分之一,已知1毫米等于1百万纳米,0.015毫米等于多少纳米?将结果用科学记数法表示为( ) A.0.15×103纳米 B.1.5×104纳米 C.15×105纳米 D.1.5×106纳米 [变式2]“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统,国内多个导航地图采用北斗优先定位.2023年北斗定位服务日均使用量已超过 6 000亿次.6 000亿用科学记数法表示为　 　.  B 6×1011 3 点睛 用科学记数法表示大于10的数的步骤: (1)定a:a必须满足1≤a<10; (2)定n:n的值比原数的整数位数少1; (3)写数:写成a×10n的形式. 4 探究点二　还原用科学记数法表示的数 [典例2] 下列用科学记数法表示的数据,原数各是什么? (1)一天有8.64×104 s; (2)一双没有洗过的手上大约有8×105个细菌; (3)森林每年能为人类提供大约2.83×109 t的有机物. 解:(1)8.64×104 s=86 400 s. (2)8×105个=800 000个. (3)2.83×109 t=2 830 000 000 t. 5 [变式3]下列用科学记数法表示的数据,原数各是什么? (1)太阳的半径约为6.96×105 km; (2)光速约为3×108 m/s. 解:(1)6.96×105 km=696 000 km. (2)3×108 m/s=300 000 000 m/s. 6 点睛 将用科学记数法表示的数化为原数: (1)还原后原数的整数位数等于n+1; (2)原数等于把a的小数点向右移动n位所得的数; (3)若向右移动小数点时位数不够,则用0补上. 7 谢谢观赏！ 8 $$1.(1)两数相除,同号得　 　,异号得　 　,并把绝对值　 　.  (2)0除以任何非0的数都得　 　.  注意:0不能作除数. 2.除以一个数等于乘这个数的　 　.  过教材　要点概览 第3课时　有理数的除法 正 负 相除 0 倒数 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　有理数的除法法则一的运用 [典例1] 计算: (1)(-42)÷(-7);　　(2)(-18)÷0.6; (3)1.2÷(-0.8);　　(4)0÷2 018. 解:(1)(-42)÷(-7)=+(42÷7)=6. (2)(-18)÷0.6=-(18÷0.6)=-30. (3)1.2÷(-0.8)=-(1.2÷0.8)=-1.5. (4)0÷2 018=0. 2 [变式1]计算: (1)(-432)÷(-9)÷(-8); (2)(-12.5)÷0.25÷(-5). 解:(1)(-432)÷(-9)÷(-8) =+(432÷9)÷(-8) =48÷(-8)=-(48÷8)=-6. (2)(-12.5)÷0.25÷(-5) =-(12.5÷0.25)÷(-5) =-50÷(-5)=+(50÷5)=10. 3 点睛 进行有理数的除法运算时注意: (1)两个有理数相除,先根据“同号得正,异号得负”确定商的符号,再把绝对值相除; (2)0不能作除数. 4 探究点二　有理数的除法法则二的运用 [典例2] 计算: 5 6 7 点睛 有理数的除法运算转化为乘法运算时注意: (1)有理数除法法则二是通过倒数将除法运算转化为乘法运算,做题时应分清倒数和相反数的概念; (2)连除运算按照顺序进行; (3)若有小数、带分数参与运算,则要将小数化为分数,带分数化为假分数. 8 谢谢观赏！ 9 (1)(-)÷; (2)(-39)÷÷(-)÷(-13). 解:(1)(-)÷ =(-)×=-(×)=-. (2)(-39)÷÷(-)÷(-13) =(-39)××(-)×(-) =-(39×××)=-. [变式2]计算: (1)(-)÷(-); (2)(+5)÷(-3); 解:(1)(-)÷(-)=÷=×=; (2)(+5)÷(-3) =-÷=-×=-; (3)(+1.25)÷(-0.5)÷(-); (4)-18÷(+3.25)÷(-2). 解:(3)(+1.25)÷(-0.5)÷(-) =1.25÷0.5÷=×2×=4; (4)-18÷(+3.25)÷(-2) =18÷3.25÷2=18××=. $$1.有理数的混合运算 先算　 　,再算　 　,最后算　 　;如果有括号,先算括号里面的.  2.同级运算,从　 　到　 　进行.  过教材　要点概览 6　有理数的混合运算 乘方 乘除 加减 左 右 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点　有理数的混合运算 [典例] 计算: 2 3 [变式]计算: (1)-24+(3-7)2-2×(-1)2; 解:(1)-24+(3-7)2-2×(-1)2 =-16+(-4)2-2×1 =-16+16-2=-2. 4 5 谢谢观赏！ 6 (1)(+-)÷; 解:(1)(+-)÷ =(+-)×24 =×24+×24-×24 =6+9-14=1. (2)-23÷8-×(-2)2. 解:(2)-23÷8-×(-2)2 =-8÷8-×4=-1-1=-2. (2)÷4+(-). 解:(2)÷4+(-) =(-8+)÷4+(-) =-÷4+(-) =-+(-)=-. $$