第03讲 有理数的加法与减法 （知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（人教版2024）

第03讲 有理数的加法与减法 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法的运算律 3.有理数的减法 4.有理数的加减混合运算 5.数轴上两点之间的距离(拓展点) 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 强化训练 单选题（9） 填空题（5） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若﹥ 0，b ﹥ 0，则＋b=＋(||＋|b|) 若﹤ 0，b ﹤ 0，则＋b=－(||＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若﹥ 0，b ﹤ 0，且|| ﹥ |b|，则＋b=＋(||－|b|) 若 ﹤ 0，b ﹥ 0，且|| ﹥ |b|，则＋b=－(||－|b|) 互为相反数 0 若 ﹥ 0，b ﹤ 0，且||=|b|，则＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 ＋0= 3. 有理数加法运算的步骤 知识点2.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 ＋b=b＋ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (＋b)＋c=＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点3.有理数的减法 1. 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：－b=＋(－b)，其中，b 表示任意有理数.减号变加号 如：(－22)－(＋5)=(－22)＋(－5)=－27 . 被减数不变 减数变相反数 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若>b，则－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若<b，则－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若=b，则－b=0 . 知识点4.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法运算律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋10)＋(－3)－(－8)有理数减法法则 =(＋7)＋(－10)＋(－3)＋8加法交换律、结合律 =(7 ＋8)＋[(－10)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负20 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 知识点5.数轴上两点之间的距离(拓展点) 数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|－b|. 示图(如图2.1 －5) 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（24-25七年级上·天津·期末）计算的结果等于（    ） A． B． C．5 D．1 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据有理数加法法则中同号两数相加的规则来计算的结果，再与选项进行对比即可．本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：A． 2．（2025·河南信阳·三模）“一个数与0相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．写出一个数与0相加，再根据有理数的加法法则进行计算，从而解答即可 【详解】解：∵， ∴满足条件的数是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加法计算法则求解即可； （3）根据有理数的加法计算法则求解即可； （4）根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型二、有理数加法中的符号问题 4．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 5．计算（＋2）＋（－3）其结果是 ． 【答案】－1 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，依此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，解题的关键是在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 题型三、有理数加法在生活中的应用 6．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）气温由上升了时的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握运算法则是关键．根据题意列出算式，计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：， 则气温由上升了时的气温是． 故选：B． 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）温度由上升了，上升后的温度是 ℃． 【答案】/ 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法运算，理解题意，掌握有理数的加法运算是解题的关键． 根据问题上升了，用有理数的加法计算即可求解． 【详解】解：温度由上升了， ∴上升后的温度是， 故答案为： ． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）“神舟十八号”航天员叶光富在太空行走时穿着厚厚的太空服，其中一个重要的原因就是飞船舱外温度太低，只有，而舱内的最低温度比舱外温度约高，要想知道舱内的最低温度，该怎样计算呢？ 【答案】，过程见详解 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法应用，根据舱内的最低温度比舱外温度约高，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵飞船舱外温度太低，只有，而舱内的最低温度比舱外温度约高， ∴， 即舱内的最低温度为． 题型四、有理数加法运算律 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）这道题计算时应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】B 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了加法的运算定律，涉及到对加法交换律、加法结合律的知识； 观察所给的算式，根据所学运算律的特征进行分析判断即可． 【详解】解：，运用了加法结合律． 故选：B． 10．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【知识点】有理数加法运算律 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算， （1）根据有理数加法结合律计算即可； （2）根据有理数加法结合律计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型五、有理数的减法运算 12．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）比小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意列出算式，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 13． ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】此题考查了有理数的减法，根据有理数的减法运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】此题考查了有理数的减法运算，解题的关键是掌握有理数的减法运算法则． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的减法运算法则求解即可； （3）根据有理数的减法运算法则求解即可； （4）根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六、有理数减法的实际应用 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山顶平均气温与山脚平均气温的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用山脚的平均气温减去山顶的平均气温即可得到答案． 【详解】解：， ∴山顶平均气温与山脚平均气温的温差是， 故选：C． 16．（24-25七年级上·山西临汾·期末）临汾冬季供暖后，小伟发现室内温度为，此时冰箱冷冻室的温度为，则冷冻室的温度比室内的温度低 ． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法列式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一架直升机在空中做升降练习，第一次上升210米，第二次下降232米，请问此时飞机是否又回到了原来的高度？如果没有，比原来升高了还是比原来降低了？ 【答案】飞机没有回到原来的高度，比原来降低了 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意是解题关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得（米）． 答：飞机没有回到原来的高度，比原来降低了米． 题型七、有理数的加减混合运算 18．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，根据有理数加法法则、减法法则将括号前的符号与括号内的数结合，改写为省略括号的和的形式即可； 【详解】解： ， ， 故选D． 19．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的加减混合运算，根据题意，理解的定义并求出值，然后根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意，可得： ． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，解题的关键熟记有理数加减法法则与运算律． 先去括号，再按有理数加法法则进行计算． 【详解】解： 题型八、有理数加减中的简便运算 21．式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【答案】A 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个数看成一组，从而可求解． 【详解】解： ． 则1012不可能是奇数． 故选：A． 22．（24-25七年级上·河北沧州·期末）要使式子“”能用运算律进行简便运算，“□”里填上的数是 ．（写出一个合适的即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是加法运算律的运用．根据题意知，分母与题干中的分母相同可以运用加法的交换律和结合律，据此求解即可． 【详解】解：当“”里的数为分母含有13或8时，可用交换律和结合律， 即； 故答案为：（答案不唯一）． 23．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数加减混合运算，掌握算理是解题关键． （1）先转化为加法运算，按照先同号相加进行计算； （2）能通分的分数先相加，再进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型九、有理数加减混合运算的应用 24．（2025七年级上·全国·专题练习）一次外语小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有（ ）人． A．8 B．7 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】此题考查了整数的运算，先确定只做对第一题的人数，再结合第二题做错的总人数，求出两题都错的人数． 【详解】解：∵两题都做对的有10人． ∴第一题做对的25人中，有10人全对， ∴只做对第一题的人数为人，这部分人第二题做错； ∵第二题共有18人做错，其中15人属于只做对第一题的情况， ∴剩余做错第二题的人即为两题都错的人数，即人． 综上，两题都做错的有3人． 故选：C． 25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某地早上的气温为，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是 ． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算的实际应用，温度上升为加，温度下降为减，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴这天夜间的气温是， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，如表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ 【答案】(1)销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜； (2)利民超市这次共购进香瓜760千克． 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的加减混合运算法则． （1）利用正数和负数的意义，有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用正数和负数的意义，有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （千克）， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜； （2）解： （千克）， 答：利民超市这次共购进香瓜760千克． 题型十、省略加法和括号的形式 27．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）把算式写成省略括号的和的形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了有理数的减法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：把写成省略括号的和的形式是， 故选：D． 28．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）将算式“”写成省略加号的形式为 ． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】根据有理数的加法和减法的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的加减运算．熟练掌握加减的符号法则，正确的去括号，是解题的关键． 29．将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 强化训练 一、单选题 1．为了方便书写，把写成省略括号的和的形式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 根据有理数的加减法法则将括号去掉．根据减去一个数等于加上这个数的相反数即可得出答案． 【详解】解：写成省略括号的和的形式是， 故选：C． 2．下面的计算运用的运算律是（　　） ． A．加法交换律 B．加法结合律 C．先用加法交换律，再用加法结合律 D．先用加法结合律，再用加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的简便运算，掌握分数和分数相加，小数和小数相加，先交换加数的位置，再结合是关键． 【详解】解：观察所给式子的计算过程可得： ，运用了加法交换律， ，运用了加法结合律， 故选C． 3．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．某天的最高气温是，最低气温是，那么这天的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用. 直接相减即可. 【详解】解：∵某天的最高气温是，最低气温是， ∴这天的温差是， 故选：D 5．计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法运算律的应用．观察第一步的变形，将原式中的加数重新分组并交换位置，需结合加法交换律和结合律进行判断． 【详解】解：由题意可知，将原式中与的位置交换，使与相邻，与相邻，使用了加法交换律，将相邻的加数分组结合，形成和两部分，使用了加法结合律， 因此，第一步同时应用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 6．绝对值小于的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，先求出绝对值小于4的所有整数，再根据加法法则进行计算即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数有：， ∴； 故选：D． 7．钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如：现在是10时，4小时后是几时？虽然，但是在钟表盘上看到的是2时．如果用符号表示钟表上的加法，则．若问现在是3时，5小时之前是几时？就得到钟表上的减法概念，用符号表示钟表上的减法．而且在钟表上也沿用有理数运算中“相加得0的两个数互为相反数”．（注：此处用0时代替12时）根据上述材料，有下列几个判断：甲：；乙：；丙：3的相反数是9．其中判断正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．只有乙不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，相反数的定义：按照钟表上的加法和减法概念，进行计算即可解答；再根据钟面上用0点钟代替12点钟，可得3的相反数． 