第1章 一元二次方程 单元测试卷（培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学苏科版

2025-2026学年九年级上册数学苏科版 第1章 一元二次方程 单元测试卷（培优卷） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数是（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．-1 5．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 6．方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 7．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以为（　　） A． B．4 C．5 D．6 8．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（　　） A． B． C． D． 9．我国的乒乓球“梦之队”在年巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C． D． 10．若，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共6个小题，每题3分，共18分） 11．一元二次方程根的判别式　 　． 12．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m为　 　. 13．方程的两个根是　 　． 14．将方程化成的形式，则a+b=　 　． 15．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　 　． 16．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则　 　． 三、解答题（本题共7个小题，17、18每题6分，其余每题8分，共52分） 17．按指定的方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解法）． 18．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． （1）下列方程是“差方程”的是　 　；（填序号） ①②③； （2）若方程是“差方程”，求的值． 19．已知关于x的一元二次方程。 （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，。若，，求k的取值范围。 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，满足，求a的值． 21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆256人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆达到576人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由. 22．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中如图，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． （1）求正方形区域的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 23．某商场以每件40元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于65元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间满足一次函数y=-x+80的关系. （1）当每件售价48元时，每天的利润是　 　元； （2）销售这种商品，要想每天获利300元，每件商品的售价应为多少元? （3）销售这种商品，每天是否能获利500元?为什么? 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学苏科版 第1章 一元二次方程 单元测试卷（培优卷） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，A错误； B、有两个未知数，不是一元二次方程，B错误； C、是分式方程，C错误； D、只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，这个方程是一元二次方程，D正确. 故答案为：D. 【分析】考查一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. 2．一元二次方程的二次项系数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ， ∴一元二次方程的二次项系数是. 故答案为：. 【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可. 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0， ∴m=0， 故答案为：C． 【分析】将x=0代入求出m的值即可。 5．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【解析】【解答】解：， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故答案为：C 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。 6．方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】D 【解析】【解答】解：∵ ∴或， 解得：， 故答案为：D． 【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可. 7．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以为（　　） A． B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． k的值可以是， 故答案为：A． 【分析】利用方程有两个不相等的实数根可得，求出k的取值范围解题即可． 8．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A：∵x1+x2=-=-2， ∴A错误. B：∵x1+x2=-=0， ∴B错误. C：∵x1+x2=-=--2， ∴C错误. D：∵x1+x2=-=2. 所以D正确. 故答案为：D. 【分析】估计一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-依次判断即可. 9．我国的乒乓球“梦之队”在年巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得，， 故答案为：D． 【分析】设每组邀请个球队参加比赛，根据“每组安排场比赛”列出方程即可. 10．若，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根， ∴+=3，=， ∴， 故答案为：A. 【分析】由根与系数的关系可得+=3，=，将原式化为，然后代入计算即可. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共6个小题，每题3分，共18分） 11．一元二次方程根的判别式　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：由 得， a=1， b=-3， c=2， ∴ b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1. 故答案为：1. 【分析】根据根的判别式 b2-4ac即可求得. 12．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m为　 　. 【答案】-1 【解析】【解答】解：由题意可得， ， 解得： ， 故答案为-1. 【分析】利用一元二次方程的定义可知二次项系数不为0，可得到m-1≠0，再根据常数项为0，可得到关于m的方程，解方程和不等式求出m的值. 13．方程的两个根是　 　． 【答案】，​​​​​​​ 【解析】【解答】解：将原方程转化为 ， ∴，， 故答案为：. 【分析】观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解. 14．将方程化成的形式，则a+b=　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解： ， x2-6x+9=-1+9， （x-3）2=8， ∴a=-3，b=8， ∴a+b= 5. 故答案为：5. 【分析】利用配方法将方程化为（x-3）2=8，据此求出a、b的值，再代入计算即可. 15．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴ 解得：k＞ 故答案为：k＞. 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况。一元二次方程有两个不相等的实数根，则；一元二次方程有两个相等的实数根，则；一元二次方程无实数根，则；一元二次方程有实数根，则。 16．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则　 　． 【答案】-2 【解析】【解答】解：由题意可得： ∵两根互为相反数 ，解得： ∴m=-2 故答案为：-2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据相反数的性质即可求出答案. 三、解答题（本题共7个小题，17、18每题6分，其余每题8分，共52分） 17．按指定的方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解法）． 