第10讲等边三角形 暑假预习自学课 2025-2026学年人教版数学八年级上册

暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第10讲等边三角形 ·内容一 等边三角形的性质 ·内容二 等边三角形的判定 ·内容三 含 30°角的直角三角形的性质 ·内容四 课后作业 等边三角形的性质 一、等边三角形的定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 二、等边三角形性质： 1、等边三角形的三条边都相等； 2、等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60°； 3、等边三角形同样也具有“三线合一”的性质。 【考点1、等边三角形和角度问题】 例题1.已知为等边三角形，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 变式1（1）.如图，过等边三角形的顶点作射线，若，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 变式1（2）.如图，过等边三角形的顶点作射线，若，则的度数是          ． 变式1（3）.如图，是等边三角形，点在边上，若，则的度数为          ． 【考点2、等边三角形的三线合一与角度计算】 例题2.如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 变式2.如图，在等边中，于点，为上一点，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【考点3、等边三角形与周长问题】 例题3.如图，是等边三角形， ，分别交，于点，若，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 变式3（1）.如图，将一个等边纸片沿向右平移后得到，若，则两个三角形重叠部分的周长为(    ) A. B. C. D. 变式3（2）.如图，是等边三角形，若，，则的周长为          ． 【考点4、等边三角形与一线三等角问题】 例题4.如图，是等边三角形，点，，分别在，，上．若，，则  (    ) A. B. C. D. 变式4（1）.如图，，，分别是等边三角形各边上的点，且，则的形状是  (    ) A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 变式4（2）.如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，将折叠，使点落在边上的点处，则           【考点5、等边三角形的性质解答题】 例题5.如图，是等边三角形，点在上，是等腰三角形，，，当时，求和的度数． 变式5（1）.如图，，分别是等边的边，上的点，，相交于点，且，求证：．  变式5（2）.如图，是等边三角形，点，在直线上，求证：． 变式5（3）.如图，和都是边长为的等边三角形，，分别是，上的点，且满足． 求证：； 判断的形状，并说明理由．  等边三角形的判定 等边三角形的判定： 判定一、三条边都相等的三角形是等边三角形； 判定二、三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定三、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【考点1、三条边都相等的三角形是等边三角形】 例题1. 已知：如图，在中，，于点，，且． 试判断的形状，并说明理由；求的度数． 变式1（1）.如图，在中，，，为边上的中线．求证：是等边三角形． 变式1（2）.如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． 求证：是等边三角形 变式1（3）.如图，在等边三角形的三边上，分别取点，，，使求证：是等边三角形． 【考点2、三个角都相等的三角形是等边三角形】 例题2.如图，是等边三角形，，分别交，于点，求证：是等边三角形． 变式2（1）.如图，与相交于点，若，，且求证：是等边三角形． 变式2（2）.已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且求证：是等边三角形． 变式2（3）.如图，，，交于，求证：是等边三角形． 变式2（4）.如图，，，，求证：是等边三角形． 变式2（5）.如图，延长的各边，使，，连接，，，得到的是等边三角形．求证：；是等边三角形． 变式2（6）. 如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，， 求证：≌； 为等边三角形． 变式2（7）.如图，在中，为边上的一点，过点作于点，过点作于点已知，，，求证：是等边三角形． 【考点3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形】 例题3. 如图，在中，点是上的一点，且，求证：是等边三角形． 变式3（1）. 如图，在中，，，于点，且． 求证：为等边三角形． 变式3（2）. 如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． 求证：是等边三角形； 若，，求四边形的周长． 变式3（3）. 如图，和都是边长为的等边三角形，，分别是，上的点，且满足．求证：；判断的形状，并说明理由．   变式3（4）. 如图，在中，为边的中点，，过点的直线与的延长线交于点，与交于点已知，． 求证：为等边三角形； 求证：． 变式3（5）. 如图，在中，，点在边上，连接，若，求证：是等边三角形． 含 30°角的直角三角形的性质 直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【考点1、单个直角三角形性质直接应用】 例题1.已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为(    ) A. B. C. D. 变式1（1）.在中，，最短边，则最长边的长是  (    ) A. B. C. D. 变式1（2）.如图，在中，，，，则的长度为  (    ) A. B. C. D. 变式1（3）.在中，，，已知，则的长为(    ) A. B. C. D. 变式1（4）.在中，已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 变式1（5）.如图，在中，，，，则          ． 变式1（6）.如图，在中，，是边上的点，，点在的垂直平分线上，求的长． 变式1（7）.如图，在中，，，点在直角边上，连接，，求的长． 【考点2、多个直角三角形中构造30°锐角直角三角形模型】 例题2.如图，在中，，于点，若，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 变式2（1）.如图，在中，，于点，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 变式2（2）.如图是某屋顶框架的结构示意图，其中，于点，，则的长为(    ) A. B. C. D. 变式2（3）.如图，在中，，，，，求的长． 变式2（4）.如图，在中，，，平分，，求的长． 变式2（5）.如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，连接，，若，求的长． 【考点3、添加辅助线构造30°锐角直角三角形模型】 例题3.如图，，平分，交于点，，垂足为若，则的长为          ． 变式3（1）.如图，在中，若，，则          ． 变式3（2）.如图所示，在中，，，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 【考点4、30°锐角直角三角形模型与三角形面积问题】 例题4.如图，在中，，，，则的面积为          ． 变式4（1）.如图，为等腰三角形，，，是边上的高．若，则的面积为          ． 变式4（2）.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，则购买这种草皮至少需要多少元？ （满分120分） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等边三角形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.下列说法不正确的是(    ) A. 三边相等的三角形是等边三角形 B. 三个角都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形 D. 有一个角为的三角形是等边三角形 3.如图，直线 ，是等边三角形．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在等边中，平分若，则的周长为(    ) A. B. C. D. 5.下列各项中，不能判定是等边三角形的是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，在四边形中，，，，，，则的长为          ． 7.如图，在等边三角形中，是边的中点．若，则          ，          ．  8.如图，若是等边三角形，，平分交于点，延长到点，使，则          ． 9.如图，在中，，，于点，延长至点，使得，连接，则的周长为          ． 10.如图，在等边中，点在边上，，垂足为，连接若，则的度数为          ． 三、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，，都是等边三角形．求证：． 12.如图，在等边中，是的中点，于点，于点已知，求的长． 13.如图，在中，，，平分交于点． 求证：． 14.如图，在中，，，于点，且，试判断的形状，并说明理由． 15.如图，是等边三角形的中线，是上一点，且求的度数． 16.如图，为等边三角形，点，分别在边，上，且，与相交于点． 求证：；求的度数．   17.如图，，是的边上的两点，且． 若，求的度数； 若，小玉认为一定是等边三角形，为什么？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第10讲等边三角形 ·内容一 等边三角形的性质 ·内容二 等边三角形的判定 ·内容三 含 30°角的直角三角形的性质 ·内容四 课后作业 等边三角形的性质 一、等边三角形的定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 二、等边三角形性质： 1、等边三角形的三条边都相等； 2、等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60°； 3、等边三角形同样也具有“三线合一”的性质。 【考点1、等边三角形和角度问题】 例题1.已知为等边三角形，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：已知三角形为等边三角形，所以故答案为． 三角形为等边三角形，等边三角形三边相等，三个角也相等． 等边三角形性质： 三边相等 三个角都相等 三个角都等于 高线、腰、底边中线三线合一． 变式1（1）.如图，过等边三角形的顶点作射线，若，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式1（2）.如图，过等边三角形的顶点作射线，若，则的度数是          ． 【答案】  变式1（3）.如图，是等边三角形，点在边上，若，则的度数为          ． 【答案】  【考点2、等边三角形的三线合一与角度计算】 例题2.如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  变式2.如图，在等边中，于点，为上一点，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【考点3、等边三角形与周长问题】 例题3.如图，是等边三角形， ，分别交，于点，若，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查等边三角形的性质和判定，由条件证明是等边三角形是解题的关键． 由条件可证明为等边三角形，且可求得，可求得其周长． 【解答】 解：为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 的周长为． 变式3（1）.如图，将一个等边纸片沿向右平移后得到，若，则两个三角形重叠部分的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式3（2）.如图，是等边三角形，若，，则的周长为          ． 【答案】  【考点4、等边三角形与一线三等角问题】 例题4.