第二章 代数式（知识清单）数学湘教版2024七年级上册

第二章 代数式 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做 。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常 ，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母 ，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号 ； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式 ，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】列代数式 1. 列代数式概念:用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式 2. 正确列出代数式，要掌握以下几点: (1)列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系 (2)要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等:(3)要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 【清单03】代数式的值 1.已知字母的值，直接 2.已知式子的值， 【清单04】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做 。 说明： 单独的 也是单项式. 2.单项式的系数： 单项式中的数字因数叫 . 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3.单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个 . 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、 在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单05】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫 . 2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做 . 3、多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫 . 4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是 . 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做 . 【清单06】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单07】合并同类项 1. 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 。 2. 合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做 。 （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： a．准确的找出同类项。 b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. b.不要漏掉不能合并的项。 c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【清单08】去括号 法则:1.括号前是“十”号,运用加法结合律把括号去掉,原括号里各项的符号都 ； 2.括号前是“一”号,把括号和它前面的“—”号去掉,原括号里各项的符号都要 . 注意:1.去掉括号和它前面的“一”号时,不要忘记 括号内各项的符号; 2.当括号前是一个非“”的因数时,应根据乘法对加法的分配律,先将该数与括号内的各项分别相乘,再去括号. 【清单09】整式的加法和减法 实质:合并同类项. 步骤:1.去括号; 2.合并同类项.注意:为了避免出现错误,几个整式相加减时,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.特别是两个多项式相减时,减数一定要添加括号. 一、代数式 诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 要点归纳：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 二、整式的相关概念 1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点归纳：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点归纳：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点归纳：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 三、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点归纳：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点归纳：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 重难点01 规范书写含字母的式子 1．下列各式符合整式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 2．下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 3．下列代数式书写正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点02 列代数式 1．标价为m元的商品，若打8折出售，则售价为 元．（用含有m的代数式表示） 2．如果1千克苹果的价格为m元，那么3千克苹果的价格为 元； 3．六一儿童节，学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆，租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是600和400元，若租了a辆大巴车，租车总费用是 元． 重难点03 求代数式的值 1、如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 2、小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（   ） A．51 B．251 C．256 D．255 3、若，则代数式 ． 重难点04 单项式与多项式 1、在下列代数式：2，，，，中，是单项式的有 个． 2、在式子中，所有单项式的系数的积为 ． 3、已知多项式是关于的四次二项式，则 ． 4、已知关于，的多项式的次数是8，单项式的次数与该多项式的次数相同，求，的值． 重难点05 合并同类项 1、下列各式的计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2、下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3、若与是同类项，则合并后的结果为 ． 4、合并同类项： 重难点06 整式的加减运算 1、化简 (1)； (2)． 2、计算： (1) (2) 3、化简下列多项式： (1)； (2)； (3)． 4、化简下列各式 (1) (2) 5、化简： (1)； (2)． 重难点07 整式的化简求值 1、先化简，再求值：，其中． 2、当时，求代数式的值为 ． 3、先化简，再求值： ，其中． 4、先化简，再求值：，其中． 重难点08 规律探索题型 1、张老师将正整数按照如图所示的方式依次排列，假设1600在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 2、将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形：将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2023个图中共有正方形的个数为 ． 3、观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 4、综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 重难点09 去括号添括号 1、根据去括号法则，在“”中填上“+”或“−”，正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．+，+，−，− B．+，−，+，− C．−，−，−，+ D．+，−，−，− 2、添括号（填空）： （1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）． 3、先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 代数式 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】列代数式 1. 列代数式概念:用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式 2. 正确列出代数式，要掌握以下几点: (1)列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系 (2)要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等:(3)要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 【清单03】代数式的值 1.已知字母的值，直接代入求代数式的值 2.已知式子的值，整体代入求代数式的值 【清单04】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2.单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3.单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、 在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单05】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单06】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单07】合并同类项 1. 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2. 合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： a．准确的找出同类项。 b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. b.不要漏掉不能合并的项。 c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【清单08】去括号 法则:1.括号前是“十”号,运用加法结合律把括号去掉,原括号里各项的符号都不变； 2.括号前是“一”号,把括号和它前面的“—”号去掉,原括号里各项的符号都要改变. 注意:1.去掉括号和它前面的“一”号时,不要忘记改变括号内各项的符号; 2.当括号前是一个非“”的因数时,应根据乘法对加法的分配律,先将该数与括号内的各项分别相乘,再去括号. 【清单09】整式的加法和减法 实质:合并同类项. 步骤:1.去括号; 2.合并同类项.注意:为了避免出现错误,几个整式相加减时,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.特别是两个多项式相减时,减数一定要添加括号. 一、代数式 诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 要点归纳：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 二、整式的相关概念 1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点归纳：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点归纳：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点归纳：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 三、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点归纳：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点归纳：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 重难点01 规范书写含字母的式子 1．下列各式符合整式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、正确书写形式为，故本选项错误； B、书写形式正确，故本选项正确； C、正确书写形式为个，故本选项错误； D、正确书写形式为，故本选项错误． 故选：B． 2．下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 【详解】解；根据代数式的书写规则可知，只有书写规范，符合题意， 故选：B． 3．下列代数式书写正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、正确的书写格式是，错误； B、正确的书写格式是，正确； C、正确的书写格式是，错误； D、正确的书写格式是，错误； 故选：B． 重难点02 列代数式 1．标价为m元的商品，若打8折出售，则售价为 元．（用含有m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据该商品的标价为m元，表示出打8折出售后的价格即可． 【详解】解：标价为m元的商品，若打8折出售，则售价为元． 故答案为：． 2．如果1千克苹果的价格为m元，那么3千克苹果的价格为 元； 【答案】 【分析】本题考查了代数式表示式，根据总价单价数量表示即可． 【详解】解：千克苹果的价格为m元， 千克苹果的价格为元， 故答案为：． 3．六一儿童节，学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆，租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是600和400元，若租了a辆大巴车，租车总费用是 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，先表示出租用面包车的辆数，然后把租用a辆大巴车和租用辆面包车的费用加起来即可． 【详解】解：租了a辆大巴车，则租了辆面包车， 所以租车总费用为元． 故答案为：． 重难点03 求代数式的值 1、如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据题意得到，再由进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 将代入得：原式， 故选：B． 2、小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（   ） A．51 B．251 C．256 D．255 【答案】C 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的代数式求值，先把10作为输入的数，计算出的结果，若结果大于200，则输出，若结果不大于200，则把结果作为新数输入继续计算的值，如此重复上述过程直至计算的结果大于200进行输出即可． 【详解】解：当时，， 再把51作为输入的数，则， ∴输出的结果为256． 故选：C． 3、若，则代数式 ． 【答案】15 【分析】本题考查整体代入法．观察已知式子和要求代数式关系为倍数关系，代入要求的式子即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 重难点04 单项式与多项式 1、在下列代数式：2，，，，中，是单项式的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了单项式的定义．单项式就是数与字母的乘积，或单独的数和字母都是单项式，依据定义即可作出判断． 【详解】解：单项式有：2，，共有2个． 故答案为：2． 2、在式子中，所有单项式的系数的积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的系数的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，由此可确定单项式和单项式的系数，进而可得答案． 【详解】解：在所给的式子中，是单项式的为和，其系数分别为2和， ∴所有单项式的系数的积为， 故答案为：． 3、已知多项式是关于的四次二项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，多项式的有关概念，代数式求值．掌握多项式的有关概念是解题的关键． 先合并同类项，再根据四次二项式的定义得到m，n的值，再代入中，计算求解即可； 【详解】解：， ∵该多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 4、已知关于，的多项式的次数是8，单项式的次数与该多项式的次数相同，求，的值． 【答案】，的值分别5，7 【分析】本题主要考查了单项式的次数和多项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义，根据多项式的次数是8，求出；根据单项式的次数与该多项式的次数相同，求出． 