精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

鹤岗市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：120 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 曲线在处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设是虚数单位，若，则复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 7. 为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 15种 8. 恰有一个实数满足成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10. e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知点，，动点到直线的距离为，，则（ ） A. 点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹曲线的离心率等于 C. 点的轨迹方程为 D. 的周长为定值 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知数列中，，，求数列的通项公式___________ 13. 化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________． 14. 已知空间向量，若，则实数__________. 四、解答题： 15. 在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 16. 如图，从左到右共有5个空格． （1）向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？ （2）用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？ 17. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间. 18. 已知等差数列的前项和为，，，且．数列满足 （1）求的值； （2）求数列的前项和． 19. 已知函数． （1）求的单调区间： （2）若有两个零点，求a的取值范围； （3）当时，，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤岗市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：120 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 曲线在处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程. 【详解】，所以，因此切线的斜率为， 又，由点斜式可得切线方程为， 故选：B 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 3. 已知向量，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为向量，，，则，解得. 故选：C. 4. 设是虚数单位，若，则复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 , 故选D. 5. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解. 【详解】设双曲线的半焦距为， 离心率为， 由，则，， 因为是的平分线， 所以, 又因为， 所以， 所以，解得，即， 所以双曲线的离心率取值范围为. 故选：B 6. 在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 7. 为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 15种 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，只需将这五个人分成两组，并且分成人数为2、3或3、2两组，同时小明与小李分在不同组，由此结合计数原理求解. 【详解】按除去小明和小李后，剩余3人与小明同组的人数确定分组方法：即种方法，这两组安装吉祥物的方法为，故按要求这五人共有6×2=12种方法. 故选：C. 8. 恰有一个实数满足成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数性质并描绘函数的大致图象，分析判断即可得解. 【详解】解：当时，不成立， 所以，不是方程的根， 故原方程转化为，令， 由题意知直线与曲线仅有一个交点. ∵由，可得， ∴当或时，， 函数在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以为函数的极小值. 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以函数的大致图象如下图 ∴由直线与曲线仅有一个交点知 ，即的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的零点个数方程根的个数函数与函数图象交点的个数. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步与分类计数原理计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的选法，所以选项C错误. 【详解】A. 从中任选1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 10. e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断. 【详解】原式变形为， 构造函数，则， ∵， 当时，，则，即； 当时，，则，即； 故在上单调递减，在上单调递增， 对于A：取，则 ∵在上单调递增，故， 即满足题意，但，A错误； 对于B：若，则有： 当，即时，则，即； 当，即时，由在时单调递增，且， 故，则； 综上所述：， B正确； 对于C：若，则有： 当，即时，显然成立； 当，即时，令， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，所以，即， 由可得，即 又∵由在时单调递增，且， ∴，即； 综上所述：，C正确； 对于D：取，，则， ∵在上单调递减，故， ∴故，满足题意，但，D错误. 故选：BC. 【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式： （1）积型：， ①构造形式为：，构建函数； ②构造形式为：，构建函数； ③构造形式为：，构建函数. （2）商型：， ①构造形式为：，构建函数； ②构造形式为：，构建函数； ③构造形式为：，构建函数. 11. 已知点，，动点到直线的距离为，，则（ ） A. 点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹曲线的离心率等于 C. 点的轨迹方程为 D. 的周长为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，设动点的坐标为，从而得到点的轨迹方程，然后根据椭圆的性质判断，即可得到结果. 【详解】因为点，，动点到直线的距离为， 设动点的坐标为，可得， 化简可得，所以点的轨迹为椭圆，故AC正确； 离心率为，故B错误； 的周长为定值，故D错误； 故选:AC 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知数列中，，，求数列的通项公式___________ 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得，从而可得数列是等差数列，求出其通项公式后化简即可得到. 【详解】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又， ∴，∴. 故答案为：. 13. 化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________． 【答案】x5－1 【解析】 【分析】逆用二项式定理即可计算. 【详解】原式＝(x－1)5＋ (x－1)4＋ (x－1)3＋ (x－1)2＋ (x－1)＋－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1． 故答案为：x5－1. 14. 已知空间向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线向量定理和空间向量的坐标运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，即 所以 故答案为：. 四、解答题： 15. 在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式; (2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和. 【小问1详解】 由于是等差数列,设公差为, 当选①②时:,解得, 所以的通项公式. 选①③时:,解得, 所以的通项公式. 选②③时:,解得, 所以的通项公式. 【小问2详解】 由(1)知,, 所以, 所以 . 16. 如图，从左到右共有5个空格． （1）向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？ （2）用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？ 【答案】（1）36 （2）48 【解析】 【分析】（1）先排个位，再排万位，再排余下的位置，利用分步乘法原理求解； （2）依次从左到右涂色，再利用分步乘法原理求解. 【小问1详解】 由题意，选一个奇数放在个位有2种放法，从余下的数中选一个数放在万位有3种放法， 再放余下的第二、三、四位，共有种，根据分步乘法原理，这样的五位数的奇数共有（个）． 【小问2详解】 从左数第1个格子有3种涂色方案，则剩下的每个格子均有2种涂色方案，故涂色方案共有（种）． 17. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间. 【详解】（1）由题意得：， ，又， 在处的切线方程为，即. （2）由（1）知：， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用. 18. 已知等差数列的前项和为，，，且．数列满足 （1）求的值； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得数列的前3项，利用，求得； （2）求得数列的公差，得到，解得，结合并项法及等比数列的求和公式 求和即可. 【小问1详解】 等差数列的前项和为， 可得， 因为，可得，解得. 【小问2详解】 由， 所以等差数列的公差为， 所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的前项和： ， 19. 已知函数． （1）求的单调区间： （2）若有两个零点，求a的取值范围； （3）当时，，求a的取值范围． 【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合，判断导数正负，可得答案； （2）根据题意要使函数有两个零点，需使得函数最小值小于0，列出不等式，求得答案； （3）将不等式恒成立化为在上恒成立，从而构造函数，利用导数求其最小值，结合解不等式，可求得答案. 【小问1详解】 由题意，函数定义为 ， 则，在上单调递增，且， 故当时，，当时，， 故的单调减区间为，单调增区间为. 【小问2详解】 由（1）可知在时取得最小值， 即， 而当，且x趋近于0时，趋近于0，趋于无穷大，则趋于无穷大， 当趋于无穷大时，趋于无穷大，趋于，则趋于无穷大， . 故要使有两个零点，需有 ， 即a的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，即， 即在上恒成立， 令， 则，函数在上单调递增， 且当趋近于0时且时，与都趋于无穷小，则趋近于无穷小， 当趋于无穷大时，趋于无穷大，趋于0，则趋于无穷大， . 故在上必有唯一零点，设为，即，且， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 由题意可知当时，恒成立，需在上恒成立， 即，即， 所以，即 ， 当时，，不合题意； 当时，，又，则， 故结合，由于函数在恒成立， 可得，即； 当时，，又，则，则， 即，又， 故， 综合上述或，即a得取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $