4.1函数 课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第四章 一次函数 1　函数 知识点1 函数 1．函数定义 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变 量x的每一个值，变量y都有_________与它对应，那么我们称__ 是__的函数，其中__是自变量． 2．函数的表示方法 列表法、_______法和_____法． 唯一的值 y x x 关系式 图象 3．函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有_____确 定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 唯一 【注意】 理解函数概念的关键点： (1)组成：函数的概念由三部分组成，“两个变量”“变量x的每一个值”“变量y都有唯一的值与它对应”； (2)判断标准：两个变量之间是否有函数关系，一看是否有关系存在，二看对于变量x的每一个值，变量y是否都有唯一的值与它对应． 知识点2 函数的表示方法 1．列表法 可清楚地列出一些自变量和函数的对应值，但不容易看出自变 量与函数的对应规律． 2．关系式法 可从数量关系的角度明确自变量与函数值之间的对应关系，但 并非所有的函数关系都能用关系式法表示． 3．图象法 可直观形象地反映函数的变化趋势，但函数图象只能得到近似 的数量关系． 考点1 函数关系的确定 典例1 弹簧挂重物后会伸长，弹性限度内最长可达20 cm，测得弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)间有如表所示的关系： x 0 1 2 3 4 … y 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是( ) A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B.所挂物体为6 kg，弹簧长度为11 cm C．弹簧弹性限度内，物体每增加1 kg，弹簧长度就增加0.5 cm D．挂30 kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15 cm 思路导析 根据函数的定义即可确定自变量与因变量；从表中可以看出，在该弹簧弹性限度范围内所挂重物每增加1 kg弹簧就多伸长0.5 cm，则所挂物体为6 kg时，可计算得弹簧长度为11 cm，挂30 kg物体时，超出该弹簧的弹性限度范围，则弹簧长度不会比原长增加15 cm. 变式 如表所示是摄氏温度和华氏温度之间的对应表，则字母a的值是( ) A.45 B．50 C．53 D．68 华氏温度/°F 23 32 41 a 59 摄氏温度/℃ －5 0 5 10 15 考点2 函数的表示方法 典例2 [2023·鼓楼区期末]两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示两家公司的周薪计算方式： 小明决定应聘送奶员，下列正确表示两家公司的周薪计算方式的图象是( ) 思路导析 根据题意列出周薪与送奶数量的关系式即可得出答案． 变式 在某次试验中，测得两个变量x和y之间的三组对应数据如表： 则y与x之间的关系最接近于( ) A．y＝x2－1 B．y＝x＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2x－2 x 2 3 4 y 2.9 8.03 15.1 1．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝±x C．|y|＝x＋1 D．y2＝x 2．下列图形中不表示y是x的函数的是( ) 3．李强一家自驾到离家500 km的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．如表所示是记录了轿车行驶的路程x(km)与油箱剩余油量y(L)之间的部分数据： 轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是( ) A．该车的油箱容量为50 L B．该车每行驶100 km耗油8 L C．油箱剩余油量y(L)与行驶的路程x(km)之间的关系式为y＝50－8x D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余10 L油 4．小明从A地到B地(两地相距40千米)的骑车速度为10千米/小时，则小明离B地的距离y(千米)与骑车时间x(小时)之间的关系式(不写自变量的取值范围)为( ) A．y＝10x B．y＝10x－40 C．y＝40－10x D．y＝40－x 5．小明和妈妈3月19日自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是( ) 6．在地球某地，地表以下岩层的温度y(℃)与所处深度x(km)之 间的关系可以近似地用关系式y＝35x＋20来表示．当x的值为1时， 相应的y值是___；当x的值为6时，相应的y值是____． 55 230 7．如图，△ABC的高AD＝4，BC＝6，点E在BC上运动．若设BE 的长为x，△ACE的面积为y，则y与x的关系式为____________ __________． y＝－2x＋12 (0≤x≤6) 8．小颖准备乘出租车到距家超过3 km的某图书馆看书，出租车 的收费标准如表所示： 则小颖应付车费y(元)与行驶里程数x(x＞3)之间的关系式为 _____________． 里程数/ km 收费/元 3 km以内(含3 km) 7.00 3 km以外每增加1 km 1.50 y＝1.5x＋2.5 9．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中 的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后， 又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时 间为t(小时)，航行的路程为s(千米)， s与t之间的图象如图所示． (1)图中自变量是__，因变量是__；(用字 母表示) (2)甲、乙两地相距___千米，轮船在乙地停留了__小时． t s 60 6 10．