2.2平方根与立方根 课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 知识点1 算术平方根 1．定义：一般地，如果一个_____x的平方等于a，即x2＝a，那 么这个_____x就叫作a的算术平方根，记作___，读作“______”． 2．规定：0的算术平方根是__，即______． 正数 正数 根号a 0 非负数 ≥ ≥ 【规律总结】 1.求一个数或式子的算术平方根的“三个步骤”： (1)确定这个数或式子的具体数值，然后判断其非负性； (2)计算哪个非负数的平方等于(1)中的非负数； (3)算术平方根不是有理数地用含根号的数表示． 【注意】 考点1 求一个数的算术平方根 典例1 [2023·宁阳县二模] 的算术平方根是( ) A．4 B．2 C．±4 D．±2 思路导析 利用算术平方根的定义解答即可． 变式1 (－3)2的算术平方根是( ) A．9 B．3 C．±3 D．－3 变式2 [2025·安康期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，求AC的长． 考点2 算术平方根的双重非负性 典例2 若 ＝a，则a的值为( ) A．0 B．1 C．±1 D．0或1 思路导析 根据只有非负数才有算术平方根、非负数的算术平方根是非负数、0和1的算术平方根分别为其本身，即可求解． 第2课时　平方根 知识点 平方根与开平方 1．定义：如果一个数x的_____等于a，即x2＝a，那么这个数__ 叫作__的平方根(也叫_________)． 2．(1)一个正数有___个平方根，一个是a的算术平方根，另一个 是 ，它们互为_______．这两个平方根合起来可以记作 _______，读作“____________”． 平方 x a 二次方根 两 相反数 ± 正、负根号a (2)0只有__个平方根，它是__． (3)负数_____平方根． 3．开平方：求一个数a的_______的运算，叫作开平方，其中a 叫作_________． 1 0 没有 平方根 被开方数 【注意】 求一个数的平方根需要注意的三点： (1)求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把负的平方根遗漏； (2)如果被开方数为带分数，要先化为假分数； (3)如果一个正数a不能写成有理数的平方形式，则可以将a的平方根表示成± . 考点1 求一个数的平方根 典例1 [2023·澧县期末]下列说法不正确的个数是( ) ①(－5)2的平方根是±5　 ②－a2没有平方根　 ③非负数a的平方根是非负数　 ④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负　 ⑤0和1的平方根等于本身 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 思路导析 根据平方根的定义逐个判断即可． 考点2 利用平方根的性质求值 典例2 [2023·城关区期末]一个正数的两个平方根分别为2m－1与2－m，则这个正数为( ) A．－1 B．2 C．4 D．9 思路导析 根据一个正数的平方根互为相反数求解即可． 变式1 若m与m－2是同一个正数的两个不同的平方根，则m的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 变式2 若2m＋3和m＋1是同一个数的平方根，求这个数． 第3课时　立方根 知识点 立方根与开立方 1．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即_____，那么 这个数x就叫作a的_______(也叫作三次方根)．数a的立方根用符 号 表示，读作“__________”，其中a叫作_________，3是 根指数． 2．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是_____，0的立方 根是__，负数的立方根是_____． x3＝a 立方根 三次根号a 被开方数 正数 0 负数 开立方 a a 【易错易混】 任何数都存在立方根，与平方根、算术平方根不同． 思路导析 先运用非负性求得x，y的值，再代入求解即可． 考点2 运用立方根的概念解决实际问题 典例2 已知一个正方体的棱长是2 cm，要作一个正方体，使它的体积是原正方体体积的8倍，则所作的正方体与原正方体的表面积之比是( ) A．3∶1 B．4∶1 C．3∶2 D．2∶1 思路导析 由于新正方体的体积等于原正方体体积的8倍，设新正方体的棱长为x cm，根据体积公式列关系式求出x，然后根据表面积公式求解即可． 变式1 [2024·杭州期中]如图，二阶魔方为2×2×2的正方体 结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔 方的体积约为1 000 cm3(方块之间的缝隙忽略不计)，那么每 个方块的边长为__cm. 5 解：(1)x＝－5；(2)x＝－7. 第4课时　估算 知识点2 估计一个带根号的无理数的大小的一般步骤 1．估计是几位数； 2．确定最高位上的数字(如百位)； 3．确定下一位上的数字(如十位)； 4．以此类推，直到确定出个位上的数或者按要求精确的某一位． 思路导析 先化简各个数，然后再估算不能开尽平方的数，最后比较即可． 变式1 若一个正方形的面积为17，则下列有理数中最接近该正方形边长的是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 3 eq \r(a) eq \r(0)＝0 知识点2 算术平方根的双重非负性 1． 有算术平方根，故eq \r(a)中的a 0. 2．由算术平方根的定义可知eq \r(a) 0. 2．算术平方根的性质： (1)eq \r(a)要有意义，则a必须为非负数，即a≥0； (2)0和1的算术平方根分别是它们本身； (3)eq \r(a)具有非负性，即eq \r(a)≥0.如果eq \r(a)＋eq \r(b)＝0，则a＝b＝0. 知识点2 (eq \r(a))2与eq \r(a2)的性质 1．