【详解】解：由题意得，，， ∵，0点钟代替12点钟， ∴， ∴3的相反数是9， ∴甲、乙、丙都正确， 故选：C 8．如图所示，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为（   ） 4 a 2 1 3 b 5 c A． B． C．0 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意求出、、的值，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 故选：A． 9．某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨）本周五天后这种小麦库存（   ）吨 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 A．413 B．414 C．415 D．416 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加法运算，根据有理数的加减法运算，可得答案． 【详解】解：本周五天后这种小麦库存为：（吨）， 故选：C． 二、填空题 10．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 【详解】解：，， ∵ ∴； 故答案为：. 11．某天的气温，则该天的温差是 ℃． 【答案】9 【分析】本题主要考查有理数的减法应用，熟练掌握有理数的减法运算是解题的关键． 根据有理数的减法可直接进行求解． 【详解】解：由我市某天的气温是，可知这天的温差是； 故答案为：9． 12．四年级1班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有 人． 【答案】 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意可得，（人） 即这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有人， 故答案为： 13．一只小虫在数轴上的位置先向右爬行3个单位长度，再向左爬行7个单位长度，问爬行后所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，向右爬行就加上爬行的距离，向左爬行就减去爬行的距离，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴爬行后所表示的数为， 故答案为：． 14．某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【答案】 （答案不唯一） 200 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 三、解答题 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，原式根据减法法则变形后再计算即可． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减混合运算，利用加法交换律和结合律进行简便计算． 【详解】解： ． 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则，是解题的关键． 根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】先将式子中的小数和带分数统一形式，再运用加法交换律和结合律，把易于计算的数结合在一起，逐步计算得出结果． 本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和结合律是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 19．阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 20．李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考出来简便运算，解题的关键是∶ （1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【答案】(1)5.9 (2)4，6.8，1，1.2 (3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客 【分析】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法计算是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）分别计算2日到7日的游客人数即可判断； （3）将1日到7日的游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月3日的接待游客人数为万人次， 故答案为：； （2）解：因为10月2日的游客人次：（万） 10月3日的游客人次：（万） 10月4日的游客人次：（万） 10月5日的游客人次：（万） 10月6日的游客人次：（万） 10月7日的游客人次：（万） ∴国庆假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6.8万人次；游客人数最少的是10月1日，达到1.2万人次， 故答案为：4，6.8，1，1.2； （3）解：（万） 答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客． 22．阅读下列内容，并完成相关问题： 嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加． 特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________； (2)计算：． 【答案】(1)正；负；绝对值；绝对值 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的算式进行分析即可； （2）根据所给的运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：（加乘）运算的运算法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：正；负；绝对值；绝对值． （2）解： ． 23．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 【答案】(1) (2)3 (3)2 (4) 【分析】本题考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当在和2之间时，； （2）当在3和6之间时，的值最小； （3）当时，的值最小； （4）当时，取最小值． 【详解】（1）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示，2两点之间的距离之和等于7， ∴当时，， ∵x是整数， ∴． 故答案为：； （2）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示3，6两点之间的距离之和， 当时，的值最小， 最小值为：， 故答案为：3； （3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数， ∴当时，的值最小， ∴最小值为， 故答案为：2； （4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示数1，2，3，…，1997的点之间的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的加法与减法 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法的运算律 3.有理数的减法 4.有理数的加减混合运算 5.数轴上两点之间的距离(拓展点) 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 强化训练 单选题（9） 填空题（5） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若﹥ 0，b ﹥ 0，则＋b=＋(||＋|b|) 若﹤ 0，b ﹤ 0，则＋b=－(||＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若﹥ 0，b ﹤ 0，且|| ﹥ |b|，则＋b=＋(||－|b|) 若 ﹤ 0，b ﹥ 0，且|| ﹥ |b|，则＋b=－(||－|b|) 互为相反数 0 若 ﹥ 0，b ﹤ 0，且||=|b|，则＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 ＋0= 3. 有理数加法运算的步骤 知识点2.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 ＋b=b＋ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (＋b)＋c=＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点3.有理数的减法 1. 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：－b=＋(－b)，其中，b 表示任意有理数.减号变加号 如：(－22)－(＋5)=(－22)＋(－5)=－27 . 