6.3 空间几何中的垂直（精练）（题组版）-2026届高三数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

6.3 空间几何中的垂直（精练题组版） 题组一 线面垂直 1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，下列四个正方体中，E，F，G均为所在棱的中点，则直线平 面EFG的是（   ） A．B．C．D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图四个正方体中，是正方体的一条对角线，点、、分别为所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图形序号） 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方体中，连接，，，．求证：平面． 4．（2025安徽）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，.证明：平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形.求证：平面. 6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 题组二 面面垂直 1．（2025河南）（多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（    ）    A．平面平面 B． C． D．平面 2．（2025高三·全国·专题练习）在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 3．（2025甘肃）如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．求证：平面平面． 4．（2025云南）在直三棱柱中，.求证：平面平面；    5．（2025江苏）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点.求证：平面平面；    6．（2025黑龙江）如图，正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．求证：平面平面BMC．    7．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，证明：平面平面． 8．（2025海南）一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，将折起，使得.证明：平面平面. 9．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点在棱上，且.求证：平面平面. 10．（2025安徽）已知直三棱柱分别为线段上的点，．证明：平面平面． 题组三 线线垂直 1．（2025广西）（多选）如图，在下列各棱长都相等的正六棱柱中，O为底面中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25 吉林 ）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：． 3．（24-25 北京通州·期末）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求证：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱中，已知．求证：． 5．（24-25 四川内江·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，为侧棱上的点，且． (1)证明：： (2)已知点是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面． 题组四 垂直中的动点 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图1，直角梯形，，，在上是否存在一点，使得平面平面？请证明． 3．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 题组五 垂直的判定定理及性质定理的辨析 1．（2025·重庆·二模）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知直线、与平面、、，则能使的充分不必要条件是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25 福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 5.（2025·天津）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4.（2025·甘肃兰州）已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 空间几何中的垂直（精练题组版） 题组一 线面垂直 1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，下列四个正方体中，E，F，G均为所在棱的中点，则直线平 面EFG的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】如图，在正方体中，设M，N，Q均为所在棱的中点， 则E，F，M，N，Q，G共面，平面EFG与平面EFMNQG重合， 因为⊥平面，平面， 所以， 因为四边形是正方形，所以， 又分别为中点，所以， 所以，又 所以平面，所以.同理可得. 又， 所以直线平面EFMNQG， 则直线平面EFG，A正确； 同理可得，B，D正确； 因为E，F分别为AB，中点，所以， 所以是异面直线EF与所成的角， 则，故， 即EF与不垂直， 故直线与平面EFG不垂直，C错误． 故选：ABD. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图四个正方体中，是正方体的一条对角线，点、、分别为所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图形序号） 【答案】（1）（4） 【解析】对于（1），如图所示： 易知平面，而平面平面，则平面，故（1）正确； 对于（2），如图所示: 易知平面，而平面与平面不平行，故得不到平面，故（2）错误； 对于（3），如图所示： 易知平面，而平面与平面不平行，故得不到平面，故（3）错误； 对于（4），如图所示： 易知平面，而平面平面，则平面，故（4）正确； 故答案为：（1）（4） 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方体中，连接，，，．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】平面，是在平面内的射影， 又，由三垂线定理得． 同理可证．又平面． 平面． 4．（2025安徽）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】底面，平面，， 又，，平面， 平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，所以平面. 即证：平面. 题组二 面面垂直 1．（2025河南）（多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（    ）    A．平面平面 B． C． D．平面 【答案】ABD 【解析】即判断平面平面，如图①，由正方体可得，平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又，，平面， 则平面，又平面，则平面平面，A正确；    如图②，取中点为N，连接MN，PN，易得，平面，又平面， 则，结合，且MN，平面MNP，则平面， 又平面MNP，则，B正确；    如图③，连接，易得，则判断，即判断，又， 则是以为直角的直角三角形，则与不垂直，即MP与不垂直，C错误；    因为，，得，又平面，平面， 则平面，D正确． 故选：ABD. 2．（2025高三·全国·专题练习）在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BD 【解析】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误； 由题得，，， 所以，所以，B正确； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：BD. 3．（2025甘肃）如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 4．（2025云南）在直三棱柱中，.求证：平面平面；    【答案】证明见解析 【解析】证明：在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 故证：平面平面. 5．（2025江苏）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点.求证：平面平面；    【答案】证明见解析 【解析】证明：由题意可得为等腰直角三角形，设斜边， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 6．（2025黑龙江）如图，正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．