12.5 分式方程的应用-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（冀教版2024）

12.5 分式方程的应用 ©第1课时 分式方程的应用(1) 基础在线沙知识要点分类…。 知识点2行程问题 4.新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写 知识点1工程及工作效率问题 了“云南第一路”新篇章.小杰家到大理约 1.甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲 240km,从新修道路自驾去大理的平均速度 队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又 是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了1h, 共同工作了15天，全部完成此项筑路工程，已 设原来小杰家自驾去大理的平均速度是xkm/h, 知甲队单独施工需90天完成.若设乙队单独 根据题意，下列方程正确的是 () 施工需x天完成，根据题意可列方程为() A.<40_240> B.240-240=1 A8+5-1 B8+品+5-1 x x1.5x D.240+240 c品+2=1 n品+2+9- c0+240-1 1 1.5x 5.(教材P26习题T2变式)（中考·绥化）一艘 2.(教材P25例1变式)辛弃疾词日：“稻花香里 货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速 说丰年，听取蛙声一片.”五常稻花香大米味清 沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速 淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳 沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的 品.某收割队承接了60hm2五常水稻的收割 流速为 () 任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效 A.5 km/h B.6 km/h 率比原来提高了20%，结果提前2天完成任 C.7 km/h D.8 km/h 务.设原计划每天收割的面积为xhm,则可 6.某校组织师生去距离学校36km的纪念馆开 列方程为 展研学活动.骑行爱好者张老师骑自行车先行 3.(中考·泰安)随着快递行业的快速发展，全国 2h后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达. 各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产 已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的 品加工企业有甲，乙两个组共35名工人.甲组 3倍.设张老师骑自行车的速度为xkm/h.请 每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件 根据相关信息，回答下列问题： 农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品 (1)用含有x的代数式填空：汽车的速度为 数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 kmh:张老师骑自行车从学校到纪念 1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人 馆所用的时间为 h:其余师生乘汽车从 学校到纪念馆所用的时间为 h: (2)求张老师骑自行车的速度. 第十二章18 2 能力在线》方法规体合然 7.暑假期间，小明一家计划自驾去离家1200km远 的某风景区游玩.途中…设原计划以每小时 akm的速度开往该景区，可得方程1200 1,根据此情景，题中“…”表示的缺 失条件应为 () A.实际每小时比原计划快15km,结果提前1h 到达 B.实际每小时比原计划慢15km,结果提前1h 到达 3 拓展在线沙城代拔发凝升练 C.实际每小时比原计划快15km,结果延迟1h 到达 10.(中考·雅安)某市为治理污水，保护环境，需 D.实际每小时比原计划慢15km,结果延迟1h 铺设一段全长为3000m的污水排放管道， 到达 为了减少施工对城市交通所造成的影响，实 8.