如图，是等边三角形，点，，分别在，，上．若，，则  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：是等边三角形， ， 是的外角， ， 即， ， ， ， ， 故选：． 由等边三角形的性质得出，再根据三角形外角的性质得出，结合已知，得出，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 变式4（1）.如图，，，分别是等边三角形各边上的点，且，则的形状是  (    ) A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 【答案】A  变式4（2）.如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，将折叠，使点落在边上的点处，则           【答案】  【考点5、等边三角形的性质解答题】 例题5.如图，是等边三角形，点在上，是等腰三角形，，，当时，求和的度数． 【答案】解：是等边三角形 ， 又，， ， ， ， ， 又， ．  【解析】首先利用等腰三角形的性质得出，，进而利用等边三角形各内角度数求出即可，再利用三角形外角性质得出答案． 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和三角形外角的性质等知识，熟练结合外角性质得出是解题关键． 变式5（1）.如图，，分别是等边的边，上的点，，相交于点，且，求证：． 【答案】证明：为等边三角形， ，． ，． 又，， 在和中， ，．   变式5（2）.如图，是等边三角形，点，在直线上，求证：． 【答案】证明：是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ．  【解析】要证明，只要证明≌即可，根据等边三角形的性质和可以证明≌，本题得以解决． 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是证明≌． 变式5（3）.如图，和都是边长为的等边三角形，，分别是，上的点，且满足． 求证：； 判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)解：证明：∵△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴BC=BD，∠BDE=∠BCF=60°． ∵AE+DE=AD=2，AE+CF=2， ∴DE=CF． 在△BDE和△BCF中， ∴△BDE△BCF（SAS）．   (2)△BEF是等边三角形．理由： ∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°． ∵△BDE△BCF， ∴∠DBE=∠CBF，BE=BF． ∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°， ∴∠DBF+∠DBE=60°，即∠EBF=60°． ∴△BEF是等边三角形．   等边三角形的判定 等边三角形的判定： 判定一、三条边都相等的三角形是等边三角形； 判定二、三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定三、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【考点1、三条边都相等的三角形是等边三角形】 例题1. 已知：如图，在中，，于点，，且． 试判断的形状，并说明理由；求的度数． 【答案】(1)△CEB是等边三角形．理由如下： ∵BE⊥AC，且DE=DB， ∴，BC=CE． ∵，∴BC=BE． ∴BC=CE=BE．∴△CEB是等边三角形．   (2)∠A=30°  变式1（1）.如图，在中，，，为边上的中线．求证：是等边三角形． 【答案】证明：，， ， 为边上的中线， ， ， 是等边三角形．  【解析】先根据含角的直角三角形可得，再利用直角三角形的性质得出，即可得出答案． 本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，直角三角形斜边中线，掌握等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形． 变式1（2）.如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． 求证：是等边三角形 【答案】证明：∵BD⊥AC，D是边AC的中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴BA＝BC．∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形；  变式1（3）.如图，在等边三角形的三边上，分别取点，，，使求证：是等边三角形． 【答案】证明：是等边三角形，，又，，即  在和中，  同理可得是等边三角形．  【考点2、三个角都相等的三角形是等边三角形】 例题2.如图，是等边三角形，，分别交，于点，求证：是等边三角形． 【答案】证明：是等边三角形，，，，，，是等边三角形．  变式2（1）.如图，与相交于点，若，，且求证：是等边三角形． 【答案】证明：，，是等边三角形．又，，．，，是等边三角形．  变式2（2）.已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且求证：是等边三角形． 【答案】证明：，，，为的中点，又，是等边三角形．  变式2（3）.如图，，，交于，求证：是等边三角形． 【答案】证明：，  在中，，为等边三角形．  变式2（4）.如图，，，，求证：是等边三角形． 【答案】证明：，，  又，，，，是等边三角形．  变式2（5）.如图，延长的各边，使，，连接，，，得到的是等边三角形．求证： ； 是等边三角形． 【答案】(1)∵BF=AC，AB=AE，∴BF+AB=AC+AE，即FA=EC． ∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE．在△AEF和△CDE中，∴△AEF△CDE   (2)由（1），得△AEF△CDE，∴∠FEA=∠EDC． ∵∠BCA=∠EDC+∠DEC，△DEF是等边三形， ∴∠BCA=∠FEA+∠DEC=∠DEF=60°．同理，可得∠BAC=60°． ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°．∴△ABC是等边三角形 变式2（6）. 