第22章二次函数第27课时二次函数一般式与系数a、b、c的关系问题 暑假预习课- 2025-2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第27课时二次函数一般式与系数a、b、c的关系问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1.二次函数的图象与a，b，c的代数式之间的关系 代数式 代数式的符号 图象的特征 a a＞0 a＜0 c c＞0 c＝0 c＜0 － ab＞0(a，b同号) b＝0 ab＜0(a，b异号) b2－4ac b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 2. 根据二次函数的图象判断a，b，c的代数式之间的大小关系 序号 代数式之间的大小关系 比较方法 ① 2a－b与0 ② 2a＋b与0 ③ a＋b＋c与0 ④ a－b＋c与0 ⑤ 4a＋2b＋c与0 ⑥ 4a－2b＋c与0 ⑦ 只含a，b的式子与0 ⑧ 只含a，c或b，c的式子与0 ⑨ (a＋c)2－b2与0,(a＋c)2－b2＝(a＋b＋c)(a－b＋c) ⑩ am2＋bm与a＋b b2－4ac与4a 【考点1：选择题中的含a、b、c式子的判断正误问题】 例题1.如图，已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点，，则由抛物线的特征写出如下结论，错误的是      A.   B.   C.   D.   【考点2：根据二次函数图象直接判断含a、b、c式子的正负问题】 例题2.抛物线如图所示，则用“”“”或“”填空：           ；           ；           ；          ；           ；           ；           ；           ；           ；           ；           ；            【考点3：根据二次函数图象直接判断含a、b、c式子的结论对错个数的问题】 例题3.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断： ；；；若点，均在抛物线上，则；其中正确的个数是  (    ) A. B. C. D. 1.如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：；；是关于的方程的一个根；其中正确的个数为  (    ) A. B. C. D. 2.如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论中，正确的是(    ) A. B. C. D. 当时， 3.抛物线与轴交于点，其对称轴是，结合图象分析下列结论：；；；；一元二次方程的两根分别为，；；若两点，在二次函数图象上，则；其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，点在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是(    ) A. B. 方程有两个不相等的实数根 C. D. 点到直线的最大距离 5.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 为任意实数 6.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是  (    ) A. B. C. D. 7.二次函数的图象如图所示，有下列结论：；；；无实数根，其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题： 8.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点有以下结论：，其中所有正确结论的序号是          ． 9.如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，给出下列结论：其中正确的是          填序号 10.二次函数的图象如图所示，下列结论：抛物线与轴的另一个交点为其中正确的结论是          填写序号． 11.二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：；；；为任意实数；当时，的值随值的增大而增大；其中正确的结论有          选填序号． 12.如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论正确的是          填序号． 13.如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；为任意实数，其中结论正确的有          ． 14.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：；；；；若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是          填写所有正确判断的序号 15.如图，函数经过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、，则其中结论的正确的有          ． 16.二次函数的图象如图所示，有下列结论：其中，正确的结论有          个 17.如图，抛物线的对称轴是直线下列结论：           ；          ；          ；           18.二次函数的图象如图所示，回答下列问题： 抛物线开口          ，            ； 抛物线的对称轴在轴          ，            ，            ； 抛物线与轴负半轴相交，则            ，            ； 抛物线与轴有          个不同的交点，            19.二次函数的图象如图所示，回答下列问题：           ，          ，          ，          ； 时，          ，          ； 时，          ，          ； 时，          ，          ； 时，          ，          ； 对称轴为直线          ，           ，          ；           ，           第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第27课时二次函数一般式与系数a、b、c的关系问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1.二次函数的图象与a，b，c的代数式之间的关系 代数式 代数式的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＝0 图象过原点 c＜0 与y轴负半轴相交 － ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b＝0 对称轴是y轴 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 b2－4ac b2－4ac＞0 与x轴有两个交点 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点 b2－4ac＜0 与x轴没有交点 2. 