求证：平面平面BMC．    【答案】证明见解析 【解析】方法一：因为M是半圆弧上异于C，D的点，所以， 因为正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，且，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以,又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 方法二：记平面平面， 由正方形得，，又平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 同法一得平面，则平面， 又平面，所以， 因为M是半圆弧上异于C，D的点，所以， 所以根据二面角的定义可知平面平面． 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，设相交于点，连接， 因为，故，则， 所以为的中点，且， 所以． 因为， 所以，所以，因为为的中点，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 8．（2025海南）一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，将折起，使得.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为，， 且，平面， 故平面， 又因为平面， 所以平面平面． 9．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点在棱上，且.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为，所以， 所以，即. 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 连接，交于，连接， 易得，， 所以，又因为，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 10．（2025安徽）已知直三棱柱分别为线段上的点，．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面， 又平面，故， 因为，四边形为矩形， 则，， 所以，所以， 因为， 所以，则， 因为平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． 题组三 线线垂直 1．（2025广西）（多选）如图，在下列各棱长都相等的正六棱柱中，O为底面中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 如图，由正六棱柱的性质可知，，， 因为底面ABC，底面ABC，所以， 又因为，平面POD， 所以平面POD，又因为平面POD， 所以，即，故A正确； 如图，由正六棱柱的性质易知，四边形为平行四边形，所以， 同理由正六棱柱的性质易知，，，四边形是平行四边形， 则，显然与不垂直，所以与不垂直，故B错误； 如图，设C是的中点，因为正六棱柱各棱长均相等，易得四边形是正方形， 则，因为分别是的中点，所以，则， 由正六边形的性质易知，所以， 又在正六棱柱中，平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故C正确； 如图，设C为其所在棱的中点，由选项C的证明同理可得平面ACB， 又因为平面ACB，所以， 又由正六棱柱的性质可知，， 假设成立，则，又因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，显然AB与PC不垂直，所以假设不成立，故D错误． 故选：AC 2．（24-25 吉林 ）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）取为的中点，连接， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 3．（24-25 北京通州·期末）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【解析】（1）由正方形，得， 又∵平面，平面，∴∥平面， ∵平面，平面平面， ∴ （2）由正方形，得, ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， 又∵平面，∴， 由（1）知，∴，， 又，平面， ∴平面； （3）取的中点，连接，则， 又，所以四边形是平行四边形. ∴，∴. 由，得，，∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面，∴. 由正方形，得∥，∴, ∵，平面，∴平面, ∵平面，∴ 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱中，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】过作于，过作于，连接，， 则由正三棱柱的性质可知平面，平面． ，由三垂线逆定理得， ，，， 又，． 由三垂线定理得到． 5．（24-25 四川内江·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，为侧棱上的点，且． (1)证明：： (2)已知点是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）令交于点，连接，在正方形中，，， 又，则，而，平面， 因此平面，而平面，所以. （2）在正方形中，，在线段上取一点，使得， 由，得，连接，则， 而平面，平面，则平面， 由，得，则， 而平面，平面，则平面， 又，平面，于是平面平面，而平面， 所以平面. 题组四 垂直中的动点 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 【答案】存在，理由见解析 【解析】如图，分别取中点， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 又因为平面， 所以平面. 延长交延长线于点，由于平面， 所以，由于为的中点，故， 所以在直线上存在一点，， 使得. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图1，直角梯形，，，在上是否存在一点，使得平面平面？请证明． 【答案】存在，证明见解析 【解析】由，，则， ，则， 所以，则， 由直角梯形，直角梯形，则， 由，平面，则平面， 因为平面，所以平面平面， 如图2，作，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 3．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解析】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 易得， 则， 则，则， 即，所以四点共面. （2）由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 题组五 垂直的判定定理及性质定理的辨析 1．（2025·重庆·二模）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【解析】对于A，如图所示：，但，故A错误； 对于B.，如图所示：满足 ，但，故B错误； 对于C，满足，但不平行，故C错误； 对于D， ，由线面平行的性质可和，故D正确. 故选：D. 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知直线、与平面、、，则能使的充分不必要条件是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】对于A选项，若，，则、平行或相交，A不满足要求； 对于B选项，若，，，则、平行或相交，B不满足要求； 对于C选项，若，，，则、斜交或垂直，C不满足要求； 对于D选项，如下图所示：    因为，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得， 因为，则，因为，故；而反过来不成立；D满足要求. 故选：D. 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】若，则或与互为异面直线，故A错误； 若，由面面平行的性质定理，可得，故B正确； 若，由线面垂直的性质，可得，故C正确； 若，则， 又因为是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则，D选项正确； 故选：A 4．（24-25 福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥； 又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确. 故选：D. 5.（2025·天津）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 4.（2025·甘肃兰州）已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】若，则或或或，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，在内作，所以，又，所以， 又，所以，所以，故C正确；    若，则或或为异面直线，故D错误. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$