专题02 绝对值的8类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题02 绝对值的八类综合题型 典例详解 类型一、利用数轴化简绝对值 类型二、分类讨论绝对值化简问题 类型三、绝对值的几何意义 类型四、双重绝对值 类型五、绝对值的非负性 类型六、绝对值方程 类型七、含绝对值的定义新运算的化简求值 类型八、绝对值分组求和的最值问题 压轴专练 类型一、利用数轴化简绝对值 利用数轴化简的步骤确定数轴上数的位置： 明确绝对值内各数在数轴上的对应点，判断其正负（原点左侧为负，右侧为正）； 判断代数式的符号：根据数的位置，分析绝对值内整个代数式（如 a+b、a-b 等）的正负； 去绝对值符号：根据上述性质去掉绝对值，正数 / 0 直接保留，负数变为其相反数； 化简结果：合并同类项，得到最终化简式 例1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，合并同类项，准确熟练地化简各式是解题的关键． 先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可． 【详解】解：根据数轴得，，， ， 故选：A． 变式1-1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的数从左到右越来越大，绝对值的化简和去括号，根据相关知识点一一计算，得到正确答案，解题的关键是要正确的去掉绝对值； 【详解】解：由数轴可知： ∴ ； ∴原式， ， ． 故选：D． 变式1-2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知、、的位置如图：则化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小以及加减运算，正确理解绝对值的意义和有理数的运算法则是本题的解题关键．根据题中数轴可得，据此可推出，再根据绝对值的性质去掉待求式的绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：根据数轴可得， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 变式1-3．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)5 (3)0 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义： （1）根据题意，得到互为相反数，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，进行化简求值即可； （3）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，判断出式子的符号，进行化简即可． 【详解】（1）解：由图和题意可知，互为相反数且不为0， ∴，； （2）由图可知：， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴． 类型二、分类讨论绝对值化简问题 分类讨论的步骤 找零点：令绝对值内的每个代数式等于 0，求出未知数的值（零点）； 划区间：将零点按从小到大的顺序排列，把未知数的取值范围划分为若干个不重叠的区间（包括零点本身）； 判符号：在每个区间内，判断每个绝对值内代数式的正负； 去绝对值化简：根据符号去掉绝对值符号，合并同类项； 总结结果：将各区间的化简结果汇总。 例2．（23-24七年级上·四川广元·期中）若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了化简绝对值，分别讨论中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断的符号是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴若都为正数，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若都为负数，则， 则， ∴的值可能是或或， 故选：． 变式2-1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据绝对值的性质得当时，则，由此可得出答案； （2）根据、、为非零有理数，可分为以下四种情况进行讨论：①当、、均为正时，则 ，， ，；②当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，；③当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，；④当、、均为负时，则 ，， ，；根据每一种情况求出式子的值即可得出答案． 【详解】（1）解： 、、为非零有理数，且， ， ， 故答案为：； （2）解： 、、为非零有理数， ∴有以下四种情况： 当、、均为正时，则 ，， ，， ； 当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、均为负时，则 ，， ，， ； 综上所述：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点． 变式2-2．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】分和两种情况，再计算绝对值运算即可得． 【详解】根据分以下两种情况： （1）当时 （2）当时 综上，的值为或2 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了绝对值运算，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 类型三、绝对值的几何意义 绝对值的几何意义是从数轴上的距离角度对绝对值的直观解释，它能帮助我们更形象地理解绝对值的性质和化简规则，尤其在解决含绝对值的最值问题时非常高效。 一、单个数的绝对值：到原点的距离在数轴上， 一个数a的绝对值|a|表示数轴上表示数a的点到原点（表示 0 的点）的距离。 例如： |5|的几何意义是 “数轴上表示 5 的点到原点的距离”，距离为 5，因此|5| = 5； |-3|的几何意义是 “数轴上表示 - 3 的点到原点的距离”，距离为 3，因此|-3| = 3；|0|的几何意义是 “原点到自身的距离”，距离为 0，因此|0| = 0。 核心特征：距离是非负的，因此绝对值的结果一定是非负数（|a| ≥ 0）。 二、两个数差的绝对值： 两点之间的距离对于任意两个数a和b，|a - b|的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离。 