精品解析：福建省福州第四中学桔园洲中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年第二学期八年级3月适应性练习数学试卷 满分150分；考试时间120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意； B.，故不是最简二次根式，不符合题意； C.，故不是最简二次根式，不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，4，6 B. 4，6，8 C. 6，8，10 D. 3，4，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断两短边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，因此长度为2，4，6的三条线段为边不能组成直角三角形，不合题意； B．，因此长度为4，6，8的三条线段为边不能组成直角三角形，不合题意； C．，因此长度为6，8，10的三条线段为边能组成直角三角形，符合题意； D．，因此长度为3，4，6的三条线段为边不能组成直角三角形，不合题意； 故选C． 3. 一次函数的图像，可由函数的图像（ ） A. 向左平移2个单位长度而得到 B. 向右平移2个单位长度而得到 C. 向上平移2个单位长度而得到 D. 向下平移2个单位长度而得到 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象平移的规律即可得出； 本题主要考查了一次函数图象的平移，解题的关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 【详解】解：将向下平移2个单位， 得到， 的图像由一次函数向下平移2个单位得到的； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图，在中，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠ABC的度数，由角平分线的性质求出∠EBC的度数，再根据平行线的性质即可得∠AEB的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D=70°，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 7. 已知一次函数中，若随的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数中，随的增大而减小，可知，然后即可求得的取值范围．解题的关键是明确一次函数中随的增大而减小，则． 【详解】解：∵一次函数中，若随的增大而减小， ∴， 解得：， 故选：A． 8. 学校离小林家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，然后又行驶了5分钟到家，在下列图形中能大致描述他回家过程中离家的距离（千米）与所用时间（分）之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得：他回家过程中离家的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系有3个阶段；（1）行驶了5分钟，离家的距离减少；（2）因故停留10分钟，离家的距离不变；（3）继续骑了5分钟到家，离家的距离减少； 【详解】解：因为小林家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后离家的距离减少；因故停留10分钟，离家的距离不变；继续骑了5分钟到家，离家的距离减少；所以图象应分为三段，并且最后离家的距离为0． 故选D． 【点睛】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢． 9. 如图，平面内4条直线、、、是一组平行线，相邻2条平行线的距离是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，则这个正方形的面积不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】分①正方形有一组对边与该组平行线平行，根据相邻直线间的距离为1，分别求出正方形的面积，②正方形的每条边都与该组平行线不平行，有一对对角顶点在同一直线上与不在同一直线上，过点B作EF⊥l2，根据正方形的性质求出AB=BC，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠BCF，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，然后利用勾股定理列式求出AB的长，再根据正方形的面积求解即可． 【详解】解：①若正方形有一组对边与该组平行线平行，， ∵相邻2条平行线的距离都是1个单位长度， ∴正方形的边长为1或2或3， ∴正方形的面积为1或4或9， ②若正方形的每条边都与该组平行线不平行， 如图，过点B作EF⊥l2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°， ∠CBF+∠BCF=90°， ∴∠ABE=∠BCF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE=BF， 当为图1时，AB=， 正方形的面积为 当为图2时，AB=， 正方形的面积为5， 所以，正方形的面积为1或4或9或2或5， 综上所述，只有3不可能． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 10. 平面直角坐标系中，已知四个顶点坐标分别是，则p，q所满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD可以看做由AB平移得到，且A与D对应，B与C对应，然后由平移的性质可得p-m=n+3-n，q-2m=2n-2n，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴CD可以看做由AB平移得到，且A与D对应，B与C对应， ∵A（m，2m），B（n，2n），C（n+3，2n），D （p，q）， ∴p-m=n+3-n，q-2m=2n-2n， ∴q=2p-6． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及平移的性质．注意根据平移的性质得到p-m=n+3-n，q-2m=2n-2n是解此题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 12. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；由勾股定理得，再由数轴知点A表示的数． 【详解】解：由勾股定理得：，则点A表示的数是； 故答案为：． 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形是菱形， ， ，， 故答案为：24． 14. 如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，则△AOB的面积为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】分别令x=0，y=0，可得A、B坐标，即可求出OA、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2， ∴点B的坐标为（0，﹣2），OB＝2； 当y＝0时，x﹣2＝0， 解得：x＝2， ∴点A的坐标为（2，0），OA＝2． ∴S△AOBOA•OB2×2＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是分别令x=0，y=0即可求出一次函数与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积． 15. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则_______尺． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．设尺，则尺，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴尺， 故答案为：4． 16. 如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __． 【答案】1 【解析】 【分析】连接，由F、G分别为、的中点可得，在中有，由勾股定理可得，由折叠性质和矩形性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵F、G分别为、的中点， ∴， 当的最小时，即最小， ∵四边形矩形，， ∴， ∴， ∵沿折叠， ∴， 在中有， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的转化为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先化简二次根式、利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象过与两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点是该一次函数图象上一点，求a的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，求自变量的值，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图象过与两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 将代入，得 ， 解得． 答：a的值为2． 20. 如图，的对角线AC，BD相交于点O，且，，，，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：在中，，，， ， ∴， ∴，即， ∴是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理证明，推出是菱形，再证明四边形是平行四边形，据此即可证明结论成立． 【详解】略． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小强根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量的取值范围是 ； 下表是与的几组对应值． ①求的值； ②如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （2）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ． 【答案】（1）任意实数；①2， ②如下图所示； （2）当x＜-1时，y随x的增大而减小；当x＞-1时，y随x的增大而增大．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； ①根据函数解析式可以得到m的值； ②根据表格中的数据先描点，再画出相应的函数图象； （2）根据函数图象可以写出该函数的一条性质，本题答案不唯一． 【详解】解：（1）在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：x为任意实数； ①当x=1时，m=|1+1|=2， 即m的值是2； ②略． （2）由函数图象可得， 当x＜-1时，y随x的增大而减小； 当x＞-1时，y随x的增大而增大． 故答案为：当x＜-1时，y随x的增大而减小；当x＞-1时，y随x的增大而增大．（答案不唯一） 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 22. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 3 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 23. 阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）矩形为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：， 根据黄金矩形的性质可得： ， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． （1）将分子、分母同乘以，再根据平方差公式计算即可； （2）根据黄金矩形的定义结合，进行计算即可解答； （3）根据题意算出的长，从而得出，证明和的比值为即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， ∴黄金矩形的宽， 则黄金矩形的长； （3）略 24. 情境：图1是由正方形纸片去掉一个以对角线交点O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作：小芳将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，小芳沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据小芳的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出所有与线段相等的线段； （2）求的值． （3）探究：小蒋说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照小蒋的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 的长为或 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）过作于K，结合题意可得：四边形为矩形，先证明为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形， 设，，，求出，则，解得，继而求出，， ，即可解答； （2）由（1）得，，，即可求出的值； （3）①以B为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，②以C圆心，为半径画弧，交于P，交于Q，则直线为分割线，逐一分析求解即可． 【小问1详解】 如图，过作于K， 结合题意可得：四边形为矩形， ， 由拼接可得：，， 由正方形的性质可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴对角线的长为， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， ，， ∴； 【小问3详解】 ∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，①以B为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，符合要求， ②以C为圆心，为半径画弧，交于P，交于Q，则直线为分割线， 此时， ∴， 综上：的长为或． 25. 如图1，在正方形中，E是的中点，过点A作于点G，交于点F，过点B作于点M， （1）求证：G是的中点； （2）如图2，连接作的平分线交于点N． ①求证：E，M，N三点共线； ②求的值． 【答案】（1） 证明：如图，延长至点H，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即G是的中点； （2） ①证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即E，M，N三点共线； ② 【解析】 【分析】（1）延长至点H，使，连接，证明，可得，从而可证明四边形是平行四边形，进而得到，即可求证； （1）①连接，证明，可得，，再证明，可得，即可求证；②延长至点H，使，连接，证明，可得，设，则，可得，从而得到，由①得：，，，设，则，，，在中，利用勾股定理可得 ，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图，延长至点H，使，连接， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由①得：，，， 设，则，， ∴， 在中， ∴， 解得：， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期八年级3月适应性练习数学试卷 满分150分；考试时间120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，4，6 B. 4，6，8 C. 6，8，10 D. 3，4，6 3. 一次函数的图像，可由函数的图像（ ） A. 向左平移2个单位长度而得到 B. 向右平移2个单位长度而得到 C. 向上平移2个单位长度而得到 D. 向下平移2个单位长度而得到 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 6. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数中，若随的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 学校离小林家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，然后又行驶了5分钟到家，在下列图形中能大致描述他回家过程中离家的距离（千米）与所用时间（分）之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面内4条直线、、、是一组平行线，相邻2条平行线的距离是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，则这个正方形的面积不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 平面直角坐标系中，已知四个顶点坐标分别是，则p，q所满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 12. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 14. 如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，则△AOB的面积为 _____． 15. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则_______尺． 16. 如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象过与两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点是该一次函数图象上一点，求a的值． 20. 如图，的对角线AC，BD相交于点O，且，，，，，求证：四边形是矩形． 21. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小强根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量的取值范围是 ； 下表是与的几组对应值． ①求的值； ②如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （2）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ． 22. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 23. 阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 24. 情境：图1是由正方形纸片去掉一个以对角线交点O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作：小芳将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，小芳沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据小芳的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出所有与线段相等的线段； （2）求的值． （3）探究：小蒋说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照小蒋的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 25. 如图1，在正方形中，E是的中点，过点A作于点G，交于点F，过点B作于点M， （1）求证：G是的中点； （2）如图2，连接作的平分线交于点N． ①求证：E，M，N三点共线； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $