15.4 等腰三角形-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（沪科版2024）

17.1)DP⊥AB,∠ACB=0°， 第2课时角的平分线的性魔与判定 ÷么ADF,△ACE得是直角三角港 蒸建在城 在Rt△ACE和R:△ADF中， 1C 8.A 3.B AE-AF DE⊥AB,DF⊥AC AC-AD. ∴.∠ED=∠CFD=9. R:△ACB☑R:△ADF《HH) △BDE与△CDF都是直角三角形. CE-DF. 在R△BDE南△CDF中， ()EPLRC.DF LAB. ∠CEF=90',∠BDF-90 即 ∠BFD+∠AF=90 R△BDE2RL△CDF,(HL)DEDF. 又：∠ACB=∠ACF+∠ECF=阳°，∠ACF= ,AD是∠MC的平分提 ∠ABF, 能力在线 ,子w 在△FPCE和△BFD中， 61)35 ∠ECF=∠DFB, 《)证明：过点E作G1 CE-FD D于点G,EH⊥BC于 ∠CEF-∠FDB=0', 点H, △FCE☑△BFD(ASA)FC■BF. ∠F-90∠AEF55 EF⊥C ∠EAFm50°-55=35 “点F在C的场直平分线上 出1)知，∠EAF-∠CAD-35, 15.8角的平分线 AE率分∠FAD 第1时角片平分线的作 EF⊥AF,GLAD,EF EG. 基甜在性 :BE平分∠AC,EFLBF,EHLBC,.BF-EH 1.2 .EGEH. 3.如图所，∠▣的补角为∠，射为其角平 ⊥AD,EH⊥BC,.DE平分∠ADC 分级.《答案不唯一1 (a)g P 拓展在望 1,50 4,知图所示，AD即为 第3深时三角形竹角平会鸡 基璃在城 L.D 2.5 5 3.A 舰力在镀 LD 长，中转站零到三第公路的距肉都相等 能力在缺 :黄物中转站必湖是三条相交直线所组成的三角形 0.6 的内角成外角平分的交点 (,如图所示《答聚不性一) 阀足条件的点P有国个，困略 拓展在城 6超图，莲接C) :AD平分∠BAC,BD平分 AHC 拓襄在镜 :点D到AC,AB,C的重离相 7.()如图，过点A作AD⊥CT 等，厚为D呢的长 点D,则点D为求， ”△AC的贤长为46m,面积为2m, (2)莲接CE, 由1)得AD⊥8C 是m-8w十品m十是w-字ACf+专C: :∠ADC=0” 由想意细，点D与点E美于AC对称，耳AC为线段 DE+AB·DE-×DEX(AC+C+A8. DE的垂直平分线 群92-DE×4“,解得DE4. AE-AD.CE-CD. 放DE的长为4m ,△AD2△AEC.(55s 15.4等腰三角形 ∠AC∠AD=g0',∠ACE-∠ACD-25 第1课时等限三角形的生质定理1及都论 ∠BCE-∠ACE+∠ACD-5 慕德在镀 ∠B=150°-∠BCE-∠AEC=40 1.722.663,404B 26 一探究在统·八年 5.(1135 (2)Y△ABD和△ACE都为等边三角形 ∠ACp=∠=7LA=2z.LAB=6 AB■HDAD,AC CEAE ,∠DC-180-∠EC-∠AGB-180°-0° AB=AC,六BD=E 48=44 6.50度如 OB=0C,∠C0=∠F=23, 能力在线 ∠0第-∠D℃-∠CBO-44°-'-21 7.飞8.100°争.60或10 死展在线 拓晟在战 1,(I)AF平分∠CME,∠EF=∠CAF 10,100 AB-AC,AB=AE,·AE=AC 第2课龄等腰三角影的生质究理2 (AC-AE. 基测在线 在△AC下和△AEF中，∠CAF=∠EAF 1,2月 AP-AF. 3.AB AC,BDCD. △ACF2△AEF,SAS)∠ACF=∠B ,AD平分∠BAC ”AB=AE,∠E∠AE.∠AHE∠ACF DELAB,DF⊥AC (2)由1)知，△AC2△AEF, F=CF=HM,∠E-∠ACF-∠AB 《:等輕三角形”三线合一“的性质 (AB-AC, 楚力在线 在△ABM和△ACF中，：∠ABN-∠ACF, 5.B6.1t BM-CF. 7.如图，清接AC,AD, ,△ABM2△ACF.(SA 由5MS易证△ABC2△AED,得 AM-AF,∠HAM=∠CAF A■w九 AB=AC,∠AC40 AF ICD..CP-FD ,△AC是等边三角形 即F是CD的中点 ∠BAC-6 佑膜在线 ∠MAF-∠MAC+∠CAF-∠NAC+∠BAN 8.20 ∠AC-6. 第3课时 等餐三角形的料觉 :AM-AF,二△AFM为等边三角形 基题在线 第4课时含30“角的直商左角别性质 1.A2.目&C 基硬在 《,相等.星由妇下： 1.A2.1025 连报C,如图。 AB=AC,∠ABC=∠ACE ∠BD=∠A=0 :∠AHD-∠ACD, ,C=2BD-6. ∠ABD-∠ABC=∠ACD-∠AB 在△ABC中，∠A-10.BC-6 ,∠DC-∠.∴，D-CD. AB■2HC=12 5.CC 7.D 能力在线 8,△AC是等边三角形， LeA6号 ,∠ABC=∠ACB=∠CAB=O DF⊥AB.DE LCH,EF⊥AC, 7.造接AC,:C为BE的中点，△ABE为 ∠DAB=∠ACF■∠CBE=90 等边三角形，CDAB, ,∠F0-∠E-∠A= ∴.AC⊥BE,∠BCD=∠BC=10' ∠D=∠B-∠F- 设BD=.别C2x.AB-x, △DEF是等边三角形 9.8 能力在线 阳展在线 10.B11.日12图 从缘蓝象道示章图-测AB-7nme, 13.《1)1证明：如图，连0A 过点P年PC⊥AB,重足为点C, :DE为复反AC的露直平台 ∠PC-30, ∠APB-∠PBC-∠PAB- 1515, ,AC一BC,点F为AB的中 点 ∠PAB-∠A"B CF为线爱AH的意点平分线 PB-AB-7 n mile 08=0.0B-0 .