3.7切线长定理 课件2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件围绕切线长定理及外切四边形性质展开，课堂导入先复习切线的性质与判定定理，通过合作探究让学生动手画圆的切线、分析轴对称图形特征，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过观察酒厂标志图形抽象数学模型，推导外切四边形对边和关系，培养几何直观与推理能力。例题联系生活实际，辅助线总结实用，助力学生发展数学思维，教师可直接用于教学提升效率。

7 切线长定理 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 切线长定理 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2.学会运用切线长定理解有关问题. 3.理解切线长的定义. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 2、什么叫切线的判定定理？ 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 1、什么是切线的性质定理？ 圆的切线垂直于过切点的半径． 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看. O P 2 条 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 知识点一 切线长定理 A B O P 如图，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 是轴对称图形，对称轴是直线 OP . 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 知识点一 切线长定理 A B O P （2）在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. 相等的线段有OA=OB，PA=PB.利用的是对称性 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 知识点一 切线长定理 定义：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. O P A B 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 知识点一 切线长定理 O P A B 证明：连接OA，OB. ∵ PA，PB是⊙O的切线， ∴∠PAO=∠PBO=90°. 在Rt△POA与Rt△POB中， ∵ OA=OB， OP=OP， ∴ Rt△POA ≌ Rt△POB. ∴ PA=PB. 已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 求证： PA=PB. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 知识点一 切线长定理 切线长定理 ∵ PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴ PA=PB , OP平分∠APB. 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 几何语言: O P A B 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 知识点一 切线长定理 根据Rt△AOP与Rt△BOP全等，我们还可以得到其他一些什么结论？ O P A B 还可以得到：∠OPA=∠OPB， ∠POA=∠POB. 从而切线长定理可拓展为：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 例1 观察五粮液酒厂东大门的标志，我们从中得到了下图所示的数学图形，已知 AP，BP 分别与 ⊙O 相切与A、B两点，切线长 AP = 1m，点 O 到点 P 的距离是 2m. (1) BP = ________； (2) ⊙O的半径 r = __________； (3) 连接 OP，则∠OPA = __________°； (4) ∠APB = __________°； (5) 连接 AB，AB = __________. O A B P 1m 60 120 m m 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练一练 B P O A 1. PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 议一议 知识点二 外切四边形 如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ A B O C D DE=DH， AG=AH， BG=BF， CE=CF. G F E H 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 知识点二 外切四边形 想一想：将上面四个等式左右两边分别相加，我们能得出什么结论？ 圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边和相等. AG+BG+DE+CE=AH+BF+DH+CF A B D G F E H O C 所以AB+CD = AD+BC 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 例2 如图，在Rt△ABC 中， ∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，求⊙O 的半径. 解：连接OD，OE，OF， 则OD=OE=OF, 设OD=r. 在△ABC中，AC=10, BC=24， ∴AB = = 26. 分析：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 ∵⊙O分别与AB，BC, AC相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE ⊥ BC, OF ⊥ AC，BD = BE，AD = AF，CE=CF. 又∵ ∠ C=90°, ∴四边形OECF为正方形. ∴ CE=CF=r. ∴ BE = 24-r, AF=10-r. ∴ AB = BD + AD = BE+AF =24-r+ 10-r= 34-2r. 而AB = 26, ∴ 34 -2r = 26. ∴ r = 4, 即 ⊙O 的半径为4. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 归纳 归纳 （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； 切线长问题辅助线添加方法 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习巩固 1.如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( ) A. B.2 C.2 D.3 B 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习巩固 2. 已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长. O P A 3cm 6cm 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习巩固 3 △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13．求AF，BD，CE的长． 解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x． 由BD＋CD=BC，可得(9-x)＋(13-x)=14． 解得x=4． 因此AF=4，BD=5，CE=9． O F E D C B A 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习巩固 4. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数. 解：由切线长定理可知PA ＝ PB. ∵PA是⊙O的切线. ∴∠OAP ＝ 90°. ∵∠BAC=25°，∴∠BAP=65°. 又∵PA＝PB，∴∠ABP＝∠BAP ＝ 65°. ∴∠P ＝ 180°－∠BAP－∠ABP ＝ 50°. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 课堂小结 辅助线 概念 切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 3.连接圆心和圆外一点. 2.连接两切点； 1.分别连接圆心和切点； 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$