被减数不变 减数变相反数 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若>b，则－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若<b，则－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若=b，则－b=0 . 知识点4.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法运算律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋10)＋(－3)－(－8)有理数减法法则 =(＋7)＋(－10)＋(－3)＋8加法交换律、结合律 =(7 ＋8)＋[(－10)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负20 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 知识点5.数轴上两点之间的距离(拓展点) 数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|－b|. 示图(如图2.1 －5) 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（24-25七年级上·天津·期末）计算的结果等于（    ） A． B． C．5 D．1 2．（2025·河南信阳·三模）“一个数与0相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数： ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、有理数加法中的符号问题 4．（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．计算（＋2）＋（－3）其结果是 ． 题型三、有理数加法在生活中的应用 6．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）气温由上升了时的气温是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）温度由上升了，上升后的温度是 ℃． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）“神舟十八号”航天员叶光富在太空行走时穿着厚厚的太空服，其中一个重要的原因就是飞船舱外温度太低，只有，而舱内的最低温度比舱外温度约高，要想知道舱内的最低温度，该怎样计算呢？ 题型四、有理数加法运算律 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）这道题计算时应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 10．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型五、有理数的减法运算 12．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）比小的数是（   ） A． B． C． D． 13． ． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六、有理数减法的实际应用 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山顶平均气温与山脚平均气温的温差是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·山西临汾·期末）临汾冬季供暖后，小伟发现室内温度为，此时冰箱冷冻室的温度为，则冷冻室的温度比室内的温度低 ． 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一架直升机在空中做升降练习，第一次上升210米，第二次下降232米，请问此时飞机是否又回到了原来的高度？如果没有，比原来升高了还是比原来降低了？ 题型七、有理数的加减混合运算 18．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ． 20．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）计算：． 题型八、有理数加减中的简便运算 21．式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 22．（24-25七年级上·河北沧州·期末）要使式子“”能用运算律进行简便运算，“□”里填上的数是 ．（写出一个合适的即可） 23．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）计算 (1) (2) 题型九、有理数加减混合运算的应用 24．（2025七年级上·全国·专题练习）一次外语小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有（ ）人． A．8 B．7 C．3 D．6 25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某地早上的气温为，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是 ． 26．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，如表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ 题型十、省略加法和括号的形式 27．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）把算式写成省略括号的和的形式是（　　） A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）将算式“”写成省略加号的形式为 ． 29．将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 强化训练 一、单选题 1．为了方便书写，把写成省略括号的和的形式，结果是（   ） A． B． C． D． 2．下面的计算运用的运算律是（　　） ． A．加法交换律 B．加法结合律 C．先用加法交换律，再用加法结合律 D．先用加法结合律，再用加法交换律 3．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 4．某天的最高气温是，最低气温是，那么这天的温差是（    ） A． B． C． D． 5．计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 6．绝对值小于的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 7．钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如：现在是10时，4小时后是几时？虽然，但是在钟表盘上看到的是2时．如果用符号表示钟表上的加法，则．若问现在是3时，5小时之前是几时？就得到钟表上的减法概念，用符号表示钟表上的减法．而且在钟表上也沿用有理数运算中“相加得0的两个数互为相反数”．（注：此处用0时代替12时）根据上述材料，有下列几个判断：甲：；乙：；丙：3的相反数是9．其中判断正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．只有乙不正确 8．如图所示，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为（   ） 4 a 2 1 3 b 5 c A． B． C．0 D．5 9．某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨）本周五天后这种小麦库存（   ）吨 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 A．413 B．414 C．415 D．416 二、填空题 10．计算的结果是 ． 11．某天的气温，则该天的温差是 ℃． 12．四年级1班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有 人． 13．一只小虫在数轴上的位置先向右爬行3个单位长度，再向左爬行7个单位长度，问爬行后所表示的数为 ． 14．某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 三、解答题 15．计算：． 16．计算：． 17．计算：． 18．计算：． 19．阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 20．李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 21．2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 22．阅读下列内容，并完成相关问题： 嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加． 特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________； (2)计算：． 23．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$