推导： 因为a - b可以看作 “a - b = a + (-b)”，而|a - b| = |b - a|（距离与顺序无关），所以 “a到b的距离” 和 “b到a的距离” 是同一个值。 例如： |2 - 5|的几何意义是 “数轴上 2 到 5 的距离”，距离为 3，因此|2 - 5| = 3； |-1 - 4|的几何意义是 “数轴上 - 1 到 4 的距离”，距离为 5（计算：4 - (-1) = 5），因此|-1 - 4| = 5； |x - 3|（x是未知数）的几何意义是 “数轴上表示x的点到表示 3 的点的距离”。 例3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【答案】(1)3 (2)，3或 (3)3 (4)或3 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义．绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意直接求点A、B之间的距离即可； （2）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （3）由点在线段上，可得，计算求解即可； （4）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A、B之间的距离为， 故答案为：3； （2）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得：或， 故答案为：或3； （3）解：∵点在线段上， ， 故答案为：3． （4）解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3， 故答案为：或3． 变式3-1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践：【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为．如：表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______； 【解决问题】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______． （3）试用数轴探究：当时的值为______． 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值为______，并写出此时可取的整数值为______． 【答案】（1），（2）（3）或（4）， 【分析】（）用大数减小数便可求得两点的距离； （）根据定义用代数式表示即可； （）根据绝对值的意义解答便可； （）由式子表示到与到的距离之和，可知当时，两距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 【详解】解：（），， ∴数轴上表示2和7两点之间的距离是5；数轴上表示2和的两点之间的距离是3； 故答案为：，； （）依题意，数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （）依题意，：数轴上表示和的两点之间的距离为， 当数在数的左边时，则，故； 当数在数的右边时，则，故； 故答案为：或； （）依题意，由式子表示到与到的距离之和， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴最小值为， ∴可取的整数有． 故答案为：， 变式3-2．（24-25七年级上·北京·期中）我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为或3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若，则x的值为__________； (2)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则求的计算结果； (3)已知有理数b，则的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由． 【答案】(1)或6； (2)5 (3)有最小值，最小值为8． 【分析】本题考查数轴，绝对值，掌握数轴的应用是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意知表示在数轴上表示数a的点到表示与的点的距离之和，即可解答； （3）根据题意知表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和，当时，这个距离之和最小，最小值就是表示与的两点之间的距离，为个单位长度，即可解答． 【详解】（1）(1) 如图，在数轴上与对应的点的距离为个单位长度的点表示的数为或． 故答案为：或； （2）表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和， 表示数的点位于表示与的两点之间，如图， 即的计算结果为； （3）的计算结果有最小值， 表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值就是表示与的两点之间的距离，为个单位长度， 即的计算结果有最小值为． 类型四、双重绝对值 处理双重绝对值的基本思路 双重绝对值的化简需遵循 “从内到外，分层讨论” 的原则： 确定内层绝对值的分界点：内层绝对值（如|x - a|）的分界点是使内层表达式为 0 的点（如x = a），这些点将数轴分为若干区间； 分区间化简内层绝对值：在每个区间内，根据内层绝对值内表达式的符号（正或负），去掉内层绝对值符号，得到不含内层绝对值的表达式； 分析外层绝对值的化简：对每个区间内化简后的内层结果，确定外层绝对值的分界点（即使外层表达式为 0 的点），再次分区间讨论，去掉外层绝对值符号； 综合结果：整合所有区间的化简式，得到最终结果。 例4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【答案】 2 14 【分析】（1）根据，，，得 解答即可． （2）分类计算即可． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 变式4-1．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知有四个不同的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．由可化简得，在化简的过程中判断、、、的符号，从而对题中的绝对值进行化简． 【详解】解：由有四个不同的解，可知、均不为0，且， 故， 则， 化简得可知，， ，，而且， ． 故答案为：4． 