△，OC为等鬟三角形. (2)AC=EC,点F为AB的中点 PCc3.8 a mile. CF为∠ACB的平分线 品该面一直向东能行有触诞的危院。 数学（上}，HK一15.4 ©第1课时 等腰三角 ①基础在线 。知识要点分类练 知识点1等边对等角 1.(福州期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A =36°，则∠C= 第1题图 第2题图 2.(中考·绥化)如图，AB∥CD,∠C=33°，OC OE,则∠A= 0 3.(教材P146练习T3变式)如图，在△ABC中， 点D在边BC上，AB=AD=DC,∠C=35°， 则∠BAD= 第3题图 第4题图 知识点2腰三角形性质定理1的推论 4.(中考·泰安)如图，直线l∥m,等边三角形 ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上， 若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是() A.45°B.39°C.29° D.21 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=30°，分 别以AB,AC为边作等边三角形ABD和等边 三角形ACE. (1)∠DBC的度数为 (2)试说明：BD=CE. 腰三角形 形的性质定理1及推论 易错点未全面考虑而致错 6.(安徽阶段练习)等腰三角形中有一个角等于 50°，则该等腰三角形的顶角度数为 能力在线》方法规律噬合账 7.(方程思想)（怀化期中）如图，在△ABE中， ∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C, 且AB十BC=BE,则∠B的度数是 () A.45°B.50° C.55°D.60° M D 第7题图 第8题图 8.(整体思想)（中考·内江）如图，在△ABC中， ∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为 9.已知：如图，D,E分别是等边三角形ABC中 AB,AC上的点，且AE=BD,则BE与CD的 夹角是 第9题图 第10题图 ③拓展在线 沙培代拔尖提升练 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°， ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交 于点O,点E在BC上，点F在AC上，连接 EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合 时，∠OEC的度数为 第15章98 ©第2课时 等腰三角形的性质定理2 ( ①基础在线 、知识要点分类练 结论正确的是 A.∠C=∠D B.∠C=2∠D 知识点1等腰三角形的“三线合一“ C.∠C+∠D=90 D.以上结论都不对 1.(中考·云南)已知AF是等腰三角形ABC底 边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3， 则点F到直线AC的距离为 ( A昌 B.2 C.3 2.(毫州期末)如图，AD,CE分别是△ABC的中 第5题图 第6题图 线和高.若AB=AC,∠ACE=32°，则∠BAD 6.(成都专题练习)如图，等腰三角形纸片ABC 的度数为 中，AB=AC,AH⊥BC,点H为BC边上的垂 A.32° B.29 C.28 D.25 足.小花放人一张等边三角形纸片BDE,点E D 在BC上，F为AH与DE的交点，小都又放 一张等边三角形纸片EFG,点G在BC边上 小花和小都量得EF=5,CE=3,那么等腰三 7777777977777 角形纸片的底边BC长应为 第2题图 第4题图 7.(教材P153习题T11变式)已知：如图，AB= 3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB= AC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD.求证：F 求证：DE=DF 是CD的中点。 知识点2等腰三角形“三线合一"的应用 4.(焦作阶段练习)河南所有行政村实现了5G 网络覆盖，如图，为了让安装5G设备的电线 3 拓展在线》培优拔尖提升练 杆垂直于地面，工程人员从电线杆DE上一点 A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与 8.(准南期末)如图，等 AC,当BE=CE,且点B,E,C在同一直线上 腰三角形ABC的底 时，电线杆DE⊥BC.这种操作方法的依据是 边BC长为8，面积是 64,腰AC的垂直平 ②能力在线》方法规律棕合练 分线EF分别交AC,AB边于点E,F,若点D 为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则 5.(武汉期末)如图，在△ABC中，D为AB延长 △CDM周长的最小值为 线上一点，DE⊥AC于点E.若AC=BC,下列 99探究在线八年级数学（上）·HK ©第3课时 ①基础在线 、知识要点分类练 知识点1等腰三角形的判定 1.已知三角形两个内角的度数，则这个三角形是 等腰三角形的是 () A.40°，70 B.30°，90 C.60°，50 D.50°，20 2.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图 中的等腰三角形个数是 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第2题图 第3题图 3.