如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，， 求证：≌；  为等边三角形． 【答案】证明：等边三角形， ，， ， 平分， ， ， 在和中 ≌； ≌， ，， ， 为等边三角形．  【解析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用有关知识． 根据等边三角形的性质得出，，求出，根据推出全等即可； 根据全等三角形的性质得出，，求出，根据等边三角形的性质得出即可． 变式2（7）.如图，在中，为边上的一点，过点作于点，过点作于点已知，，，求证：是等边三角形． 【答案】证明：，，， 在和中， ，． ，，， 在中，， ，即， 是等边三角形． 【考点3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形】 例题3. 如图，在中，点是上的一点，且，求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ， ， 又， 是等边三角形  【解析】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质有关知识，由等腰三角形的性质得到，求得，即可得到结论． 变式3（1）. 如图，在中，，，于点，且． 求证：为等边三角形． 【答案】证明：于点，且， ， ，，于点， ， 又， 为等边三角形．  【解析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键，根据于点，且得出，根据角的关系得出，即可证得为等边三角形． 变式3（2）. 如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． 求证：是等边三角形； 若，，求四边形的周长． 【答案】证明：，， ． 又， 是等边三角形． 解：是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 是等边三角形，， ，即， 四边形的周长为．  【解析】由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论； 由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证≌可得，，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答． 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 变式3（3）. 如图，和都是边长为的等边三角形，，分别是，上的点，且满足． 求证：； 判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)解：证明：∵△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴BC=BD，∠BDE=∠BCF=60°． ∵AE+DE=AD=2，AE+CF=2， ∴DE=CF． 在△BDE和△BCF中， ∴△BDE△BCF（SAS）．   (2)△BEF是等边三角形．理由： ∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°． ∵△BDE△BCF， ∴∠DBE=∠CBF，BE=BF． ∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°， ∴∠DBF+∠DBE=60°，即∠EBF=60°． ∴△BEF是等边三角形．   变式3（4）. 如图，在中，为边的中点，，过点的直线与的延长线交于点，与交于点已知，． 求证：为等边三角形； 求证：． 【答案】(1)证明:D是AB的中点,CDAB, CD垂直平分AB, AC=BC. EFAC,E=, ACB=, ​​​​​​​ABC为等边三角形.  (2)证明：由(1)可知,ABC为等边三角形, ABC=. ABC=E+BDE,E=, BDE=, BE=BD. D是AB的中点, AD=BD, ​​​​​​​AD=BE.  变式3（5）. 如图，在中，，点在边上，连接，若，求证：是等边三角形． 【答案】证明：，为等腰三角形，  又，，，是等边三角形．  含 30°角的直角三角形的性质 直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【考点1、单个直角三角形性质直接应用】 例题1.已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式1（1）.在中，，最短边，则最长边的长是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 利用三角形的内角和定理和角的比求出三角的度数，再由最小边即可求出最长边的长． 本题考查的是直角三角形的性质，即在直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半，解题的关键在于掌握直角三角形的性质． 【解答】 解：设， 则，， 由三角形内角和定理得， 解得， 即，， 即为直角三角形， ，， ， 故选D． 变式1（2）.如图，在中，，，，则的长度为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：在中，，，， ， ． 故选：． 先求出，再根据含有角的直角三角形性质可得的长． 此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 变式1（3）.在中，，，已知，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  变式1（4）.在中，已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式1（5）.如图，在中，，，，则          ． 【答案】  变式1（6）.如图，在中，，是边上的点，，点在的垂直平分线上，求的长． 【答案】解：，，点在的垂直平分线上，，，，，．  变式1（7）.如图，在中，，，点在直角边上，连接，，求的长． 【答案】  【考点2、多个直角三角形中构造30°锐角直角三角形模型】 例题2.如图，在中，，于点，若，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，，在中，，，于点，在中，，，故选B． 