14.3 第2课时 角的平分线的判定-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（人教版2024）

©第2课时 角 ①基础在线》知识要点分类然 知识点1角的平分线的判定 1.如图，PM⊥AC于点M,PN⊥AB于点N,PM =2,当PN=时，点P在∠BAC的平分 线上 M 第1题图 第2题图 2.如图，点O在一块直角三角尺ABC上（其中 ∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M,ON⊥BC于 点N,若OM=ON,则∠ABO= 3.(教材P52习题T3变式)如图，CD⊥AB于 点D,BE⊥AC于点E,BE,CD相交于点O. 求证：(1)当∠1=∠2时，OB=OC: (2)当OB=OC时，∠1=∠2. 知识点2三角形的角平分线 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC 的 () A.三条中线的交点 37探究在线八年级数学（上） 的平分线的判定 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.以上均不对 5.(廊坊期中)如图，点O在 △ABC内，且到三边的距离 相等，连接OB,OC,若 ∠OBC+∠OCB=60°，则 ∠A的度数是 A.30°B.60° C.45 D.70 知识点3角的平分线的实际应用 6.如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道 AB与铁路分别交于点A处和点B处.若在河 岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA,OB 的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位 置？请在图中标出点M的位置， 能力在线》方法规律综合然 7.如图，已知PA⊥ON于点A,PB⊥OM于 点B,且PA=PB,∠MON=50°，∠OPC= 30°，则∠PCA= N B M 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点I为 △ABC各内角平分线的交点，过I点作AC 的垂线，垂足为H,若BC=3,AB=4,AC=5, 那么IH的值为 () A.1 B多 C.2 D. 9.【关注社会生活】如图，直线1，l2,l3表示三条 相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找 出符合实际要求的点. 10.(教材P53习题T8变式)如图，在四边形 ABDC中，∠B=∠D=90°，O为BD的中 点，且AO平分∠BAC.求证： (1)CO平分∠ACD: (2)OA⊥OC: (3)AB+CD=AC. 11.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD =100°，∠ABC的平分线交AC于点E,过 点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°， 连接DE. (1)求∠CAD的度数： (2)求证：DE平分∠ADC; (3)若AB=7,AD=4,CD=8,且SAcn=15, 求△ABE的面积. ③拓展在线 》培代拔尖提升练 12.(天津南开阶段练习)如图，∠ABC,∠EAC 的平分线BP,AP交于点P,过点P作PM ⊥BE,PN⊥BF,垂足分别为M,N.有下列 结论：①CP平分∠ACF;②∠ABC+∠APC =180°；③AM+CN=AC;④∠BAC= 2∠BPC.其中正确的是 (填序号). 第十四章38AD8,∠CF=∠.∠AHF-∠F E,F⊥于点,过点B作G⊥AC于点G, ∠ABF=∠P. 即是△AC:的角平分线.PE=PF 在△ABE△AFE中 ∠BEL-∠AEF A配=AE, AB.PE △A△AE(AAS) -BC+PF ):△A△AFR,.-EF,AB=A 1∠6-∠F. 在△仪军△E中5- 1∠I=∠p …答提 AP· .△T☑△I球(ASA).C=球 【定理应用】 2AF-AD+DF-AD+nC-3+8-11. AB-AY-It ?-.-1等-品：5-是- 1,()E明：在△AH有△D团中， 1AN=E。 AH-0G. &R1△ABH@R:△DGHL.). 防属在峰 1&B ACOF. 第2潭时具特平分城的利爱 在△ACHR△DFG中， AH-DG 循碧在战 ∴△C若a△DWHL5 1.22.15 CH-FG.H+C-+GF,即C-5时 .1)∠∠1，C0LAB,0E⊥C, 「AB=DE, 在△AC和△DEF中，AC-DF, 雀A3D和△0OE中. BC-EF, ∠OD ∠00E 00=0是， 二.A8s D或句话不对.如，在△AC ∠ODBw∠OEC △ABD中，AC=AD,AB=AB,AE AE,两个三角形同样具签利动及第三 2)雀AD程A.