17.1第1课时 用提公因式法分解简单的因式课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解 R·八年级上册 第1课时 用提公因式法分解简单的因式 17.1 用提公因式法分解因式 探究新知 在小学，我们学过整数的素因数分解. 12 =___________. 6 =___________. 8 =___________. 30 =___________. 2×3 2×2×2 2×2×3 2×3×5 类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式. 知识点1 因式分解 （1）x2 + x = __________； （2）x2 – 1 = _____________； （3）x2 + 2x + 1 = __________. 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： 探 究 想：整式的乘法 x(x + 1) (x + 1)(x – 1) (x + 1)2 像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？ （1）m(a + b + c) = ma + mb + mc， ma + mb + mc = m(a + b + c)； （2）(a－7)2 = a2 －14a + 49， a2－14a + 49 = (a－7)2； （3）(x + 3)(x－3) = x2 －9， x2－9 = (x + 3)(x－3). 整式乘法 因数分解 m(a + b + c) = ma + mb + mc (a－7)2 = a2 －14a + 49 (x + 3)(x－3) = x2 －9 ma + mb + mc = m(a + b + c) a2－14a + 49 = (a－7)2 x2－9 = (x + 3)(x－3) 互为 逆变形 观察 4 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 . ① am + bm + c = m(a + b) + c ② 12x2y2 = 3x ·4xy2 ③ x2 – 4 = (x + 2)(x – 2) ④ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ⑥ 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) ⑤ a2 – b2 – 1 = (a + b)(a – b) – 1 × √ × × × √ ③⑥ 练习 下列多项式有什么共同特点？ 相同因式 p 相同因式 x 它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式. 观察 pa + pb + pc p x2 + x x p p x 知识点2 公因式 找出下列多项式的公因式. ① 3x + 6y ② ab – 2ac ③ a2 – a3 ④ ma2 – 6mb ⑤ 3xy2 – 4y2 3 a a2 m y2 练习 试一试，将它们写成几个因式的乘积. pa + pb + pc x2 + x = p(a + b + c) = x(x + 1) 怎么得到的？ (pa + pb + pc)÷p (x2 + x)÷x 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 知识点3 提公因式法 例1　分解因式：　 (1) mx2 + my2； (2) 3x2 – 4xy2 + x . 解：(1) mx2 + my2 = m(x2 + y2) 分析：(1) 公因式为____ (2)公因式为____ m x 将 x 提出后，括号内的第三项为 1 (2) 3x2 – 4xy2 + x = x·3x – x·4y2 + x·1 = x(3x – 4y2 + 1) 运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？ = 2x2 ·1 + 2x2 ·3x = 2x2 (1 + 3x) ①定系数：各项系数的最大公因数； ②定字母：各项的相同字母； ③定指数：相同字母最低次幂. 思考 2 x 2 2x2 + 6x3 注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充. 练习 把下列各式分解因式： （1）4m2 – 2mn； （2）3ax2 – 6axy + 3a. 解：4m2 – 2mn = 2m·2m – 2m·n = 2m(2m – n) 3ax2 – 6axy + 3a = 3a·x2 – 3a·2xy + 3a·1 = 3a(x2 – 2xy + 1) 随堂练习 1. 下列整式中，没有公因式的是（ ） A. ab 与 b B. a + b 与 a2 + b2 C. a – b 与 (b – a)2 D. x 与 6x2 B b × a – b x 2.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1）4a(a + 2b) = 4a2 + 8ab； （2）a2 – 4 = (a + 2)(a – 2)； （3）x2 – 3x + 2 = x(x – 3) + 2 . 【教材P125练习 第1题】 是整式的乘法 仍为多项式的和的形式，没有分解成两个因数的积 3. 分解因式： （1）ax – ay； （2）a2 – 2a； 解：(1) ax – ay = a(x – y) (2) a2 – 2a = a·a – a·2 = a(a – 2) 【教材P125练习 第2题】 （3）a2 + ab； （4）xy – y2 + yz. (3) a2 + ab = a·a + a·b = a(a + b) (4) xy – y2 + yz = y·x – y·y + y·z = y(x – y + z) 4. 利用分解因式计算： （1）1.992 + 1.99×0.01； 【教材P125练习 第3题】 解：(1) 1.992 + 1.99×0.01 = 1.99×1.99 + 1.99×0.01 = 1.99×(1.99 + 0.01) = 1.99×2 = 3.98 （2）49×20.22 + 52×20.22 – 20.22； （3）5×34 + 4×34 + 9×32. (2) 49×20.22 + 52×20.22 – 20.22 = 20.22×(49 + 52 – 1) = 20.22×100 = 2022 (3) 5×34 + 4×34 + 9×32 = 5×34 + 4×34 + 32×32 = 5×34 + 4×34 + 34 = 34×(5 + 4 + 1) = 81×10 = 810 课堂小结 用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，确定公因式； 第二步，确定各项的余项（某一项和公因式相同时余项是 1）； 第三步，提取公因式（把多项式化为两个因式的乘积）. 复习导入 分解因式： （1）6x3 – 18x2 = __________； （2）–7a2 + 21a = __________. 6x2(x – 3) – 7a(a – 3) 你是怎样做的？ ①定系数； ②定字母； ③定指数； 6 x 2 1. 确定公因式： 2. 确定各项的余项； 3. 提取公因式. –7 a x –3 a –3 探究新知 例2　把 8a3b2 + 12ab3c 分解因式.　 分析：先找公因式. ①定系数： ②定字母： ③定指数： 4 a 1 8与12的最大公因数是4 a3b2 与 ab3c 都含有字母 a 和 b b 2 a的最低次数是1，b的最低次数是2 4ab2 8a3b2 + 12ab3c 如果提出公因式 4ab，另一个因式的两项是否还有公因式？ (8a3b2 + 12ab3c)÷(4ab) = 2a2b+ 3b2c 还能提出公因式 b 解： 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2·2a2 + 4ab2·3bc = 4ab2(2a2 + 3bc) 练习 把下列各式分解因式： (1) 3a2b3c5 – 6ab2c； (2) –8x2y2 – 4x2yz + 2xy. 解： (1) 3a2b3c5 – 6ab2c = 3ab2c·abc4 – 3ab2c·2 = 3ab2c(abc4 – 2) = (–2xy)·4xy + (–2xy)·2xz – (–2xy)·1 = (–2xy)(4xy + 2xz – 1) 注意：首项为负，一般先提出符号，后面各项都要变号 (2) –8x2y2 – 4x2yz + 2xy 例3　分解因式：　 (1) 2a(b + c) – 3(b + c)； (2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2 . 解：(1) 2a(b + c) – 3(b + c) = (b + c)(2a – 3) 分析：(1) 公因式为_______ (2)公因式为______ (b + c) 4(a – b)2 公因式可以是一个单项式，也可以是多项式 (2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2 = 4(a – b)2·(a – b) + 4(a – b)2·2 = 4(a – b)2(a – b + 2) (b – a)2 = (a – b)2 判断下列各式因式分解是否正确？如果错误，请改正. (1) –a3 + a2b2 – a2b 解：原式 = –a2(a + b2 – b)； (2) 36a3 + 24a2b 解：原式 = 6a2(6a + 4b)； (3) a(a – b) + a(a – b)(a + b) 解：原式 = a(a – b)(a + b)； 原式 = –a2(a – b2 + b) 注意：首项有负常提负，提负要变号 原式 = 12a2(3a + 2b) 注意：公因式要提尽 原式 = a(a – b)(1 + a + b) 注意：某项提完莫漏1 练习 把下列各式分解因式： (1) 2x(b + c) – 3y(b + c)； (2) 3n(x – 2) + (2 – x). 解：(1) 2x(b + c) – 3y(b + c) = (b + c)(2x – 3y) 2 – x = –(x – 2) (2) 3n(x – 2) + (2 – x) = 3n(x – 2) – (x – 2) = (x – 2)(3n – 1) 归纳 因式分解常用到的恒等变形： （1）b – a = __________； （2）(a – b)2 = __________； – (a – b) (b – a)2 （3）(a – b)3 = __________. – (b – a)3 随堂练习 1. 分解因式： 【教材P126练习 第1题】 （1）8m2n + 2mn； （2）4a2b + 10ab – ab2； （3）p(a2 + b2) – q(a2 + b2)； （4）2a(y – z)3 – 4b(z – y)3. 解：(1) 原式 = 2mn·4m + 2mn·1 (2) 原式 = ab·4a + ab·10 – ab·b = ab(4a + 10 – b) = 2mn(4m + 1) (3) 原式 = (p – q)(a2 + b2) (4) 原式 = 2a(y – z)3 + 4b(y – z)3 = (2a + 4b)(y – z)3 2. 先分解因式，再求值：4a2(x + 7) – 3(x + 7)， 其中 a = – 5，x = 3 . 【教材P126练习 第2题】 解：原式 = (4a2 – 3)(x + 7) 当 a = – 5，x = 3 时， (4a2 – 3)(x + 7) = [4×(–5)2]×(3 + 7) = 4×25×10 = 1000 3. 已知 n 是任意正整数，试说明 3n+2 – 4×3n+1 + 10×3n 能被 7 整除. 解：3n+2 – 4×3n+1 + 10×3n = 3n×32 – 3n×4×3 + 3n×10 = 3n×(32 – 4×3 + 10) = 3n×7 因为 3n是整数，所以 3n×7 能被 7 整除， 所以 3n+2 – 4×3n+1 + 10×3n 能被 7 整除. 4. 观察下面的分解因式过程： 例：把多项式 am + an + bm + bn 分解因式. 解法 1：am + an + bm + bn = (am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b) 解法 2：am + an + bm + bn = (am + bm) + (an + bn) = m(a + b) + n(a + b) = (a + b)(m + n) 把下面的多项式分解因式： （1）mx – my + nx – ny； 解：解法1：原式 = (mx – my) + (nx – ny) = m(x – y) + n(x – y) = (x – y)(m + n) 解法2：原式 = (mx + nx) – (my + ny) = x(m + n) – y(m + n) = (x – y)(m + n) （2）2a + 4b – 3ma – 6mb. 解：解法1：原式 = (2a + 4b) – (3ma + 6mb) = 2(a + 2b) – 3m(a + 2b) = (a + 2b)(2 – 3m) 解法2：原式 = (2a – 3ma) + (4b – 6mb) = a(2 – 3m) + 2b(2 – 3m) = (a + 2b)(2 – 3m) 课堂小结 用提公因式法分解因式的注意事项： 1. 公因式可以是单项式的形式，也可以是多项式的形式； 2. 当多项式第一项的系数为负数时，一般提出负号，且各项都变号； 3. 公因式的提取要彻底，分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式. 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $$