综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 教案教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

综合与实践确定匀质薄板的重心位置 教学设计 教学目标 课题 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 授课人 素养目标 1.了解生产、生活中物体重心的概念和意义. 2.了解确定简单平面图形和平面组合图形的重心位置的方法，并能将方法用于确定匀质薄板、薄壳的重心位置. 3.通过活动过程，提升实践意识、团队合作意识以及统筹能力和表达展示能力. 教学重点 探索简单平面图形和平面组合图形的重心位置. 教学难点 探索平面组合图形的重心位置. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，引入新知 【情境引入】 (教材P23)物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要⋯⋯ 在工程中，物体重心的位置也有重要的应用…… 工程中使用的许多物体具有均匀的质地，如工程中常用的工字钢、角钢、槽钢等型钢(如下图).你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心吗? 接下来，我们一起来探究解决这个问题. 【教学建议】 带领学生适当回 顾前面课时学过的三角形的重心.给学生介绍，数学中的很多概念与实际生活是紧密相连的. 设计意图 通过重心的实际应用场景，激发学生的学习兴趣. 活动二：交流讨论，探究新知 探究点1 确定简单平面图形的重心位置 任务1 认识平面图形的重心 (1)在物理学中，物体的重心指的是什么?匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关? 地球吸引物体的每一部分，但是，对于整个物体，重力作用的表现就好像它作用在某一个点上，这个点叫作物体的重心.匀质薄板的重心位置与薄板的形状有关. (2)用一个支点顶住一个三角形匀质薄板的重心(如图所示)，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡.此时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心.三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系? 三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置相同. (3)你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗? 将平面图形放在一个支撑物上，慢慢移动平面图形，直到它能保持平衡，这时的支撑点就是平面图形的重心. 任务2 了解平面图形重心位置的分布特点 (1)你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗? ①按三角形的形状，制作一个匀质三角形薄板. 【教学建议】 多制作几个不同 形状的三角形匀质薄板进行探究. 设计意图 结合物理知识，了解平面图形的重心. 教学步骤 师生活动 设计意图 ②在薄板上选择一个点，用细绳将薄板悬挂起来，等薄板静止后，通过悬挂点绘制一条竖直线. ③在薄板上选择另外一个点，再次用细绳将薄板悬挂起来，等薄板静止后，通过这次的悬挂点再绘制一条竖直线. ④两条竖直线的交点即为薄板的重心，也就是三角形的重心. (2)怎样确定其他常见的几何图形(如线段、正方形、长方形、平行四边形等)的重心位置?这些图形的重心位置有什么共同特点?你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗? 可以采用与前面类似的方法，制作各种形状的匀质薄板，然后用悬挂的方法找出它们的重心.这些图形的重心都位于它们的几何中心.三角形三条中线的交点就是三角形的几何中心，所以三角形的重心也满足上述特点. (3)如果有人问你“一个平面图形的重心指的是什么?位于它的什么位置?”，你会怎样回答? 一个平面图形的重心是它所受重力的等效作用点，位于该平面图形的几何中心. 任务3 确定一些平面图形的重心位置 通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，利用前面获得的结论，选择一些平面图形，尝试确定它们的重心位置. (1)你选择的是什么图形?能否根据它的形状确定其重心位置?如果能，你的依据是什么?如何验证你找到的重心位置的准确性? 选择圆.能根据它的形状确定它的重心位置，重心位置就在圆的圆心上.依据：圆心就是圆的几何中心.验证：将圆形匀质薄板在圆心处支撑起来，如果它能保持平衡，就说明圆心是它的重心. (2)当不能根据图形的形状确定它的重心位置时，你能通过把它分割成已知重心位置的图形来寻找它的重心位置吗?如果能，你是如何做的?如果不能，你遇到了什么困难? 不能.遇到的困难有：(1)有的图形不好分割成几个已知重心位置的图形；(2)即使分割成了几个已知重心位置的图形了，整个图形的重心也不知道该怎样确定. 【教学建议】 采用悬挂法确定 物体的重心时，注意要等物体静止后再绘制竖直线，且绘制要准确. 将物理实验得到结果绘制在几何图形中，找到物理概念与几何概念的交集，从而发现用几何途径寻找重心的方法. 设计意图 探究点2 确定平面组合图形的重心位置 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了.