24.2.2 直线和圆的位置关系 课件2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2.2 直线和圆的位置关系 O A C B （1） 点A在圆内 （2） 点B 在圆上 （3） 点C 在圆外 d<r d=r d>r 定量判断： 比较点到圆心O的距离 d与半径 r的大小 r 1、点与圆的位置关系有几种？ 三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外 2、判定点与圆的位置关系的方法是什么？ 回顾复习 回顾复习 3、点到直线的距离是如何定义的？ 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 P 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短。 ┐ 24.2.2 直线和圆的位置关系 一、复习回顾 二、情境创设 点和圆的位置关系 三、新知探究 相交 相切 相离 割线 切线 2个公共点 无公共点 1个公共点 （交点） （切点） 点到直线的距离 1.直线和圆的位置关系 知识讲解 .O 思考：直线和圆会不会有第三个公共点？ （反证法）假设有第三个公共点。 设三个交点为A、B、C，则有AB、BC在一条直线上且它们都是 直线。而三个交点又同时在一个圆上，但圆上没有直线。所以 矛盾。因此，直线和圆最多有两个公共点。 公共点既在圆上，又在直线上！ 3. AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点 E，过点 E 作⊙O 的切线交 AC 于点 D，试判断△AED 的形状，并说明理由. 解：连接 OE， ∵∠EOB＝2∠EAO，AE 平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAO＝∠EOB，∴AC//OE， ∵EM 为⊙O 切线，∴OE⊥EM， ∴∠ADE＝∠OEB＝90°， ∴△AED 为直角三角形. 1. 定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2. 数量法（d＝r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 3. 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 方法引导： 当已知直线与圆有公共点，要证明直线与圆相切时， 可先连结圆心与公共点， 再证明连线垂直于直线 ，这是证明切线的一种方法. 证明直线与圆相切有如下三种途径： 思考： 反过来，如果 L 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 L 是不是一定垂直呢？ 答：一定垂直. 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 新知讲解 O A L 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm． 当堂练习 B C A 4 3 D 分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d. 解：过C作CD⊥AB，垂足为D. 在△ABC中， AB= 5. 根据三角形的面积公式有 即圆心C到AB的距离d=2.4cm. 所以 (1)当r=2cm时, 有d >r, 因此⊙C和AB相离. B C A 4 3 d 记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边. D （2）当r=2.4cm时,有d=r. 因此⊙C和AB相切. （3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和AB相交. B C A 4 3 D B C A 4 3 D 【例3】Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm, 以 C 为圆心， C B A d D CD=2.4cm d =2.4cm r =2.4cm r =d 0＜r ＜2.4cm 0＜r＜d r ＞2.4cm r ＞d 拓展思考1:（1）当r满足 时，⊙C与直线AB相切； （2）当r满足 时，⊙C与直线AB相离； （3）当r满足 时，⊙C与直线AB相交. 相交 相离 相切 【例3】Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm, 以 C 为圆心， C B A d D CD=2.4cm d =2.4cm 拓展思考2：若要使⊙C与线段AB只有一个公共点，这时⊙C的半径r 要满足什么条件？ ①r =d =2.4cm时⊙C与线段AB只有一个公共点. C B A d D r =2.4cm或3cm＜r ≤4cm ②2.4cm＜r ≤3cm时⊙C与线段AB有两个公共点. ③3cm＜r ≤4cm时⊙C与线段AB只有一个公共点. 分类讨论 题型归类 题型三、与方程的综合 【例4】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，且r与d均为一元二次方程x2-6x+9=0的根，请问⊙O与直线l的位置关系是？ 分析：一元二次方程x2-6x+9x=0的根为x1=x2=3 因此r=d=3 所以⊙O与直线l相切. 24.2.2 直线和圆的位置关系 1.直线和圆的三种位置关系 一、复习回顾 二、情境创设 点和圆的位置关系 三、新知探究 相交 相切 相离 割线 切线 2个公共点 无公共点 1个公共点 2.判断直线和圆的位置关系： （交点） （切点） 注：1.公共点既在圆上，又在直线上。 2.直线是无限延长的直线。 设圆O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d ，那么： 圆O和直线l相交 圆O和直线l相切 圆O和直线l相离 d < r d = r d > r 定性：公共点个数 定量： 点到直线的距离 圆心到直线的距离d和半径r的大小关系 d r d r d r 点与圆有三种位置关系，直线与圆也有三种位置关系，这两者之间有怎样的关系？ 直线与圆的位置关系转化为点（垂足）与圆的位置关系来进行研究。 知识讲解 当点（垂足）在圆内时，直线与圆 ；当点（垂足）在圆上时，直线与圆 ；当点（垂足）在圆外时，直线与圆 。 相交 相切 相离 学以致用 1.已知☉Ｏ的半径r为1，圆心Ｏ到直线l的距离为ｄ，若ｄ＝2，则直线ｌ与☉Ｏ的位置关系为______. 2.已知☉Ｏ的半径r为１，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，若点Ａ在直线ｌ上,OA＝1，则直线ｌ与☉Ｏ的位置关系为______． 3.直线ｌ与半径为ｒ的☉Ｏ相交，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为2，则ｒ的取值范围为_______． 相离 d>r OA=d=r 相切 d<r r>2 $$