变式4-2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 类型五、绝对值的非负性 非负性的定义对于任意实数 a，其绝对值|a| 一定满足： |a| ≥0 即：绝对值的结果要么是正数，要么是 0，不可能是负数。 例5．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 变式5-1．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，并且满足． (1)______，______． (2)点在点的右侧，点在点的左侧，，，求点之间的距离； (3)动点以3个单位长度／秒的速度从点出发沿数轴正方向运动，同时点以2个单位长度／秒的速度从点出发沿数轴负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)； 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据两点间的距离求解即可； （2）先根据两点间的距离求出点C和点D表示的数，进而可求出点，之间的距离； （3）设它们t秒钟相遇，先列方程求出相遇的时间t，再求点表示的数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵点在点A的右侧，， ∴点表示的数是：． ∵点在点B的左侧，， ∴点D表示的数是：， ∴点，之间的距离为：． （3）解：设它们t秒钟相遇，由题意得 ， 解得， ∴点表示的数是：． 类型六、绝对值方程 解绝对值方程步骤： 去绝对值：按 “|A| = B→ B ≥ 0且A = B或A = -B” 拆分，多重绝对值需分层处理； 限范围：结合绝对值非负性（左侧≥0）和区间条件，缩小解的可能范围； 验根：代入原方程检验，排除不符合题意的根。 例6．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）若，则x的值为 ． 【答案】或. 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减，分类讨论解决问题即可，熟悉相关知识点是解题的关键. 根据绝对值性质分类，当时，当时，当时，再去绝对值计算即可. 【详解】解：当时， 解得：； 当时，，此时方程无解； 当时， 解得：； 故答案为：或. 变式6-1．（2022七年级上·全国·专题练习）解下列绝对值方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可； （2）根据绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， 或， 解得：或． 【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的性质是解题的关键． 变式6-2．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴或， 解得或． 类型七、含绝对值的定义新运算的化简求值 例7．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则：，在， ，，，，，，，，，，，，这个数中：任取三个数作为，，的值，进行“”运算，则所有计算结果中的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据绝对值得性质分情况讨论得出当时，为最小时，值最小，由此选取相应的数据进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 当最小时，值最小， 当时，最小值为， 当时， ， 当为最小时，值最小， 最小值为， ， 计算结果中的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，绝对值得性质，熟练掌握新定义下的运算法则是解答本题的关键． 变式7-1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于整数，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当时，求的值． (2)已知，求式子的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了整式加减、绝对值的性质，有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题关键． （1）根据新的运算，先判断奇偶性，再列式计算； （2 ）先判断奇偶性，再列式计算得出，再求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，为偶数， ∴ ； （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴ ； 类型八、绝对值分组求和的最值问题 例8．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）将，，，，这个自然数，任意分成组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做，另一个数记做，代入代数式中进行计算，求出结果，组分别代入后可求出个结果，则这个值的和的最大值是（    ） A．1365 B．1565 C．1735 D．1830 【答案】A 【分析】设各组中的数的比大，然后去掉绝对值号化简为所以当组中的较大的数恰好是到时．这个值的和最大，再根据求和公式列式计算即可得解． 【详解】解：假设， 则 所以，当组中的较大的数恰好是到时．这个值的和最大， ∴最大值为： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了去绝对值，整式的加减，代数式求值，数字类规律题，根据题意化简代数式是解题的关键． 变式8-1．（2024七年级上·北京·专题练习）将1，2，3，⋯100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最大值为 ． 【答案】2500 【分析】本题主要考查了代数式求值，化简绝对值，每组中的两个数记为a，b，分当时和当时，两种情况化简，推出将每组中的两个数a，b，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较小的数，则如果求这50个值的和的最大值，每组中的两个数应为相邻的两数，据此计算求解即可． 【详解】解：每组中的两个数记为a，b， 当时，， 当时，， ∴将每组中的两个数a，b，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较小的数． ∴如果求这50个值的和的最大值，每组中的两个数应为相邻的两数， ∴这样，这50个值的和的最大值为：， 答案：2500． 