为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置. 任务1 把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系. 通过小组合作活动，选择一个已知重点位置的平面图形，将它分成已知重心位置的两部分，建立平面直角坐标系，探究图形的重点位置与两部分的重心位置坐标之间的关系. (1)你选择的是什么图形?你是按照什么标准把图形分成两部分的?图形的重心位置和两部分的重心位置分别位于哪里? 如图.我选择的是一个正方形，边长为6.把它分割成两个长方形：一个长为6，宽为2；一个长为6，宽为4. 它们的重心位于各自对角线的交点处，分别为N，N₁，N₂. 【教学建议】 要让学生通过自 己探究，得出平面组合图形的重心位置与各部分重心位置之间的关系是比较困难的，在教学中必然要给学生指引一个方向去分析.此外，对于重心坐标之间的关系，学生也不一定能想到用面积去连接，对此也要给学生一些指引.最后通过一些实际案例，让学生去得出重心位置是十分必要的，这既可以巩固相关知识，也能让学生体会知识的实际应用价值. 通过探究平面组合图形的重心位置与各部分重心位置之间的关系，让学生学会用数学知识确定平面组合图形的重心位置，并培养学生解决实际问题的能力. 教学步骤 师生活动 (2)你是如何建立平面直角坐标系的?图形的重心位置的横坐标x、纵坐标y与两部分的重心位置的横坐标.x₁，x₂、纵坐标y₁，y₂之间有什么数量关系?例如，能写成“ ”的形式吗? 建立平面直角坐标系如图所示.正方形的重心坐标为N(3,3),两个长方形的重心坐标分别为 N₁(1,3),N₂(4,3).正方形的重心坐标N(x，y)与两个长方形的重心坐标N₁(x₁,y₁),N₂(x₂,y₂)之间的关系为 (3)换一个标准把图形分成两部分，你能得到图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的什么数量关系?这种关系是否与前面得到的关系具有一致性? 按如图所示的方式将正方形分割，两个长方形的重心坐标分别为 正方形的重心坐标N(x，y)与两个长方形的重心坐标M₁(x₁,y₁),M₂(x₂,y₂)之间的关系为 这种关系与前面得到的关系具有一致性. (4)你能根据前面的探究结论，猜想这个图形的重心位置的横、纵坐标与分成的两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗?如果能，你能用式子把这个关系表达出来，并进一步验证它的正确性吗?如果不能，可能的原因是什么? 设两个长方形的面积分别为S₁，S₂，则正方形的面积为 在第一种分割方式中：两个长方形的面积比 关系式 中 在第二种分割方式中：两个长方形的面积比 关系式 中 可以猜想： 可以换其他分割方式进行验证，发现上面这个式子是正确的. 任务2 确定一个工程用薄板类工件的重心位置 要求：以小组合作的形式，选择一个组合图形的薄板、薄壳工件(或工件的横截面)，也可以从下图提供的工件或横截面中选择一个，通过推理、计算确定它的重心位置. 教学步骤 师生活动 选择图中的“L”形角钢的横截面.如图，将它分割成两个长方形，并建立平面直角坐标系.两个长方形的重心坐标分别为 N₁(6，60)，N₂(46，6).两个长方形的面积分别为 设“L”形角钢的横截面的重心坐标为N(x，y)，则.x= 所以点 N 的坐标为 它的位置如图所示. 设计意图 探究点3 跳高运动员为什么采用“背越式”(选做) 如图，当跳高运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好.试通过查资料、讨论等小组合作活动，探究其中的原因. 问题1 上面几种跳高方式，采用哪一种姿势过杆时，运动员的重心最低? 采用“背越式”越过横杆时，运动员身体呈弓形，重心最低. 问题2 过杆时重心越低，运动员是否越容易越过横杆? 是的. 结论：当运动员采用“背越式”越过横杆时，由于身体重心更低，所以更容易越过横杆，所以成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好. 【教学建议】 通 过 前 面 的 学 习，学生容易联想到从重心的角度去思考问题.学生可能会对几种过杆姿势缺乏足够的了解，教学中可适当展示图片或视频，让学生仔细观察运动员身体的重心. 通过重心位置在生活中的应用实例，学会用数学的思维思考现实世界. 活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是重心? 2.怎样确定简单平面图形的重心位置? 3.怎样确定平面组合图形的重心位置? 4.你能说出一些重心在实际生活中的运用例子吗? 【知识结构】 【作业布置】 根据探究活动中的提问及解答，分组制作一份完整的研究报告. 板书设计 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 1.重心的概念和意义. 2.确定简单平面图形的重心位置. 3.确定平面组合图形的重心位置. 教学反思 本节课通过展示重心在生活中的应用实例引入课题学习，探究了简单平面图形和平面组合图形的重心位置.课题学习中需要查询一些其他学科的资料，并将理论知识与实际操作联系起来，探究学习的难度较大.在教学中应多注意对学生进行指引，在不断的引导下让学生得出结论.学习完后要回头梳理探究过程，体会结论的可靠性.今后在面对类似的课题时，要让学生克服畏难情绪，努力地将数学知识运用到实际生活中去. 学科网（北京）股份有限公司 $$