根据二次函数的图象判断a，b，c的代数式之间的大小关系 序号 代数式之间的大小关系 比较方法 ① 2a－b与0 比较－与－1(结合a的正负判断) ② 2a＋b与0 比较－与1(结合a的正负判断) ③ a＋b＋c与0 令x＝1，看纵坐标 ④ a－b＋c与0 令x＝－1，看纵坐标 ⑤ 4a＋2b＋c与0 令x＝2，看纵坐标 ⑥ 4a－2b＋c与0 令x＝－2，看纵坐标 ⑦ 只含a，b的式子与0 从对称轴着手考虑和计算 ⑧ 只含a，c或b，c的式子与0 根据对称轴方程，用消元法消去b或a ⑨ (a＋c)2－b2与0,(a＋c)2－b2＝(a＋b＋c)(a－b＋c) 即为当x＝1和x＝－1时函数值的乘积 ⑩ am2＋bm与a＋b 同时加上c，转化为比较am2＋bm＋c和a＋b＋c的大小，即为比较当x＝m和x＝1时的函数值 b2－4ac与4a 比较与－1(结合a的正负判断) 【考点1：选择题中的含a、b、c式子的判断正误问题】 例题1.如图，已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点，，则由抛物线的特征写出如下结论，错误的是      A.   B.   C.   D.   【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由判别式决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：，，，再对各结论进行判断． 【解答】 解：观察图象可知，开口向上，对称轴在轴右侧则，与轴交于负半轴， ，故正确； B.抛物线与轴有两个交点， ，即，故错误； C.当时，由图象知在第二象限， ，故正确； D.设，则， ，代入抛物线得，又， ，故正确； 故选B． 【考点2：根据二次函数图象直接判断含a、b、c式子的正负问题】 例题2.抛物线如图所示，则用“”“”或“”填空：           ；           ；           ；           ；           ；           ；           ；           ；           ；           ；           ；            【答案】(1)＜ (2)＞ (3)＞ (4) (5)-3 (6)＞ (7)＜ (8)＞ (9)＝ (10)＝ (11)＞ (12)＜  【考点3：根据二次函数图象直接判断含a、b、c式子的结论对错个数的问题】 例题3.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断： ；；；若点，均在抛物线上，则；其中正确的个数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，二次函数与方程，二次函数与不等式的关系解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型由对称轴与轴的位置关系，可得出的符号，再结合图象与轴交点的位置，可得出的符号，即可判断的符号；由图象与轴交点的情况，可判断的符号；令，看函数值的符号，即可判断与的大小关系；比较两点与对称轴的距离，结合图象的开口方向，可得出结论；由对称轴位置可得与的等量关系，再由图象经过点，得关于，，的一个等量关系，进而转化得到与的等量关系，分别将，用含的式子代入中，结合的符号即可判断． 【解答】 解：抛物线对称轴，经过， ，， ，， 开口相上，即， ，， ， 故错误， 抛物线与轴有交点， ，故正确， 抛物线与轴交于一， ，故正确， 点一，，均在抛物线上， 根据抛物线的对称性，，也在抛物线上， ，则；故错误， ，故正确， 故选B． 1.如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：；；是关于的方程的一个根；其中正确的个数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论中，正确的是(    ) A. B. C. D. 当时， 【答案】A  【解析】解：、抛物线对称轴位于轴的右侧可得、异号，与轴的负半轴相交，则， ，故本选项结论正确； B、抛物线对称轴为直线， ， ，故本选项结论错误； C、抛物线与轴有两个交点， ， ，故本选项结论错误； D、由图象可知，当时，的值由负转为正，故本选项结论错误． 故选：． 根据对称轴的位置和与轴的交点即可判断；根据对称轴即可判断；根据图象与轴的交即可判断，根据二次函数的性质即可判断． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键． 3.抛物线与轴交于点，其对称轴是，结合图象分析下列结论：；；；；一元二次方程的两根分别为，；；若两点，在二次函数图象上，则；其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】解：抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点在轴正半轴， ，，， ，正确，满足题意． 抛物线与轴一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与轴另外一交点坐标为， 时， ，正确，满足题意． ， ，，错误，不满足题意． ，正确，满足题意． 抛物线与轴交点为，， 的两根分别为，，正确，满足题意． 抛物线顶点在轴上方， ，正确，满足题意． ， ， ， ， ，正确，满足题意． 综上所述，满足题意． 故选：． 根据题干求出抛物线与轴交点及，，符号，然后逐一判断对错． 本题考查二次函数的性质及应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次函数的关系． 4.如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，点在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是(    ) A. B. 方程有两个不相等的实数根 C. D. 点到直线的最大距离 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质对选项进行判断是解题的关键． 根据图象可知，，再由对称轴可知，可判断；根据抛物线的顶点可知方程有且只有一个实数根，可判断；当时函数有最大值，由此可判断；求出函数的解析式和直线的解析式，当的面积最大值时，点到的距离最大． 【解答】 解：由图象可知开口向下， ， 函数与轴的交点在轴的正半轴上， ， 对称轴为直线， ， ， 故A不符合题意； 抛物线的顶点坐标是， 时，方程的解为， 方程有且只有一个实数根， 故B不符合题意； 当时，， ，即， 故C符合题意； 设直线的解析式为， ，解得， ， 设抛物线，将点代入， ，解得， ， 过点作轴交于点， 设点坐标为，则， ， 当时，的面积有最大值， ，， ， ， ， 点到直线的最大距离， 故D不符合题意， 故选：． 5.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 为任意实数 【答案】D  6.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  7.二次函数的图象如图所示，有下列结论：；；；无实数根，其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个交点， ，即， 故正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 时，， 即， ， ， 故错误； 抛物线开口向下，顶点为， 函数有最大值， 抛物线与直线无交点， 一元二次方程无实数根， 故正确． 故选：． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与轴的交点情况可对进行判断；时，，可对进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对进行判断． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 二、填空题： 8.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点有以下结论：，其中所有正确结论的序号是          ． 