变式8-2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）将，，，…，这个自然数，任意分成组．每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到个值，则这个值的和的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，若求和的最大值，得出的值为和中较大的数，找出分组的规律是解题的关键． 分别计算和时的值，可得的值为和中较大的数，有最大值，即最大值为，计算即可得答案． 【详解】解：每组中两个数记为，，设， 则， 将每组中的两个数，，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较大的数的， 如果求这个值的和的最大值，每组中的两个数应为到中的一个数和到中的一个数，这样，这40个值的和的最大值为： 故答案为： 1．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值与数轴，解题的关键是理解绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解： 如图所示：由绝对值的几何意义可知，就是要在数轴上求一点x，使它到、2、3这三个点的距离和最小， 所以当时，，故此时有最小值，最小值是4． 故答案为：4． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 3．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为、、，． (1)　　　，　　　，　　　．（填“”“”“”） (2)　　　，　　　，　　　．（填“”“”“”） (3)化简：． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴、绝对值等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据各数在数轴上的位置填空即可； （2）根据各数在数轴上的位置填空即可； （3）根据（2）中各式的正负性进行绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据各数在数轴上的位置可知，，，． 故答案为：，，； （2）解：∵ ，， ∴，，， 故答案为：，，； （3）解：由（2）可知，，，， ∴ ． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．请根据你的理解，回答下列问题： (1)用数学符号语言表示：，的大小关系； (2)若，异号，，且． ①试判断： ；（填“”、“”、“”） ②把下面五个数：，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． (3)已知式子表示数轴上有理数所对应的点分别到数和所对应的点的距离之和．若为有理数，问式子有最小值吗？若有，请写出它的最小值及此时的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)有，当时，有最小值为 【分析】本题主要考查有理数大小比较、数轴及绝对值，熟练运用“奇点偶段”是解题的关键． （1）分情况描述a，b的大小关系； （2）①根据有理数的加法运算法则，进行作答即可； ②根据已知条件画出数轴即可； （3）根据绝对值的几何意义，利用“奇点偶段”求出最小值． 【详解】（1）解：若，且，则， 若，且，则， 若，且，则， 若，且，则， 若，，则， 若，，则． （2）解：①若，异号，，且， 则； 故答案为：； ②数轴见下图： ； （3）解：， ∴当时，有最小值为； 5．（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）由两点间距离直接求解即可； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可； （4）由两点距离的意义进行求解即可； （5）当时代数式的值最小，即可得到答案； （6）取最中间点即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3）， ； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为： ； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 6．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 【答案】(1)0 (2)或0 (3)或 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的意义，确定当，时，的值是正确解答的关键． （1）确定a、b的符号，再根据绝对值的性质进行计算即可； （2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）对，，进行讨论，，，同正，，，同负，，，两正一负，，，两负一正，再根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：0； （2）解：已知a、b是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③a、b异号，． 故的值为或0； 故答案为：或0； （3）解：已知，，是有理数，且， ①当，，时，； ②当，，时，； ③当，，两正一负时，令，，，则； ④当，，两负一正时，令，，，； 综上分析可知：的值为或． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，表示点A与点B之间的距离，且满足：． (1)直接写出　　　． (2)若在数轴上存在一点C，且，求点C表示的数； (3)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点A的运动时间为t秒．请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或 (3)或或 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离，是解题的关键： （1）非负性求出，两点间的距离求出的长； （2）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分3种情况进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设点表示的数为， ①当点在线段上时，则：，解得：； ②当点在线段的延长线上时，则：，解得：； 故点表示的数为或； （3）当小球追上小球甲前：，解得：， 当小球乙追上小球甲时，由题意，得：， 解得：， 此时两个小球所在点表示的数为：， 当小球乙向右移动时，，解得：； 综上：或或． 