(eq \r(a))2＝a(a≥0)； 2.eq \r(a2)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.)) (1)(eq \r(a))2与eq \r(a2)都是非负数； (2)当a≥0时，(eq \r(a))2＝eq \r(a2)＝a. eq \r(16) � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� _1814592288.doc eq \r(10) _1814592289.doc eq \r(a) _1814592290.doc eq \r(a) _1814592287.doc eq \r(2) 解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2， 所以AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(32－22)＝eq \r(5). 变式1 [2023·蓝山县期末]若eq \r(2a－4)＋(b＋1)2＝0，则ab的值 为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 变式2 [2025·岳阳期末]已知实数a，b，c满足eq \r(a－5)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－7))＋(c＋3)2＝0，求： (1)a，b，c的值； (2)a＋b＋c的算术平方根． 解：(1)因为eq \r(a－5)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－7))＋(c＋3)2＝0，且eq \r(a－5)≥0，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－7))≥0， (c＋3)2≥0， 所以eq \r(a－5)＝0，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－7))＝0，(c＋3)2＝0， 解得a＝5，b＝7，c＝－3； (2)由(1)，得a＝5，b＝7，c＝－3， 所以a＋b＋c＝5＋7－3＝9， 所以9的算术平方根为3， 即a＋b＋c的算术平方根为3. －eq \r(a) eq \r(a) eq \r(a) 变式 [2023·蓬莱区期末]下列式子正确的是( ) A.eq \r(0.9)＝0.3 B.eq \r(1\f(7,9))＝±eq \f(4,3) C.eq \r(（－4）2)＝－4 D．±eq \r(121)＝±11 解：当2m＋3＝－(m＋1)时， 解得m＝－eq \f(4,3)， m＋1＝－eq \f(4,3)＋1＝－eq \f(1,3)， 则这个数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,9). 当2m＋3＝m＋1时，解得m＝－2， 故m＋1＝－2＋1＝－1， 则这个数为(－1)2＝1 综上所述，这个数为eq \f(1,9)或1. eq \r(3,a) 3．开立方：求一个数a的立方根的运算叫作 ．由x3＝a， 得x＝eq \r(3,a). 4．(eq \r(3,a))3＝ ；eq \r(3,a3)＝ ． 考点1 求一个数的立方根 典例1 [2023·金凤区期末]若eq \r(x－5)＋(y＋25)2＝0，则eq \r(3,xy)的值为( ) A．－5 B．5 C．15 D．25 变式 [2023·法库县期末]下列说法，正确的是( ) A．－4没有立方根 B．1的立方根是±1 C.eq \f(1,36)的立方根是eq \f(1,6) D．－5的立方根是eq \r(3,－5) 变式2 解方程： (1)x3＋125＝0； (2)eq \f(1,5)(x＋2)3＝－25. 知识点1 估算一个带根号的无理数的大致范围 如eq \r(x)(x≥0)，一般要找到与x最接近的两个正数a，b(a，b均能开平方)，a＜x＜b，得 ＜eq \r(x)＜ ，从而确定eq \r(x)的大致范围． eq \r(a) eq \r(b) 知识点3 比较两个数大小常用的方法 1．作差与0比较大小：如a－b>0，则a>b；a－b＝0，则a＝b；a－b<0，则a<b. 2．作商与1比较大小：对于两个正数a，b，若eq \f(a,b)＝1，则a＝b； 若eq \f(a,b)>1，则a>b；若eq \f(a,b)<1，则a<b. 3．比较两数的平方或立方：如比较eq \r(7)与3的大小，因为(eq \r(7))2<32， 所以eq \r(7)<3.也可用计算器开方，计算两个数的值，以此比较两数 大小． 考点1 数的大小比较 典例1 在数|－3.14|，eq \r(3,27)，－eq \r(5)，2中，最大的数是( ) A．|－3.14| B．eq \r(3,27) C．－eq \r(5) D． 2 变式1 关于eq \r(5)，eq \r(3,7)，2大小比较正确的是( ) A.eq \r(3,7)＜2＜eq \r(5) B．eq \r(5)＜eq \r(3,7)＜2 C.eq \r(3,7)＜eq \r(5)＜2 D．2＜eq \r(5)＜eq \r(3,7) 变式2 [2023·邵阳期末]已知a＝2－eq \r(3)，b＝eq \r(3)－eq \r(2)，c＝eq \r(2)－1，那么a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 考点2 估计无理数的大小 典例2 无理数6－eq \r(13)的大小在( ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 思路导析 先用两边逼近法估算eq \r(13)的取值范围，进一步得出－eq \r(13)的取值范围，再估算6－eq \r(13)的取值范围即可． 变式2 [2023·盐田区期末]秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为eq \f(\r(5)－1,2)，请你估算eq \r(5)－1的值( ) A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 变式3 [2025·娄底期末]eq \r(13)的整数部分为 ． $$