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂 吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时 间之间的对应关系如图所示． 根据图象回答下列问题． (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ (3)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 解：(1)食堂离小明家0.6 km，小明从家到食堂用了8 min； (2)小明吃早餐用的时间为25－8＝17(min)，在图书馆停留的时间为58－28＝30(min)； (3)图书馆离小明家0.8 km，小明从图书馆回家的平均速度是0.8÷(68－58)＝0.08(km/min)． 11．有一种节能型轿车的储气箱最多可装天然气50 L，加满天然气后，储气箱中的剩余天然气量y(L)与轿车行驶路程x(km)之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题． (1)一箱天然气可供轿车行驶多少千米？ (2)求y与x之间的关系式； (3)轿车行驶200 km时，消耗天然气多少升？ 12．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s(千米)，客车出发的时间为t(小时)，它们之间的关系如图所示． 信息读取： (1)货车出发1小时走的路程为 千米； (2)客车到达终点所用的时间为 小时； 解决问题： (3)客车离开起点多少小时后，客车追上货车？ (4)客车到达终点时，两车相距多少千米？ (5)若将两车距离不超过40千米叫作“比较靠近”则两车“比较靠近”的时间持续多久？ 解：(1)60；(2)6； (3)货车的速度为60÷1＝60(千米/小时)，客车的速度为600÷6＝100(千米/小时)， 所以客车追上货车用了60÷(100－60)＝1.5(小时)． 答：客车离开起点1.5小时后，客车追上货车； (4)当客车到达终点时， 货车行驶的路程为60×(6＋1)＝420(千米)， 两车相距600－420＝180(千米)． 答：客车到达终点时，两车相距180千米； 13.[新定义][2025·威海期末]规定：对于y关于x的函数，当a<x1<x2<b，若y1<y2，则称当a<x<b时，y是x的增函数；反之，若y1>y2，则称当a<x<b时，y是x的减函数． 例如：证明y关于x的函数y＝－3x＋10在－2 025<x<2 025范围内为减函数． 证明：令－2 025<x1<x2<2 025， 则y2－y1＝－3x2＋10－(－3x1＋10)＝－3x2＋10＋3x1－10 ＝－3x2＋3x1＝－3(x2－x1)， 因为－2 025<x1<x2<2 025， 所以x2－x1>0， 所以－3(x2－x1)<0. 所以y2－y1<0，即y1>y2. 所以y＝－3x＋10在－2 025<x<2 025范围内为减函数． (2)函数y＝2x2－4x－1在2<x<2 025范围内是增函数，理由如下： 令2<x1<x2<2 025， 则y2－y1＝2x22－4x2－1－(2x12－4x1－1) ＝2x22－4x2－1－2x12＋4x1＋1 ＝2(x22－x12)－4(x2－x1) ＝2(x2＋x1)(x2－x1)－4(x2－x1) ＝2(x2－x1)(x2＋x1－2)， 因为2<x1<x2<2 025， 所以x2－x1>0，x2＋x1－2>0， 所以2(x2－x1)(x2＋x1－2)>0， 所以y2－y1>0，即y1<y2， 所以函数y＝2x2－4x－1在2<x<2 025范围内是增函数． 解：(1)一箱天然气可供轿车行驶1 000 km； (2)由图象，得该轿车50 L天然气可行驶1 000 km，所以1 L天然气可行驶1 000÷50＝20(km)， 所以y＝50－eq \f(x,20)， 所以y＝－eq \f(1,20)x＋50(0≤x≤1 000)； (3)令x＝200，y＝－eq \f(1,20)×200＋50＝40， 50－40＝10(L)，即消耗天然气10 L. (5)①当客车还未出发时，货车行驶了40千米时，此时eq \f(40,60)＝eq \f(2,3) (小时)； ②当客车还未到达终点，且两车相距40千米时， 当客车在货车后面40千米时，客车出发的时间为(60－40)÷ (100－60)＝eq \f(1,2)(小时)； 当客车在货车前面40千米时，客车出发的时间为(60＋40)÷ (100－60)＝eq \f(5,2)(小时)； ③当客车到达终点，货车从距终点40千米到终点用了40÷60 ＝eq \f(2,3)(小时)． eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(1,2)))＋eq \f(2,3)＝eq \f(10,3)(小时)， eq \f(10,3)小时＝3小时20分钟． 答：两车“比较靠近”的时间持续了3小时20分钟． 请完成下面问题： (1)当6<x<100时，y＝eq \f(2,x－2)为 (填“增”“减”或“不确定”)函数；(提示：eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b,ab)－eq \f(a,ab)＝eq \f(b－a,ab)) (2)判断y关于x的函数y＝2x2－4x－1在2<x<2 025范围是增函数还是减函数，并说明理由．[提示：a2－b2＝(a＋b)(a－b)] 解：(1)令6<x1<x2<100， 则y2－y1＝eq \f(2,x2－2)－eq \f(2,x1－2) ＝eq \f(2（x1－2）,（x1－2）（x2－2）)－eq \f(2（x2－2）,（x1－2）（x2－2）) ＝eq \f(2x1－4－2x2＋4,（x1－2）（x2－2）) ＝eq \f(2（x1－x2）,（x1－2）（x2－2）)， 因为6<x1<x2<100， 所以x1－x2<0，x1－2>0，x2－2>0， 所以eq \f(2（x1－x2）,（x1－2）（x2－2）)<0， 所以y2－y1<0，即y1>y2， 所以当6<x<100时，y＝eq \f(2,x－2)为减函数， 故答案为：减； $$