8．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． （3）设a、b为非零的有理数，求的值． 【答案】（1）的值为或；（2）22；（3）1或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的绝对值，代数式求值，熟练掌握运算法则和去绝对值的方法是解答本题的关键． （1）根据，且，可以得到，然后代入所求式子计算即可； （2）根据，可以得到a、b、c的值，然后代入所求式子计算即可； （3）根据a、b为非零的有理数，可知或或或，然后分别代入所求式子计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵a、b为非零的有理数， ∴， 当时，则； 当时，则； 当时，； 当时，； 由上可得，的值为1或． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)“”运算满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数和实数的知识，解题的关键是根据题目新定义运算，有理数的加减运算，进行解答，即可． （1）根据有理数、定义一种新运算“”，规定：，进行计算，即可； （2）新运算的规定计算，即可； （3）新运算的规定计算，验证是否满足交换律，即可． 【详解】（1）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴； ； ； 故答案为：，，． （2）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴当时，， ∴． （3）解：“”运算满足交换律，理由如下： 当时，， 此时，； 当，，， 此时：； 当时，，， 此时：； 综上：， ∴“”运算满足交换律． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值的八类综合题型 典例详解 类型一、利用数轴化简绝对值 类型二、分类讨论绝对值化简问题 类型三、绝对值的几何意义 类型四、双重绝对值 类型五、绝对值的非负性 类型六、绝对值方程 类型七、含绝对值的定义新运算的化简求值 类型八、绝对值分组求和的最值问题 压轴专练 类型一、利用数轴化简绝对值 利用数轴化简的步骤确定数轴上数的位置： 明确绝对值内各数在数轴上的对应点，判断其正负（原点左侧为负，右侧为正）； 判断代数式的符号：根据数的位置，分析绝对值内整个代数式（如 a+b、a-b 等）的正负； 去绝对值符号：根据上述性质去掉绝对值，正数 / 0 直接保留，负数变为其相反数； 化简结果：合并同类项，得到最终化简式 例1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知、、的位置如图：则化简 ． 变式1-3．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 类型二、分类讨论绝对值化简问题 分类讨论的步骤 找零点：令绝对值内的每个代数式等于 0，求出未知数的值（零点）； 划区间：将零点按从小到大的顺序排列，把未知数的取值范围划分为若干个不重叠的区间（包括零点本身）； 判符号：在每个区间内，判断每个绝对值内代数式的正负； 去绝对值化简：根据符号去掉绝对值符号，合并同类项； 总结结果：将各区间的化简结果汇总。 例2．（23-24七年级上·四川广元·期中）若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 变式2-1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 变式2-2．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若，则的值为 ． 类型三、绝对值的几何意义 绝对值的几何意义是从数轴上的距离角度对绝对值的直观解释，它能帮助我们更形象地理解绝对值的性质和化简规则，尤其在解决含绝对值的最值问题时非常高效。 一、单个数的绝对值：到原点的距离在数轴上， 一个数a的绝对值|a|表示数轴上表示数a的点到原点（表示 0 的点）的距离。 例如： |5|的几何意义是 “数轴上表示 5 的点到原点的距离”，距离为 5，因此|5| = 5； |-3|的几何意义是 “数轴上表示 - 3 的点到原点的距离”，距离为 3，因此|-3| = 3；|0|的几何意义是 “原点到自身的距离”，距离为 0，因此|0| = 0。 核心特征：距离是非负的，因此绝对值的结果一定是非负数（|a| ≥ 0）。 二、两个数差的绝对值： 两点之间的距离对于任意两个数a和b，|a - b|的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离。 推导： 因为a - b可以看作 “a - b = a + (-b)”，而|a - b| = |b - a|（距离与顺序无关），所以 “a到b的距离” 和 “b到a的距离” 是同一个值。 例如： |2 - 5|的几何意义是 “数轴上 2 到 5 的距离”，距离为 3，因此|2 - 5| = 3； |-1 - 4|的几何意义是 “数轴上 - 1 到 4 的距离”，距离为 5（计算：4 - (-1) = 5），因此|-1 - 4| = 5； |x - 3|（x是未知数）的几何意义是 “数轴上表示x的点到表示 3 的点的距离”。 例3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 变式3-1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践：【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为．如：表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______； 【解决问题】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______． （3）试用数轴探究：当时的值为______． 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值为______，并写出此时可取的整数值为______． 变式3-2．