变式2（1）.如图，在中，，于点，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2（2）.如图是某屋顶框架的结构示意图，其中，于点，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式2（3）.如图，在中，，，，，求的长． 【答案】解：，，，，．  变式2（4）.如图，在中，，，平分，，求的长． 【答案】解：．  变式2（5）.如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，连接，，若，求的长． 【答案】解：是的垂直平分线， ，，， ，，，， ，， ， 在中，． 【考点3、添加辅助线构造30°锐角直角三角形模型】 例题3.如图，，平分，交于点，，垂足为若，则的长为          ． 【答案】  变式3（1）.如图，在中，若，，则          ． 【答案】  变式3（2）.如图所示，在中，，，是的垂直平分线，交于点，交于点． 求证：． 【答案】证明：连接， ，， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ．  【解析】连接，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得出，推出，求出，根据含度角的直角三角形性质求出即可． 本题考查了线段垂直平分线，等腰三角形性质，三角形内角和定理，含度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 【考点4、30°锐角直角三角形模型与三角形面积问题】 例题4.如图，在中，，，，则的面积为          ． 【答案】  变式4（1）.如图，为等腰三角形，，，是边上的高．若，则的面积为          ． 【答案】  变式4（2）.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，则购买这种草皮至少需要多少元？ 【答案】解：如图所示，作于点． ， ， ， ， 已知这种草皮每平方米元， 所以一共需要元．  【解析】本题考查了含度角的直角三角形、三角形的面积，通过作辅助线构建直角三角形是解答的关键． 如图所示，作交延长线于点点．在中，利用度角所对的直角边是斜边的一半求，即的高．运用三角形面积公式计算面积求解． （满分120分） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等边三角形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.下列说法不正确的是(    ) A. 三边相等的三角形是等边三角形 B. 三个角都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形 D. 有一个角为的三角形是等边三角形 【答案】D  3.如图，直线 ，是等边三角形．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.如图，在等边中，平分若，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.下列各项中，不能判定是等边三角形的是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，在四边形中，，，，，，则的长为          ． 【答案】  7.如图，在等边三角形中，是边的中点．若，则          ，          ． 【答案】  8.如图，若是等边三角形，，平分交于点，延长到点，使，则          ． 【答案】  9.如图，在中，，，于点，延长至点，使得，连接，则的周长为          ． 【答案】  10.如图，在等边中，点在边上，，垂足为，连接若，则的度数为          ． 【答案】  三、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，，都是等边三角形．求证：． 【答案】证明：，都是等边三角形，，，，即  在和中，．  12.如图，在等边中，是的中点，于点，于点已知，求的长． 【答案】解：是等边三角形，，为的中点，，，，，，  13.如图，在中，，，平分交于点． 求证：． 【答案】证明：，，解得，平分，在中，，  14.如图，在中，，，于点，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】解：是等边三角形．  理由如下：，，，  又，，是等边三角形．  15.如图，是等边三角形的中线，是上一点，且求的度数． 【答案】解：是等边三角形的中线，， ，．  16.如图，为等边三角形，点，分别在边，上，且，与相交于点． 求证：； 求的度数． 【答案】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC． 在△ABE和△CAD中，∴△ABE△CAD   (2)由（1），得△ABE△CAD，∴∠ABE=∠CAD． ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°   17.如图，，是的边上的两点，且． 若，求的度数； 若，小玉认为一定是等边三角形，为什么？ 【答案】(1)∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP．∴∠APB=∠AQC． 在△APB和△AQC中，∴△APB△AQC．∴AB=AC． ∴∠B=∠C=25°．∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=130°． ∵AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B=25°，∠CAQ=∠C=25°． ∴∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=80°   (2)由（1），知∠B=∠C．∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°． 同（1），得∠BAP=∠CAQ=∠B=∠C=30°，∴易得∠PAQ=60°． 又∵AP=AQ，∴△APQ是等边三角形   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$