【答案】（1）解：， 移项得：， ∴， 配方得：， ∴或， 解得：， （2）解：， ∴， ∴， ∴， （3）解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：， 【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法求解一元二次方程即可。 18．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． （1）下列方程是“差方程”的是　 　；（填序号） ①②③； （2）若方程是“差方程”，求的值． 【答案】（1）② （2）解：方程因式分解得， 解得：，. ∵方程为“差方程”， ∴， 解得：或. 【解析】【解答】解：（1）①的两根是和，不是整数根，不是“差1方程”；②原方程可化为（x+3）（x+4）=0，两根为-3和-4，|-3-（-4）|=1，是“差1方程”；③方程的两根不是整数根，不是“差1方程”；因此是“差1方程”的只有②； 故答案为：②. 【分析】（1）根据新的定义，分别求出一元二次方程的两根，根据两根是否是整数根以及两根差的绝对值是否为1进行判定即可； （2）将方程因式分解成两个多项式相乘的形式，根据新定义列含绝对值的一元一次方程，解方程即可. 19．已知关于x的一元二次方程。 （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，。若，，求k的取值范围。 【答案】（1）证明：∵Δ＝[-（k+4）]2﹣4（3+2k） ＝k2+8k +16﹣12﹣8k =k 2+4＞0 ∴此方程总有两个不相等的实数根 （2）解：∵x1＞0，x2＜0， ∴x1•x2＜0 ∵x1•x2＝3+2k ∴3+2k＜0， 解得k＜﹣ 即k的范围为k＜﹣ 【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有两个不相等的实数根. （2）根据二次方程根与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案. 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，满足，求a的值． 【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； （2）解：∵关于x的一元二次方程， ，， ∵， ∴，即，十字相乘因式分解得：，， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到即可求a的取值范围； （2）根据，， 代入， 通过配方可得，即，十字相乘因式分解得：，，由（1）得， 所以 解得． 21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆256人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆达到576人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由. 【答案】（1）解：设进馆人次的月平均增长率是，依题意， 得∶， 解得∶，(不合题意，舍去)． 答∶进馆人次的月平均增长率是． （2）解：能，理由如下∶ 能够接纳． 答∶校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】【分析】（1） 设进馆人次的月平均增长率是， 根据增长率问题公式，可直接列出方程 ， 进一步求解，舍去不合题意的量即可得出答案； （2）首先根据（1）所求出的平均增长率，求出第四个月的进馆人次，然后与1000比较大小，即可得出结论。 22．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中如图，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． （1）求正方形区域的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 【答案】（1）解：设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意舍去， 答：正方形区域的边长为 （2）解：设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意舍去， 答：小道的宽度为． 【解析】【分析】（1）设正方形区域的边长为xm，则用x表示出矩形空地长，宽为，根据“面积为650m2的矩形空地”，列出元二次方程，解之取其正值即可； （2）设小道的宽度为ym，则用x表示出栽种鲜花的区域长，宽，根据栽“栽种鲜花区域的面积为812m2”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 23．某商场以每件40元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于65元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间满足一次函数y=-x+80的关系. （1）当每件售价48元时，每天的利润是　 　元； （2）销售这种商品，要想每天获利300元，每件商品的售价应为多少元? （3）销售这种商品，每天是否能获利500元?为什么? 【答案】（1）256 （2）解：设每件商品售价应为x元. 根据题意得： (x-40) (-x+80)=300，整理得：x2-120x+3500=0， 解得：x1=50，x2=70(舍) 答：每件商品的售价应定为50元； （3）不能，理由如下： 设每件商品售价应为x元，根据题意得： (x-40) (-x+80)=500 整理得：x2-120x+3700=0， △=(-120)2-4×1×3700=-400<0， ∴该方程没有实数根， ∴销售这种商品，每天不能获利500元. 【解析】【解答】解：（1）将x=48代入一次函数y=-x+80 可得：y=32 ∴利润为：(48-40)×32=256元 故答案为：256 【分析】（1）将x=48代入一次函数y=-x+80可得销售量，再根据总利润=单件利润×总销售量即可求出答案. （2）设每件商品售价应为x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （3）设每件商品售价应为x元，根据题意建立方程，根据判别式可得方程无实数根. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学苏科版 第1章 一元二次方程 单元测试卷（培优卷） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数是（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．-1 5．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 6．方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 7．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以为（　　） A． B．4 C．5 D．6 8．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（　　） A． B． C． D． 9．我国的乒乓球“梦之队”在年巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C． D． 10．若，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共6个小题，每题3分，共18分） 11．一元二次方程根的判别式　 　． 12．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m为　 　. 13．方程的两个根是　 　． 14．将方程化成的形式，则a+b=　 　． 15．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　 　． 16．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则　 　． 三、解答题（本题共7个小题，17、18每题6分，其余每题8分，共52分） 17．按指定的方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解法）． 18．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． （1）下列方程是“差方程”的是　 　；（填序号） ①②③； （2）若方程是“差方程”，求的值． 19．已知关于x的一元二次方程。 （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，。若，，求k的取值范围。 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，满足，求a的值． 21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆256人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆达到576人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由. 22．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中如图，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． （1）求正方形区域的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 23．某商场以每件40元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于65元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间满足一次函数y=-x+80的关系. （1）当每件售价48元时，每天的利润是　 　元； （2）销售这种商品，要想每天获利300元，每件商品的售价应为多少元? （3）销售这种商品，每天是否能获利500元?为什么? 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$