甲、乙，丙三名工人共承担装搭一批零件.已知 际施工时每天的工效比原计划增加25%，结 甲、乙、丙三人聊天时的对话信息如表，如果每 果提前15天完成铺设任务， 小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮 (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米： 流顺序至完成工作任务，共需 (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人 的工资进行了初步的预算，工人每天人均工 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独 完成任务所需时间多5h: 资为300元，所有工人的工资总金额不超过 乙说：我3h完成的工作量与甲4h完成 18万元，该公司原计划最多应安排多少名工 的工作量相等； 人施工？ 丙说：我的工作效率是乙工作效率的2 9.(教材P26习题T4变式)在周末自驾游中，李 明和张华相约从A城前往B城进行户外探 险，已知A,B两城相距120公里，两人均匀速 行驶，李明与张华的速度之比为3：2. (1)若张华先行15公里后，李明才开始从A城 出发，李明出发30分钟恰好追上张华，求李明 驾驶的速度为每小时多少公里： (2)若张华比李明早出发30分钟，结果反而比 李明晚30分钟到达B城，求李明驾驶的速度 为每小时多少公里 19探究在线八年级数学（上）·小 ©第2课时 分式方程的应用(2)】 基础在线沙 知识要，点分美练 知识点2 其他问题 1 4.(唐山期中)有一块长为57m、宽为30m的长 知识点1营销问题 方形空地，现在中间挖一个长方形游泳池，若 1.(中考·临夏)端午节期间，某商家推出“优惠 游泳池四周与空地边缘的距离相等，且游泳池 酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细心 宽与长的比是1：2，求游泳池四周与空地边缘 的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多 的距离是多少，设游泳池四周与空地边缘的距 购买10袋，求每袋棕子的原价是多少元.设每袋 离是xm,下列符合题意的方程是 () 粽子的原价是x元，所得方程正确的是 A.30-2x=1 57-x2 B.30-2-1 A.240-240=10 B.240_240 57-2.x2 10 x x+2 x x-2 C.30+x1 D. 0+2x_1 c2949-10 240_240=10 ·57+x2 57+2.x2 D x十2x 5.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍， 2.某城市的商场A和商场B都卖同一种电动 在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G 玩具，A商场的单价与B商场的单价之比是 网络快45s,求这两种网络的峰值速率.设4G 5:4,用120元在A商场买这种电动玩具比在 网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题 B商场少买2个，求这种电动玩具在A商场和 意，可列方程是 B商场的单价.设这种电动玩具在B商场的单 6.研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力， 价是4x,可列方程为 就是植物在生长过程中，通过光合作用，体内 3.某网店开展促销活动，其商品一律按8折销 吸收多少二氧化碳的能力.生物兴趣小组的同 售，促销期间用400元在该网店购得某商品的 学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700g 数量较打折前多出2件.求该商品打折前每件 所需的种植面积是垂柳一天固碳2150g所需 多少元 种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量 比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多3.2g, 求洋槐一天单位面积固碳量是多少克。 第十二章20 2 能力在线》 方法规律斌合结 小明同学把收集的信息和组内的同学交 交流 流后，一位同学表达了自己的看法，认为 7.