是中. 边上的商相等，这两个三角飞 ∠ODB-∠OEC 不全尊，其中一个基艳角三角形，一个基氧角三角形。 ∠BO0∠00E. 14.多角的平分线 △D2△C0EAA.D+OE 某】泽时商的平会气的性质 又OD⊥AB,0ELG, A0平分∠BAC,■∠I=∠2 LB2.C3.A4.日5C 4.H5B 6.WBD是∠ABC的平分且，∠ABD=∠CBD AB-C,D-B,,ABO△CBD 6..是尿，∠CB的平分线与的点即为点M的位置 每力在 ,∠MDP=∠NDP. PMAD,PN⊥CD.PM-PN 1.65”&A 7.丙战拉是两个条等三角形对应地上的商蜂两条战授相罗 如图，户为角那再个内角平分线的交 解力在线 底，，，R分别为三角形三个外湘平阿 8.D9.B 1级.1)如图，C0厚为紧乔 贸物中转站的检置 101》黄点04E1AC干kE 2∠0BA=24 1.YBCOM. V∠B='O平分∠BAC,O8=C FO为D的中真， A为0的点， O=.0E0D 又W∠D=0,∠O5C=3, AALEC HIAACADI .C平计ACD ∠B=∠DM AD-AO 4B甲40 C2在△AO和△A以0中， 0思C是， AAEC△AODA5.AC=AD.CD=2D R△ABOR△AEOKHL. ,国夏AD的道最小时，线服CD的值最小. ÷∠AO用-∠A第-三∠滤 AD⊥OM时，AD的值最 WOB平升∠MON,AFLON于点E,CD⊥aW 月理，∠co0∠caE十∠0E, ADAE CD=2AD=6,每线及CD的最小为6. 1.【定理亚明】 周：△AE配的角平升线EPAC ×130-0.0⊥0c 于点P (》::△A枚无Q△A 匠，如过或P作PE⊥B干点 :AGC=Ag+G军，AH+CD=AC 20 一探究在统·八 1.1)F⊥A,∠AEF- △AG△A,AC= ”人餐A=灯一040” 在△AS中，：AB十>AE,AE-2AD ∠AD=-0@',.∠CA0=10-100-4g'=40 二A+AC2AD 《2)望明：过或￡作GLAD于点G,HLG于点， (2)AB=5,-1,H尾=AC ·之NA=∠440，wHN,1G1AD, 5一3CyA”5+1 .EF-0. 1GA4 :E平分∠AC,F⊥BN,H⊥C, 4,如图，延长到点从，使得=D球 连接AH.易△A△ADF(SAS LAD,H⊥C,.B滤半给∠A 得∠AH-∠MF,庄E得∠HAF 再由85L得△A☑△AP. a∠EF-∠EH-}∠HF=4S 如图，在上一点FB5 ×ADX EG+}XCDXEH--, BA,进晨EF:CE,E分酬平分 ∠BD,∠CBA 即号××E+号×8×EH-1 2-241-∠2. BABF, YEG-EH-EP:EF-EG-EH- 在AABEAFBE中， ∠1=∠8 “5一号×Anx-是XT×号-要 BEBE. △ADE@△FBETSAS.∠A■∠5 军车线 AB&CD,∠A+∠D=18 2,④ 图∠5+∠8m18r.∠8=∠D 微专题后构造全等三角形的几种常用方法 ∠6=∠D 1,如图，据长AD交BC于点F(相当于将 依△EFE程△EDC中，∠3=∠4， A8道向下色折，与连重合，点A ECAEC. 在点F处，新为 FC-DC. ”g平分∠AC, BC BF+FC BA+DC. .，过A作AD上x轴干点D,过点 RDLAD.∴∠ADn-∠=9g, B伟E⊥=种于点E,期∠DC■ Ap=∠下H ∠CEB=0. 在△AD和△D中。 ho-mD. ∠B=且∠A- ∠ADw=∠Dn ∠ACD+∠BE0.∠ACD+∠CAD=N .△AH△FBDLASA,∠-∠DF% ∠CAD-∠BCE 又：∠D求=∠1+∠C 2ADC=∠CEB ∠2=∠1中 在△LDC有△CEB中， AC-CB ￥∠EAD+∠AR=o.∠C+ 品△AD2△CEBCAAS). ∠ND=r',∠A-∠C ADC-EB.ADCE. 六∠AD=∠C 智点C的坐际为（一2,0：真A的坐标为《-6,3）： 在△AF相△KD中 口2 ADeCE=80D ∠C CD-0D-0C4.OECE-0C-3-2-1 AG HC. BEm4.点B的坐标是1，)， ∠ACF=∠C》=0 过点PFD8交AC于点D △ACP△CDAS4.AF=-2 "∠BAC=.∠C+40 在△AIB和△E中， 品∠ABC 2平分ZAB 节相"， ∠AE=∠FE作 ∠B-∠C0-∠C-4 二△A☑△FHECASA ∠CQ-∠G,.Q-0 点AB-EF.再AE-A月 ",p08n0../DCe∠p月g=0 ∠ADP-∠DC+∠C=m,DP-DC AE-8D AP平分∠HC,∠BMP-∠DMP-号∠&MC-, 及(1》L期：延长AD至点尾，使D球-A日 I∠ABP=∠ADP. D为C的中点，∴D= 在△LBP和△ADP中，∠AP-∠DMP 在△ADC和△EM中， AP-AP. ADaI. ,:△ABAA气AAS队.AI-AD,- ∠A-∠ED .-pB. AB+BP-AD+DP-AQ+QD+DC-AQ+OC- AQ+hq. 年切國学（上）