15.3.1 等腰三角形-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（人教版2024）

15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 ©第1课时 等腰三角形的性质 ①基础在线沙>知识要点分美然 F,作射线BF交AC于点G,则∠ABG的大小 为 度 知识点1等边对等角 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC内 1.(中考·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC, 一点，且BD=DC.求证：∠ABD=∠ACD. ∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=() D A.100° B.115°C.130°D.145 2.(福州期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A =36°，则∠C= 知识点2三线合一 7.(中考·云南)已知AF是等腰三角形ABC底 边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3， 则点F到直线AC的距离为 () 第2题图 第3题图 B.2 C.3 D.7 3.(教材P80练习T2变式)如图，在△ABC中， A号 点D在边BC上，AB=AD=DC,∠C=35, 8.(福州期中)如图，在△ABC中， 则∠BAD= AB=AC,D是BC的中点，则 4.(中考·绥化)如图，AB∥CD,∠C=33°，OC= 下列结论中，不一定成立的是 OE,则∠A= () A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.∠BAD=∠CAD D.AB=2BD 9.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB= AC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. 第4题图 第5题图 求证：DE=DF. 5.(中考·甘孜)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆 心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点 D,E,②分别以点D,E为圆心，大于DE长 为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点 53探究在线八年级数学（上） 易错点1因不明确等腰三角形的顶角与底 ∠ACB的度数为 角而出错 10.若等腰三角形的一个角是36°，则它的另外两 个角的度数分别是 易错点2误用“三线合一”而出错 第15题图 11.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D, 第16题图 ∠A=50°，则∠DBC的度数为 16.(连云港期中)如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC,D为BC延长线上一点，EC LAC, 且AC=CE,垂足为C,连接BE,若BC=a, 则△BCE的面积为 17.【推理能力】(1)如图，在△ABC中，∠BAC= 第11题图 第12题图 90°，AB=AC,点D在BC上，且BD=BA, ②能力在线 》方法规律综合练 点E在BC的延长线上，且CE=CA,则 ∠DAE的度数为 12.(方程思想)（怀化期中）如图，在△ABE中， (2)如果把(1)中的“AB=AC”去掉，其余条 ∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于 件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？请说 点C,且AB+BC=BE,则∠B的度数是 明理由： (3)如果把(1)中的“∠BAC=90°”改为 ( A.45°B.50° C.55° D.60° “∠BAC>90”,其余条件不变，那么∠DAE与 13.(长沙期中)如图，在△ABC中，以点A为圆 ∠BAC的大小关系为 心，AB长为半径作弧，交BC于点D,取BD 的中点E,连接AE,以点D为圆心，适当长 为半径作弧，与边AC相交于点G和H,分别 以点G和H为圆心，以大于2GH的长为半 径作弧交于点I,作直线DI,交AC于点F, 若AB=CD,且AB≠BD,则下列结论： ①AE⊥BC:②AF=CF;③∠EAD=∠CAD: ④∠B=2∠C.其中正确的有 () A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ ③拓展在线 》培优拔尖提升练 第13题图 第14题图 18.(咸宁期中)如图，在△ABC中， 14.如图，在四边形ABCD中，AB=AC,CE⊥ AB=AC,BC=4,SAABC=20,D AD,垂足为E.