(邯郸阶段练习)实验室有150g食盐水，其中 小明同学没有收集到七年级、八年级两 质疑 支志愿者队伍的“人数”“人均植树数”等 含盐10g,现要将该容器内食盐水含盐的百分 重要信息，没法进行系统研究。 比变为原来的)操作后，晓华根据自己的操 你对此有何看法？请你根据上述信 问题 任 息，就七年级、八年级两支志愿者队 伍的“人数”或“人均植树数”提出 作列出方程为2× 1 10 150 150+x,则未知数x 10 解决 务 个用分式方程解决的问题，并写出 解题过程， 表示的意义是 ( A.减少的水量 B.加入的食盐量 C.增加的水量 D.减少的食盐量 8.(承德阶段练习)某公司欲查询某款商品的进 价，发现进货单（如图）已被墨水污染，商品采 购员甲和仓库保管员乙对采购情况回忆如下： 甲：①号商品进价比②号商品进价每件高 50%: 乙：①号商品比②号商品的数量多40件， 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金领（元） ③拓展在线》培代技爽提升然 ① 7200 10.(保定阶段练习)A种糖的价格为18元/kg, ② 3200 B种糖的价格为30元kg,商店将10kgA种 若两人所说的内容均符合实际情况，则下列判 糖和30kgB种糖混合制成什锦糖。 断正确的是 (1)求该什锦糖的价格； A.①号商品的进价为60元/件 (2)商店要使该什锦糖的价格每千克降低 B.②号商品的进价为80元/件 1元，请通过计算确定需加入A,B两种糖中 C.①号商品的数量为80件 的哪一种糖，且需要加入多少千克？ D.②号商品的数量为40件 9.根据以下素材，完成调查活动 怎样知道七、入年级两支志愿者的人数和人均 植树数量 为改卷生态环境，某校七年级、入年 材 级两支志愿者队伍分别参加了两地 的杭树活动. 小明同学对这次植树活动进行调 调查 查，收集到如下信息： 活动 ①七年蛾、八年级两支志愿者队伍 各植树720棵： ②八年级比七年级人均植树多2棵： ③八年级的学生人数比七年级的学 生人数少20%. 21 探究在线 八年级数学（上）·刀及+nk是+}+…+清 当一2时，原式-异一名 立号点商以生华<解海 3.D 。 4源武-信)产信》号子 做专道】分式遥算的新情境一河北中考特色置型 0A-1-马*(tn)-1 分×分2×+品- x十y 因为方一2一，所以素十y一2 质以原式一宁 (2)② A--"H-且A是 (2)(2+2) +2+,任-2)+2边 整数， (r-2)《十27 m+1-士1 r m≠0，w=一2. 2.(10@ 因为分式要有意义， ◆1 )0. l+-]× 十1 质以x士2且x0且x≠一L 3 所以当1时，原式中行一2 6雕式-如平可+。- (a-) r+2 +6 《d-6)5 2 3B4.D5,D a6)a-‘(a-b)一u6“。厂g移 微专题？分式的化简与求值 L源式-如-1+z产。·a-8)-a-1-- 因为a,6调足(a一1)十1w十21=0， au-1. 所以a一1-0.6+2=0. e版武学有n业清 所以-1一之所以原式一户之L -x一1. 式守·网 x《二》 4一2 (x一y) -寄·为+ 二--2-a+4 x-y) 因为▣与2,3为三角思的三边长， 青，号 所以3一2<=<3+2，所以1<a<5. 因为c为幕数，所以4=2,3或4 0照武-红·业， 又目为a一2≠0，一49+0， 断以年中2且a平4.所以a“3.所以算式-一 K 《+y)(一)王十y 2y (5)算式= [a+--]+ 原式高·密-是 .++y 「11 L￥ga一1)】 -(信》*[。a] 解方程任，2 -0.0》ae--。-a 衡以当云=3y2时，期式-士义-5 里-y a-2 B.原式=2x+4. 工原式侣马)+ 《x-3》 00-34 又因为x2一1≠0，≠0：新以x≠0，±1 衡以把■一2代人，得2r十42×《一)+4= 18 一探究在线，八年 0,《答案不唯一) 2(x一2)，解这个整式力程.得x■一2， 10,设受-音-气-0. 经检验，灯=一？是原分式方程的解 则￥-2法b-k6=4地. 新授 2)油题意，得吕- 2626 220 :一1=4一x:解将x=5 经校险，x一5是原方程的解 阶段测评112.1-12.3引 9.A10.A11.B L.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 能力在城 7.x≠28.29.-a 12白-6答案不唯-)13，B14.A15,B 16 +2是 边闻廉江+2)（红一2），得《2一2)一16- 8.原式-2.(2)原式-四+ (x+2)1. 