【答案】  9.如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，给出下列结论：其中正确的是          填序号 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数图像与系数德关系，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键． 根据开口方向对称轴和轴交点位置判断即可． 【解答】 解：抛物线开口向上，对称轴位于轴的右侧， ，，又可知， ，故正确； 对称轴，得，故错误； 当时，，故正确； 当时，，， ， 即，故正确． 10.二次函数的图象如图所示，下列结论：抛物线与轴的另一个交点为其中正确的结论是          填写序号． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质． 根据抛物线对称轴方程对进行判断根据自变量为时对应的函数值为负数可对进行判断根据抛物线的对称性，由抛物线与轴的一个交点为得到抛物线与轴的另一个交点为，则可对进行判断由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，于是可对进行判断． 【解答】 解：由图象可知，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，故其与轴的另一个交点为，故错误； 抛物线的对称轴为，，即，故正确； 当时，，即，故错误； 图象开口向上，，， 图象与轴交于负半轴，， ，故正确； 综上，正确的有． 故答案为． 11.二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：；；；为任意实数；当时，的值随值的增大而增大；其中正确的结论有          选填序号． 【答案】  12.如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论正确的是          填序号 ． 【答案】  13.如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；为任意实数，其中结论正确的有          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． 根据图象与轴有两个交点，即可判断； 根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； 根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，即可判断； 根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，推出，再代入，即可判断； 根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断； 对称轴为，，运用二次函数增减性即可判断． 【解答】 解：抛物线与轴有两个交点， ， ， 正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 错误； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ， 错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， 抛物线对称轴为， ， ， ， ， 正确； ， ， 抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， 错误； 抛物线对称轴为，抛物线开口向上， ，有最小值， 为任意实数， 为任意实数， 正确； 综上所述，正确； 故答案为：． 14.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：；；；；若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是          填写所有正确判断的序号 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用数形结合思想． 根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【解答】 解：抛物线对称轴，经过， ，， ，， 抛物线开口向上， ， 根据抛物线的对称轴在轴左边可得：，同号，所以， 根据抛物线与轴的交点在负半轴可得：，， ，故错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故正确； 由对称性可知抛物线与轴交于， ，故正确； ，，， ，故正确； 抛物线对称轴， 与的函数值相等， ， 则；故错误； 故答案为：． 15.如图，函数经过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、，则其中结论的正确的有          ． 【答案】  【解析】【分析】、 根据图象与轴有两个交点，即可判断； 根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； 根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得抛物线与轴的另一个交点为，从而可判断当时，函数值的正负； 根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断． 本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识。 【解答】 解：抛物线与轴有两个交点， ， ， 正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 正确； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ， 错误； ， ， 抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， ， 正确； 综上所述，正确． 故答案为：． 16.二次函数的图象如图所示，有下列结论：其中，正确的结论有          个 【答案】  【解析】解：正确 17.如图，抛物线的对称轴是直线下列结论：           ；           ；           ；            【答案】(1)＜ (2)＞ (3)＜ (4)＜  【解析】 提示：， ，又时，， ，即． 18.二次函数的图象如图所示，回答下列问题： 抛物线开口          ，            ； 抛物线的对称轴在轴          ，            ，            ； 抛物线与轴负半轴相交，则            ，            ； 抛物线与轴有          个不同的交点，            【答案】(1)向上;＞ (2)右侧;＞;＜ (3)＜;＞ (4)两;＞  19.二次函数的图象如图所示，回答下列问题：           ，          ，          ，          ； 时，          ，          ； 时，          ，          ； 时，          ，          ； 时，          ，          ； 对称轴为直线          ，           ，          ；           ，           【答案】(1)＜ ;＜;＞;＞ (2)＜ ;＜ (3)＞ ;＞ (4)＜ ;＜ (5)＜ ;＜ (6)－1 ;－1;＝ (7)＜ ;＜  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$