（24-25七年级上·北京·期中）我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为或3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若，则x的值为__________； (2)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则求的计算结果； (3)已知有理数b，则的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由． 类型四、双重绝对值 处理双重绝对值的基本思路 双重绝对值的化简需遵循 “从内到外，分层讨论” 的原则： 确定内层绝对值的分界点：内层绝对值（如|x - a|）的分界点是使内层表达式为 0 的点（如x = a），这些点将数轴分为若干区间； 分区间化简内层绝对值：在每个区间内，根据内层绝对值内表达式的符号（正或负），去掉内层绝对值符号，得到不含内层绝对值的表达式； 分析外层绝对值的化简：对每个区间内化简后的内层结果，确定外层绝对值的分界点（即使外层表达式为 0 的点），再次分区间讨论，去掉外层绝对值符号； 综合结果：整合所有区间的化简式，得到最终结果。 例4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 变式4-1．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知有四个不同的解，则 ． 变式4-2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 类型五、绝对值的非负性 非负性的定义对于任意实数 a，其绝对值|a| 一定满足： |a| ≥0 即：绝对值的结果要么是正数，要么是 0，不可能是负数。 例5．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）若，则 ． 变式5-1．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，并且满足． (1)______，______． (2)点在点的右侧，点在点的左侧，，，求点之间的距离； (3)动点以3个单位长度／秒的速度从点出发沿数轴正方向运动，同时点以2个单位长度／秒的速度从点出发沿数轴负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 类型六、绝对值方程 解绝对值方程步骤： 去绝对值：按 “|A| = B→ B ≥ 0且A = B或A = -B” 拆分，多重绝对值需分层处理； 限范围：结合绝对值非负性（左侧≥0）和区间条件，缩小解的可能范围； 验根：代入原方程检验，排除不符合题意的根。 例6．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）若，则x的值为 ． 变式6-1．（2022七年级上·全国·专题练习）解下列绝对值方程： (1) (2) 变式6-2．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 类型七、含绝对值的定义新运算的化简求值 例7．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则：，在， ，，，，，，，，，，，，这个数中：任取三个数作为，，的值，进行“”运算，则所有计算结果中的最小值为 ． 变式7-1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于整数，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当时，求的值． (2)已知，求式子的值． 类型八、绝对值分组求和的最值问题 例8．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）将，，，，这个自然数，任意分成组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做，另一个数记做，代入代数式中进行计算，求出结果，组分别代入后可求出个结果，则这个值的和的最大值是（    ） A．1365 B．1565 C．1735 D．1830 变式8-1．（2024七年级上·北京·专题练习）将1，2，3，⋯100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最大值为 ． 变式8-2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）将，，，…，这个自然数，任意分成组．每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到个值，则这个值的和的最大值为 ． 1．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）的最小值是 ． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为、、，． (1)　　　，　　　，　　　．（填“”“”“”） (2)　　　，　　　，　　　．（填“”“”“”） (3)化简：． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．请根据你的理解，回答下列问题： (1)用数学符号语言表示：，的大小关系； (2)若，异号，，且． ①试判断： ；（填“”、“”、“”） ②把下面五个数：，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． (3)已知式子表示数轴上有理数所对应的点分别到数和所对应的点的距离之和．若为有理数，问式子有最小值吗？若有，请写出它的最小值及此时的值；若没有，请说明理由． 5．（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 6．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，表示点A与点B之间的距离，且满足：． (1)直接写出　　　． (2)若在数轴上存在一点C，且，求点C表示的数； (3)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点A的运动时间为t秒．请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值． 8．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． （3）设a、b为非零的有理数，求的值． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$