《3)原式”+3丝 解这个整式方程，朝x=一2 粮验：当x一一2时，(x十2)《x一2)-0，原分式 “源式=带 方程无意义 由题意，得“不能取一3,2， ,原分式方醒无解」 17,(1》方程两边同漏(x十1)(x一1).得3(x一1)+ 所以，当4-1时，原式-一（或当--1时， 6(x十1)w 式-》 禁理，得4附一9)一8 当E==1时，9一m=3,解得裤=6： 15.(1)当m■一1明，该分式无直义 当=1时，m一9=3.解得w=12. 《2)该分式的值为正整数，且m为整数 .若方程有增根，w的取值为6减12 1十群=1或1十m=3, (2)4(m-9)r=3, 解朝树=0流四=2 ,当用一9=0时，原分式有程无解.÷用一 即当裤=0或四=2时，核分式的值为正整数， “当m一6或12时方程有增根。 16.10> 二若方程无解，m的取值为6成9或12 6+m) 3》(m-9)江31m-g 方程的解为整数， 泰(6十w) (6十m》 m—9一士3或士1，激—9■3时，m=12(含 >a>0,w>0,∴，ba>0,b十m>0 去)当一9-一8时，m一6（去》当m一9一 时，m=10:当m=8=-1时，m一& ,整数w的值为8或10 拓展在线 十 17,(1)不是 18.12 《2)设分式加十有的关联分式”为A 125分式方程的应用 第1课时分式方粗的应聘1) 郑么+六1质以才-1一 基耐在规 3w+5 60 号所以A一青围分式温的关联 LB2.0 多世甲组有x名工人则乙组有(35一x)名工人，製 分式为加十与 指题意，得 M+2· 12,4分式方程 200-30@×1.2,解0x-20, 35-r 基碗在线 经校验，x一0基所列方程的解，且符合圆意： 1.D2.I3.B4.C5.A6.D 35上-35-20-15. 7,《1)方程两边同乘2x(x+5).得6x+5 容，甲组有20名工人，乙姐有15名工人： 解这个整式方程，得一1， 4.B5,D 经检验，：=1是原分式方型的解 《2)方程两边同乘2(x一2).得21一z)=x 贝数学（上》·小 《2)靓累知章，料12-36-8，解琴z一12 9,鬓出闻题：求出七年圾，八年拨两支志显者队伍的 12+8+6m26>25, "∠B+∠D=200,∠HD=6 人数， 小明不能在电影开始前赶到电影院 ∠B=∠D=100,∠BLC=∠DAC=32 经检的，士一12是原方程的解，且符合题意： 设七年级出画者有x人，则人年级志邀者有(1 核心囊蒸提升 ∠BCA-18-100-32°=48 答，张老师骑自行车的速度为12km/山 20%)x人，根据道意，得 16.60 2),△AB☑△ADC,.AD=AB=i.BC-CD=4 能力在线 720 7.AR19月 -2-t.解得工一90. 第十三章全等三角形 ,国边形ACD的属长为AD+AB+C十CD (1-20%0xx 1&.1命题与证期 =6+644+4=20. 轻检验，x=90是质列方程的解，且符合题宣， 基速在线 &14成1之.5 9.(1)最拳明露驶的速度为每小时3：公里，期张华 .(1-20%)x=(1-20%)×0=72, L.(1)内角和等手18如的多边形是三角形，真命题： 能力在线 的迪度为每小时2：公里，依题意，得 答：七年饭七邀者有0人，八年提志B若有72人 《2)他对值相等韵柄个数互为相反数，服角延.风 C10,A11.D12180 ×4=15+×2 拓展在线 例1g=2,6=2 1从如函所尽.（答案不雅一》 解得上=30.周3x=B0 10.1,8×10t0X30-2元/kg. 《3)积为正数的两个数同号，真角题， 10+30 答，李切驾旋的迪度为每小时S0公里 《4)有两个说角的三角形是镜角三角形，鞋的超 客：10kgA种薪和0kg日种情温合制成的什 (2)爱李明霉驶的速度为每小时y公里，周张华的 反解：在△AC中，∠A=∠B■∠C=。 馅德的骨格为27元/kg 2.②心心④ 14,(1》证明："△A☑△EDF.AC=EF 速度为每小时子)公里，由腿愈，每 (2》若加A阳精xg,则 3.间位角相等，两直线平行 .AC-CF-EF-CF 1012的-30+”，解得y-60. 1810十x)+0×30-27-1,解得￥-5. 能力在线 10+0+x 甲AF=CE 6的 经检敢，r=5是这个方程的解，且符合题宜， 4.1)如果∠B4C=∠DBC,∠ABD=∠C,那么 (2》,△ABCa△EDF,.∠B=∠EDF 若加B种精ykg:则 BD⊥AC. ￥∠AFPD=2∠B-∠EDP+∠E 经检验，y=功是复方程的解，且符合题意 签：李明驾驶的害度为每小时0公里， 18×10+0(30+卫-87-1，解得y-一10 《2)小明所给出的车题的边伞想是真命题 ∠E=∠EDF=∠R 30+10+y E明，∠BAC=∠DBC.