专题11 直线和圆的方程 （上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题11 直线和圆的方程 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 直线与方程（5年3考） 2025年求点到直线的距离 2024年求平面两点间的距离 2022年求点到直线的距离 直线和圆的方程相关内容主要出现在选择题、填空题中，偶尔在解答题中作为某一问的一部分或与其他知识综合考查，分值一般为 5 分左右，若在解答题中考查，分值会有所增加。 直线与圆的方程常与函数、方程、不等式、向量等知识相结合。 圆与方程 （5年2考） 2023年由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 2022年判断直线与圆的位置关系、判断圆与圆的位置关系 考点01 直线与方程 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求点到直线的距离 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 2．（2022·上海·高考真题）设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为. (1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标； (2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b； (3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求点到直线的距离、椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标； （2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可； （3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值． 【详解】（1）解：由题意可得，所以， 的中点在轴上， 的纵坐标为，代入得； （2）解：由直线方程可知，， ①若，则，即， ， . ②若，则， ，， ，，即， ，. 综上，或； （3）解：设，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得， 显然椭圆在直线的左下方，则，即， ，，即， ，整理可得，即， ，即的最小值为． 3．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【知识点】求平面两点间的距离、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 考点02 圆与方程 4．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【知识点】判断直线与圆的位置关系、判断圆与圆的位置关系 【分析】 对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑. 【详解】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 5．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 一、单选题 1．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到； 对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围. 二、填空题 3．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 5．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 【答案】4 【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 7．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 8．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 9．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      10．（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 【答案】1 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 11．（2025·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为是直线的一个法向量，故直线的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故答案为：. 12．（2025·上海徐汇·三模）直线m过点且法向量，则直线m的点法向式方程为 . 【答案】 【分析】根据直线所过的点及法向量写出点法式方程即可. 【详解】由题设，直线m的点法向式方程为. 故答案为： 13．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 14．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设出点坐标，根据列等式，即可得到的轨迹.再求点到的距离范围即可得到三角形的面积的取值范围. 【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，. 因为，所以，化简得， 则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）. 则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积. 又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为. 故答案为： 15．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 【答案】 【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解. 【详解】设， 则由可得：， 则，即或 的几何意义为射线上的点与的距离， 结合图像可知：到的距离即为最小值， 最小值为：， 故答案为： 16．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可. 【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示， 依题意直线l与圆C至少有一个交点， ①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角； ②当直线l的斜率存在时，设为，则，即 依题意，解得或， 此时直线l的倾斜角 综上所述，直线l的倾斜角， 故直线l的倾斜角的最大值为． 故答案为： 17．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 18．（2025·上海·模拟预测）已知抛物线：，圆：，O为坐标原点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)已知点，M、N是抛物线上的两个点，满足直线，均与圆C相切，判断并证明直线与圆C的位置关系； (3)若直线l：分别与抛物线交于点，，与圆C交于点、，且与面积相等，求m的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为； (2)相切，证明见详解； (3). 【分析】（1）根据抛物线性质直接可得； （2）设出直线，的方程，联立抛物线方程求出坐标，从而得到直线的方程，利用圆心到直线的距离与半径关系可得； （3）根据面积公式可得，进而可得，直线方程分别联立抛物线方程和圆方程，利用韦达定理建立和的关系，结合判别式求出范围，然后可得范围. 【详解】（1）由抛物线方程可知，抛物线开口向上，其中， 所以抛物线焦点为，准线方程为. （2）直线与圆相切，证明如下： 易知直线，的斜率存在，圆的圆心为，半径， 设过点与圆相切的直线方程为，即 则，解得， 不妨记直线方程为，直线方程为， 设， 联立得，则，即， 所以， 联立得，则，即， 所以， 所以，所以的方程为， 整理得， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C相切. （3）记原点到直线的距离为， 因为，所以，即，所以， 所以线段和的中点重合， 联立得，则，， 联立得（*）， 则，， 因为线段和的中点重合，所以， 因为，所以，因为，所以， 又，所以，得， 由（*）整理得，将代入整理得： ，解得， 综上，，所以， 即m的取值范围为. 19．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. (1)若是的左焦点，且，求的值； (2)设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； (3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算求参； （2）设点的坐标结合两角和正切，应用点在椭圆上计算； （3）设直线方程再联立得出韦达定理，再结合点到直线距离分类讨论计算求出参数范围. 【详解】（1）因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，而， 所以，解得：(负舍). （2）因为，又因为， 而， 代入解得. 若在第一象限，则，故在第二象限. 设，而， 整理可得. 代入椭圆方程，可得：. 所以解得(增根舍去)，所以. 因此. （3）由题意可知：直线的解析式为， 设直线的解析式为()，且、. 联立， 可得，. 根据韦达定理，，.     因为、两点均在直线的左侧，故. 又因为，，因此， 代入化简可得方程.     设，又因为，故. ① 若 ，此时直线与存在两个交点.    若存在，使得， 而，故， 可得，故，因此.     ② 若，而此时在的外部，，故. 若存在，使得， 而， 故，可得，故. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：设直线方程再联立方程组，得出故，最后分类讨论分 和两种情况计算求参. 20．（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用抛物线的定义可求出点的值，由此可求出点的坐标； （2）设，则，根据点在轴上，可求出的值，可得出点的坐标，可求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果； （3）分析可知，直线斜率必然存在，设其方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据可得出关于的等式，消去即可得出结果. 【详解】（1）设，因为点在抛物线上， 所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离， 所以，则，所以，故点的坐标是. （2）设，则，由题意，所以， 所以点的坐标为，则， 所以，直线的方程为，即直线的方程为， 所以原点到直线的距离为. （3）设，若直线的斜率不存在时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线斜率必然存在，设其方程为， 代入中，得， 设、，则，， 因为，且， 所以， 显然，，则， 所以 故，即． 由题意，得，因此. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 直线和圆的方程 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 直线与方程（5年3考） 2025年求点到直线的距离 2024年求平面两点间的距离 2022年求点到直线的距离 直线和圆的方程相关内容主要出现在选择题、填空题中，偶尔在解答题中作为某一问的一部分或与其他知识综合考查，分值一般为 5 分左右，若在解答题中考查，分值会有所增加。 直线与圆的方程常与函数、方程、不等式、向量等知识相结合。 圆与方程 （5年2考） 2023年由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 2022年判断直线与圆的位置关系、判断圆与圆的位置关系 考点01 直线与方程 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 2．（2022·上海·高考真题）设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为. (1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标； (2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b； (3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值. 3．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 考点02 圆与方程 4．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 5．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 一、单选题 1．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 2．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 二、填空题 3．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 5．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 7．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 8．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 9．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 10．（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 11．（2025·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ． 12．（2025·上海徐汇·三模）直线m过点且法向量，则直线m的点法向式方程为 . 13．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 14．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ． 15．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 16．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 . 17．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 三、解答题 18．（2025·上海·模拟预测）已知抛物线：，圆：，O为坐标原点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)已知点，M、N是抛物线上的两个点，满足直线，均与圆C相切，判断并证明直线与圆C的位置关系； (3)若直线l：分别与抛物线交于点，，与圆C交于点、，且与面积相等，求m的取值范围. 19．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. (1)若是的左焦点，且，求的值； (2)设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； (3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 20．（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． / 学科网（北京）股份有限公司 $$