【详解】解：∵关于，的多项式的次数是8， ∴， 解得：， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， ∴， 解得：， 答：，的值分别5，7． 重难点05 合并同类项 1、下列各式的计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义和合并法则，是解答此题的关键． 识别哪些是同类项，根据同类项合并的法则，逐一判断． 【详解】A、和不是同类项，不能合并．故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 2、下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项法则：系数相加减，字母以及对应的指数不变，熟知法则计算是解题的关键． 【详解】解：A. 不能合并，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选D． 3、若与是同类项，则合并后的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，利用同类项是字母相同且相同字母的指数也相同得出a、b的值是解题的关键． 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得a、b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得：，． 故原式为：与 +． 故答案为． 4、合并同类项： 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 重难点06 整式的加减运算 1、化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，包括去括号法则和合并同类项法则．熟练掌握去括号时括号前系数的变化以及准确识别和合并同类项是解题的关键． （1）先去括号，再通过合并同类项来化简式子，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变． （2）同样先去括号，再对式子中的同类项进行合并化简． 【详解】（1）解： （2）解： 2、计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减的知识点．熟练掌握同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项）以及合并同类项的法则（同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变）是解题的关键． （1）观察式子发现每一项都含有，可根据合并同类项的法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变来进行计算． （2）式子中与是同类项，与是同类项，同样根据合并同类项的法则，分别将同类项的系数相加，字母和指数不变来化简式子． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3、化简下列多项式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号法则，整式的加减，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可． （2）先去括号，然后合并同类项即可． （3）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 4、化简下列各式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整加的加减法，掌握整式的加减法的法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1） ． （2） ． 5、化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算； （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 重难点07 整式的化简求值 1、先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 2、当时，求代数式的值为 ． 【答案】79 【分析】本题考查整式的加减-化简求值．将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式， 故答案为：79． 3、先化简，再求值： ，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 去括号，再合并同类项，整体代入，即可得到结果． 【详解】 当时， 原式． 4、先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题是化简求值题，考查了整式的乘法及求代数式的值，熟练运用乘法公式及单项式乘多项式是关键． 用乘法公式及单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可化简；再所给的值代入化简后的式子中即可求得值． 【详解】解： 当时， 原式． 重难点08 规律探索题型 1、张老师将正整数按照如图所示的方式依次排列，假设1600在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】B 【分析】本题考查了数字变化类的规律探索； 分析得出规律：第n行有个数字，最后一个数字为，可得1600是第40行，第79个数，然后计算即可． 【详解】解：由图可得： 第1行有个数字，最后一个数字为， 第2行有个数字，最后一个数字为， 第3行有个数字，最后一个数字为， 第4行有个数字，最后一个数字为， … ∴第n行有个数字，最后一个数字为， ∵， ∴1600是第40行的最后一个数字， ∵， ∴1600是第40行，第79个数， ∴， ∴， 故选：B． 2、将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形：将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2023个图中共有正方形的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第个图形的正方形的个数为，即可求解． 【详解】解：图①中共有1正方形， 图②中共有4个正方形， 图③中共有7个正方形，即； 图④中共有10个正方形，即；， 图中共有正方形的个数为； 所以第2023个图中共有正方形的个数为：． 故答案为： 3、观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， 故答案为： （3）解： ． 4、综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意数出图形中含有4个三角形时需要的火柴棒数量即可； （2）观察图形可知，每多一个三角形，则要多两根火柴棒，据此规律求解即可； （3）根据（2）所求求出所需要的火柴棒数量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要9根火柴棒； （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要根火柴棒， （3）解：当图形中含有2024个三角形时，火柴棍的根数为（根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和为． 重难点09 去括号添括号 1、根据去括号法则，在“”中填上“+”或“−”，正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．+，+，−，− B．+，−，+，− C．−，−，−，+ D．+，−，−，− 【答案】D 【分析】本题考查整式的去括号．熟练掌握去括号法则，是解题的关键． 根据括号前的符号确定各项的符号变化，逐一分析每个小题的符号选择． 【详解】①； 左边填“+”，则展开为，与右边相等，故填“+”． ②； 左边填“−”，则展开为，与右边相等，故填“−”． ③； 左边填“−”，则展开为，与右边一致，故填“−”． ④； 左边填“−”，则展开为，与右边相等，故填“−”． 综上，符号依次为+，−，−，−． 故选：D． 2、添括号（填空）： （1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）． 【答案】 / 【分析】本题考查了添括号，根据添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号． （1）根据添括号法则进行添括号，即可求解． （2）根据添括号法则进行添括号，即可求解． （3）根据添括号法则进行添括号，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3）； 故答案为：． 3、先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先去括号，再合并同类项即可； （）先去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$