∠ABD=∠C ∠DAF=∠ADE=2∠B=2∠E,∠DAF+ 拓根在线 经检验，y=一10是景分式方程的解，但不合题 ∠HMC+∠ABD=∠DC+∠C ∠ADE+∠E-180. 0,幻)设鲸计对每天设管直xm,期实尽薰工辑天 直，角去， ∠ADB=∠BDC, 2∠E+2∠E十∠E-180.解得∠E-34, 铺设管面(1十25%)r一1.25x画，银摆题章，得 客：如5kgA种精，可以使什鹅糖的快格幅千克 又：∠ADB+∠BDC=I80, 斯属在线 器+14-1，解得一0 席低1元， ∠ADB=∠BDC-0,BD⊥AC 13.设∠C=a,∠日'-民 单元解合复习{一】分式和分式方程 拓展在线 :△ADCa△AD,△AEBO△AEB', 经检验，x一0是规分式方程的解，且符合道意 :门考点突被 5,已知：虹图，AB∥CD,直线EF交 ∴∠ACD=∠C=a,∠AHE=∠B= 21.25x■0 1.D2.B3.D4.C5.D(A7.A&.D AB于点M,交CD于点N,G平 ∠CAD=∠CAD=35,∠BAE=∠BAE=35 满原计侧与实际每天铺设管道分例为40m,5动m {2)设该公间原计则资兼y名工人地工， 原式=去(2原文一2 1 分∠BMN,NG平分∠DNM. ∠CDH=∠C'+∠CAD=85+e,∠CEB 求证.MG⊥NG ∠BAE十∠H-5"+A 3C00+40-75天). 根君题意，得00×75y10000: 1a.原式-十%，红士g-边r+g 证用，MG平分∠MN(已知)， CD8EB∥BC, (r+2) -2 -2 ∠GMN=豆∠MN(角平分线的定义). ÷∠AC-∠CDB-5"+,∠ACB-∠CEE 解得y线. 35+8 不等式的疑大整数解为& :NG平分∠DNM(已知)， '∠MC+∠ABC+∠ACB=180° 离流公可原什划最多应安排8名工人随工 Y-262,且≠0，士2， ÷∠GNM-号∠DNM角平分线的定文) 甲35+(35+)+(35+0=180° 第2课时分式方程的总用《2) “当z-1时，原式-1中-3答蜜不限一. 基形在线 :AB∥CD(已知》： 十7巧 c22-2- 11.C12.C13.A ∠N十∠DNM=1(两直线平行，间旁内角 '∠BFC-∠BDC+∠ABE,∠BDC-∠BAC+ 互补). ∠ACD, 14(1)方型两边同乘(x+1)(x一1)，得 五.设该商品打街赏年件主元，期打折后每件0,8x元， 2十x《x+1)=x一1， ∠BFC-35°+a+月-35+75'-1102 ∴∠GMN+∠GNM-马 限轻道堂，用+2-2斯得0 解这个整式方程，得：■一8 ∠BN+I ∠DNM- 13.3全等三角形的判定 经检酸，一一8是峰分式方程的解， 第【课时利用“说连边“判定两个三角形全等 经检险，1一的是原方程的解，且符合题意： (2)方程周边同来（一2）《x十2)，得 含∠BMN+∠DN0=×1时=0（等我的 基图在线 鉴，演商品打折前蜂作50元 20x十2)-4=x-2, 性衡 L35S或边边边2.B3C 4.B5,0-i00=45 解这个整式方程，得工一一2 ∠GN一-90（三角形的内角和等于180）， YAE-CF, AE+EF-CP+EF.AP-CE 经检验，当x=一2时，（一2）(x42》=0, ,G⊥NG(看直的定义). (.设祥视一天单位面积周城量是￥g,期垂牌一天 所以，原分式方程无解 132全等图形 AFCE 单位面积图碳量为(：+3.2)R,裂据题意，得 15.(1)投小明焰步的平均渔度为：m/mn,则特车 基罐在线 在△ADF和△CHE中，：{AD=CB 20-2×10 1.D2.D DF BE. r+3.2' 的平均泡度为1,5rm/m,依题意， 3.因为△ADEa△CE, △ADF2△CHE(SS5). 解得r一5.L. 2400_202°-4.解得x-200 1. 断以AE与E是对皮边，DE与军是对应边 AB-AC. 经粒龄，1一6.4是原分式方程的解，且符合愿意 经检验，士一200是原方程的根，且符合题意 ∠D与∠C是对应角：∠AED与∠臣C是对应角 5在△ABD.和△ACD中，，AD=AD, 答，洋肉一天单位面积置除量是5,4黑 答：小明跑步约平均违度为幽/mn 4.A5C6.D BD-CD. 德力在线 (2》龙步的时判：2400÷200=12(mm) 7,(1)△Aa△MDC :△ABD≌△ACD(SSS).∠BAD=∠CAD 7.C8.A 将车的时间：12一4■8(min1 ∠Bw∠D,∠BACe∠DMC 即AP平分∠HMC. 尿究在统·八年圾数学（上}·J小 19