如果CE=BC,∠CAD= 为BC边的中点，AC的垂直平 分线l交AC于点E,若P为直 18°，那么∠B= 0 线l上一动点，则△PDC的周长 15.(整体思想)（中考·内江）如图，在△ABC 的最小值为 中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则 A.7 B.10 C.12 D.14 第十五章54 ©第2课时 等腰三角形的判定 基础在线》知识要点分奏练 知识点2等腰三角形的性质与判定的综合 5.(教材P81练习T3变式)如图，D 知识点1等腰三角形的判定 已知AC和BD相交于点O,AB 1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC ∥DC,OA=OB=4.若OC=3, ( 是 () 则BD的长为 A.5 B.6 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.7 D.8 C.等边三角形 D.钝角三角形 6.已知：如图所示，AB=AC,点E在CA的延长 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a, 线上，EP⊥BC交AB于点F,交BC于点P. b,c,给出以下条件，不能判定其是等腰三角形 求证：AE=AF. 的是 ( A.∠A:∠B:∠C=1:13 B.a:b:c=2:2:1 C.∠B=50°，∠C=80 D.2∠A=∠B+∠C 3.(教材P81练习T1变式)如图， 在△ABC中，AB=AC,∠BAC =36°，BD平分∠ABC,则图中 知识点3用尺规作等腰三角形 的等腰三角形一共有() 7.尺规作图.已知：线段c,∠B,求作等腰三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 ABC,使其底边长为c,底角为∠B.(不写作图 4.已知：如图，在△ABC中，D是AB的中点， 过程，保留作图痕迹) DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE 人B =DF. 求证：△ABC是等腰三角形. 易错点 未指定等腰三角形的腰和底边，需要 分类讨论 8.如图，已知P为射线OA上一动点，∠O=30°， 当∠B的度数为 时， △BOP为等腰三角形. B 55探究在线八年级数学（上） ②能力在线 > 方法规律综合妹 9.(沧州期末)在下列尺规作图中，可以确定 △ABC为等腰三角形的有 图① 图② 图③ 3 拓展在线 》培优拔尖提升练 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 13.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=40°， 10.(沧州期末)如图，在△ABC中，点D在边 点D在线段BC上运动（点D不与点B,C重 AB上，且∠ADC=∠ACD=2∠B,关于①， 合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段 ②，下列判断正确的是 () AC于点E. ①若AB=27,△ADC的周长为43，则CD=11; (I)点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐 ②若∠A=36°，则图中共有2个等腰三角形. 变 (填“大”或“小”)： A.只有①对 B.只有②对 (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE? C.①②都对 D.①②都不对 请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也 在发生改变.判断当∠BDA等于多少度时， △ADE是等腰三角形. 第10题图 第11题图 11.如图，已知△ABC2△DBE,点D在AC上， DE与BC相交于点F,若∠CAB=∠ABC, 4040 D ∠C=36°，则∠1的度数为 () A.108°B.110 C.112 D.115 12.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°， BD是∠ABC的平分线，交AC于点D,E是 AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长 线于点F,连接AF.求证： (1)EF⊥AB: (2)△ACF为等腰三角形 第十五章56在△DF中，∠D=1∠=， 设∠CAk-■ ∠F=1N”-∠0∠g=2出” (CA=E,∠E-∠CAE= I5.如周，作∠BC的平分线，交AC于D.则意D 为求 2D如图，作线收C的清直平分线，丝配于点E,则点 BD-BA. E厚为所求 ∠0=∠H=(1-∠=45 A∠DAE=∠BDM-∠E=4 (3》∠DME-支∠LAG 5展在 18C 素2课时华里5角每的判爱 基璃在战 1.H 2D 3C ,D是A的中点，二AD- 片DE⊥AC,DF⊥C,∠AED-∠BFD- 在R1△DE和R1△BDF中， DE-DF, 2)设点某（xy): ∴，累I△ADETORIA△BDF∴，∠A=∠民 直保a上各或椅坐标得为1，且平行于y输M(ab) AC=属△AC是等三角形 .