(教材P159复习题T6(1)变式)如图，在 △ABC中，AB=6,AC=8,∠ABC,∠ACB的 平分线BD,CD交于点D,过点D作EF∥ BC,分别交AB,AC于点E,F,则△AEF的周 长为 A.12 B.13 C.14 D.15 4.如图，已知AB=AC,∠B=∠C,则BD与CD 相等吗？请说明理由 知识点2等边三角形的判定 5.(学科内融合)若△ABC的三边长a,b,c满足 (a一b)2+|b-c=0,则△ABC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.无法确定 腰三角形的判定 6.如图，直线AB∥CD,EG=FG,∠1=100°，∠2 =20°，则△EFG的形状为 () A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.无法确定 第6题图 第7题图 7.如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，AD ⊥BC.若添加一个条件可以证明△ABC是等 边三角形，则这个条件可以是 () A.∠B=60 B.∠BAD=30 C.AB=BC D.以上都可以 8.如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB,DE⊥ CB,EF⊥AC.求证：△DEF是等边三角形. 易错点选择腰的标准不明确而致错 9.如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称 为格点.已知图中A,B两个格点，请在图中再 寻找另一个格点C,使△ABC成为等腰三角 形，则满足条件的点C有 个 ②能力在线》方法规律蝶合练 10.(教材P150例4变式)如图，上午8时，一艘 船从A处出发，以15海里/时的速度向正北 方向航行，9时40分到达B处，从A处测得 第15章100 灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C 在北偏西52°方向，则B处到灯塔C的距离 是 ) A.36海里 B.25海里 C.20海里 D.21海里 N北 第10题图 第11题图 11.如图，已知E是等边三角形ABC中AC边上 的点，∠1=∠2，BE=CD,则△ADE的形状 是 () A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.无法确定 12.如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条 直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能 够得到两个等腰三角形纸片的是 () A. 4620 35 4△20 30 ,0°23> A△70 20-B 13.如图，在△ABC中，AC=BC,点F为AB的 中点，边AC的垂直平分线交AC,CF,CB于 点D,O,E,连接OB. (1)求证：△OBC为等腰三角形： (2)若∠ACF=23°，求∠BOE的度数. 101探究在线八年级数学（上）·HK 3 拓展在线》培优拔尖提升练 14.(池州期末)在等腰三角形ABC中，AB= AC,D是AC上一动点，点E在BD的延长 线上，且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于 点F,连接FC (1)如图①，求证：∠ABE=∠ACF; (2)如图②，当∠ABC=60°时，在BE上取点 M,使BM=EF,连接AM.求证：△AFM是 等边三角形. 图① 图② ©第4课时含30° ①基础在线 、知识要点分类练 知识点含30°角的直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则( A.AB=2AC B.AC=2AB C.AB=AC D.AB-3AC 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=15°，BD⊥ AC于点D,若BD=5,则AB=,S△= 3.如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A= 30°，CD⊥AB于点D.若BD=3,求AB的长， ②能力在线 》方法规律综合练 4.(芜湖阶段练习)如图，这是某自动扶梯的示意 图，已知大厅两层之间的距离h=6m,自动扶 梯的倾斜角为30°，若自动扶梯的运行速度为 0.4m/s,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间 为 () A.15s B.20s C.30s D.40s Q 30 第4题图 第5题图 5.(浙江期末)如图，在四边形ABCD中，∠A= ∠D=120°，∠B=30°.若AD=3,AB=5,则 CD= () A.1 B.2 C.3 D.4 角的直角三角形性质 6.如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠BAC= 120°，E为BA的延长线上一点，CE⊥AB于 点E,EF⊥BC于点F,则EF的长为 7.如图，△ABE是等边三角形，C为BE的中点， CD1AB于点D,求船的值， 3 拓展在线》培倪拔尖提升练 8.一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P 的方位是北偏东75°，又航行7 n mile到B处， 测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围 3.8 n mile内有暗礁，则该船一直向东航行有 无触礁危险？ 第15章102