13.2.2　三角形的高、中线、角平分线 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

13.2.2　三角形的高、中线、角平分线 1 学习目标 1.了解三角形的高、中线和角平分线的定义及画法. 2.掌握三角形的高、中线和角平分线的性质. 3.会利用三角形的三种线段性质来解决实际问题. D C B A 思考：如图，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD,AD叫做三角形的什么呢？ 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线. 三角形中线的符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC 新知探究（三角形的中线） 与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段： 三角形的中 线、角平分线、高. 新知探究 O D C B A 思考：如图，在△ABC中，还能画出几条中线呢？你发现了什么特征？ 还能画出2条，3条中线交于一点. 重心 重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 新知探究（三角形的角平分线） D B C A 思考：如图，∠BAD = ∠CAD ，AD叫做三角形的什么呢？ 三角形的角平分线. 定义：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线. 三角形角平分线的符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD= １ ２ ∠BAC D C B A 思考：如图，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD,AD叫做三角形的什么呢？ 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线. 三角形中线的符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC 新知探究（三角形的中线） 与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段： 三角形的中 线、角平分线、高. 新知探究 O D C B A 思考：如图，在△ABC中，还能画出几条中线呢？你发现了什么特征？ 还能画出2条，3条中线交于一点. 重心 重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 新知探究（三角形的角平分线） D B C A 思考：如图，∠BAD = ∠CAD ，AD叫做三角形的什么呢？ 三角形的角平分线. 定义：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线. 三角形角平分线的符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD= １ ２ ∠BAC 三角形的中线 1.三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心. 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 拓展：三角形重心的性质 A C D B G 总结归纳 知识点一：三角形的中线 1. (1)在三角形中，连接一个顶点和它对边的_______的线段，叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这点叫作三角形的__________； (2)如图，AD是△ABC的中线，则BC＝____BD＝____CD； (3)三角形三条________的交点叫作三角形的重心． 中点 重心 2 2 中线 课堂练习 2. (1)在△ABC中，AD是中线，且BD＝8.5，则BC的长为( ) A．15    B．16    C．17    D．18 (2)三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 C B 知识点二：三角形的角平分线 3. (1)三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的_____________之间的线段叫作三角形的角平分线； (2)如图，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠CAD＝________ ∠BAC； (3)三角形的三条角平分线相交于一点． 顶点与交点 A 知识点三：三角形的高 5. (1)从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，_______和_______之间的线段叫作三角形的高．三角形的面积＝___________； (2)如图，AD是△ABC的高，则∠ADC＝∠ADB＝_______； 顶点 垂足 底×高÷2 90° (3)锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形__________；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是____________；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形__________．如图所示： 内部一点 直角顶点 外部一点 6. (1)如图，线段BE是△ABC的高的是( ) C (2)如图，在△ABC中，∠AEB＝90°，则以AE为高的三角形是_____________________________________________________． △ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC 【典例导引】 7. 【例1】如图，AD是△ABC的中线，AB＝3，AC＝5，△ACD的周长与△ABD的周长差为( ) A.2 B．3 C．6 D．不确定 A 【变式训练】 8. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16 cm，AB比AC长3 cm，则△ACD的周长为________． 13 cm 9. 【例2】如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD＝_________． 20° 11. 【例3】 如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长． 解：∵AD，BE分别是△ABC的高， ∴BC·AD＝AC·BE， ∵AC＝5，BC＝12，BE＝9， ∴12AD＝5×9， 12. 如图，在△ABC中． (1)分别画出BC，AB的高AE，CD； (2)若AE＝3，CD＝5，AB＝4.求BC的长． 解：(1)如图 (2)∵AE，CD分别是△ABC的高线， ∵AE＝3，CD＝5，AB＝4， ∴3BC＝4×5， 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段. ∵ AD是△ABC的边BC上的中线. ∴ BD=CD=BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. ∵AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2=∠BAC 课堂小结 eq \f(1,2) 4. 如图，AD是△ABC的角平分线，则( ) A.∠1＝ eq \f(1,2)∠BAC B．∠1＝ eq \f(1,2)∠ABC C．∠1＝∠BAC D．∠1＝∠ABC ∴S△ABC＝ eq \f(1,2)BC·AD＝ eq \f(1,2)AC·BE， ∴AD＝ eq \f(15,4) ∴S△ABC＝ eq \f(1,2)BC·AE＝ eq \f(1,2)AB·CD. ∴BC＝ eq \f(20,3) $$