“AHAC,”H=∠已 点M(阳-)无于直钱。对称的点的坐据为 P1BC.i∠F+∠C-∠B+∠BFP0 /E/BFP .1)DF⊥AB.∠CB= 品△ADF,△ACE是直角三角君 ∠E=∠EFA.AE=AF 霍R△ACE和R1△ADF中 2,妇图时茶，△AC厚为商求作的等型三角形 AE-AF+ A”=A日. ：△Mkt△AHL.,Cg=DF (2)EFLC,DF⊥AB .∠C上F=0.BDF=” 【20接市度0 ∠BFD+∠ABF=0 健力在线 又F∠ACB-∠ACF+∠ECF=9g,∠ACF=∠AF B.D ID.A I1.A 12(1》AA=AG∠KAC=6, 在△和△FD中 /AmA用m72” ∠F-∠BFD. BD是∠ABC的平分线 E=0R, ∠ABD+∠FBD=36. ∠CEF-∠BDF-', ∠HAD=∠ABDAD=HID △FCE2△BFDCA8A).,FC-FA 又：E是AI的中点，站LA因，库下A :点F在的直平分线土 ():F⊥AN.AB=NB,官车直平会An 15.8等暖三角形 AP-∠AR-∠A时 ∠AH=∠H风D.∠上礼05》=36 第1保时等腰天角彩的性质 又H∠CB=Y,4∠UFC-∠CH-∠CF-3 基他在楼 ∠CF=∠AFC-a :AC=GF.0△，C为等型三角B 6,LB=MC.∠BC=∠& 防氧在线 1(1 ∠AUC-∠1-∠ACH-∠2 〔》当C-里时，△A2△C术理由如下： F∠ABD=∠ACD ∠DC+∠EM=∠AC=∠DMB十∠H,∠H ∠EDA=4, g,A-AMC,BD=D,AD平分∠AC ∠EDC=∠DMB. DR⊥AB,DF⊥AC,IE=DF, AB-AC2.∠D=∠C 10,72,2216.10s1.25 当C=AB=2时，AADQ△DGE 铜力在领 〔3》下AB-AC,二∠C-∠I=0分三种情成时论 1.n1aC16.g15.1oe16÷2 ①当A0-A时，则∠AD=∠AD-4o R“AU二∠C=40. 框互子香：放此种情不符合夏 )∠DME的度数不会成受.理由： 当DA=DE，∠DM5-∠DEA-(1 22 一探究在统 ∠ED-×(1a0-0)- 在△AC中，∠A-,-6, AB-C- .∠D4=∠DAE+∠C=T0+40=11r 简力在破 由当A=边时，则∠Ax=∠AD求=4 ∠BA-∠D+∠C-+4- eAa号 解上所连，当∠D4=1成时，△E是等覆角形， Z,雀接AC:C为且E的中或，△AB配为等道 12等边三角 角币CDLAB, 暴1通时等流三扇利的性嘴与利定 AACLBE,∠D=∠HAC=3. 蒸证在线 量Dmt,周BC=2:,H=x 15m.BD 4A=C.∠AC=10N”, ∠ABC∠ACB-1'1r4 陌展在明 、技厘国尽准图，侧A及=了和 △ACD县等边三角形，E是AC的中点 过点P作上AB,是为C, 二OELAC二∠CEE=0 , 来/◆之AN=0 ∠APH=∠PHC-∠PAH=30 ∠DF-1--4 15-14 互△A队C是等边出角形，品AB=MC 品∠PAB=∠APR 在△ABP和△ACQ中 PB=AB=m AB-AC. C=于FI=方×7-15(me》 1= nP-cQ. PCc3.8 n mile △AH☑△Mk8AS,.AP=A0 量齿题8分满讨论需想在第腰三角形中的盛用 L.C 2.D &i ∠ACB=∠DF+∠F-0. 4昆△AC为等里三角警，A一AC,分两种桥程材论 YEF LAB,∠F+∠B-6.∠B= 1方A二0了，如有所元 Y∠ACB，△AC是等边三角 BD⊥AC∠A十∠AB-9 密力在墟 "∠ABD=36.∠A=0-3°=5 0.D11,00或2 12,1)△0D求是等造三角形， 程由：廿△AC是等边兰角思 ABC=∠CB- 可D国得∠DAB=-3”=5, "ODAB.OE.京AC A-AC,∠AC-∠C=∠Dp4I-2 ∠ODE-∠ABC-,∠CED=∠CB ,△ODE量等动三角形 上所述，这等角角度为6妇减2 3)0-DE-EC 厘由0n平分∠AC,∠A-∠D ODAA,∠OD-∠A :∠O出D=∠kDBD=OD 5,年分以下两种情： "△ODE是等边三角用.DE=OD=CE I)自图①，An边的希直平分线与C立交点D,∠A述 ,,8D题D5maC =4,则∠A=0,:A8=AC, 3,《红)E明△AC,△AMN每是等动三角卷 ,AN=AC,AM=AN,∠C=∠AN- 2)如图2：A因边的和直早分规与CA的基长线交干点 AM=∠CLN .ABAM2△CLN(AS9 ABCACN 战∠B的大小为65道 2)∠AC=∠ACV仍成立.理如下 :△ABC,△AMN是等边三角： ,AB=AC,AM=AN,∠HC=∠MAN=GM ∠AM-∠CN.∴.△An2△CANGSAS ,.2" 邦深在拔 ，”D为AC边上的中线，A 14,@ 《)当(AB中A)-《C+D=am到： 第2银务0"备的直商三两利的性项 蓄证在线 BC-5 cm:ABBC+1(cml LA2.1025 2)(BC+CD-《AI+D=3nN 8∠ACI=90,CD AB, ∠HcD-∠A= B c.AB-BC-3-Imh .BC-2D4 似是当A一多面时，三边长分射为2同，25m 八年纽图学（上）