专题01 平方根与算术平方根重难点题型专训（4个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 平方根与算术平方根重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 求一个数的平方根 题型四 求代数式的平方根 题型五 已知一个数的平方根，求这个数 题型六 利用平方根解方程 题型七 利用算术平方根的非负性解题 题型八 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 题型十 平方根的应用 题型十一 算术平方根的实际应用 拓展训练一 与平方根有关的化简问题 拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用 拓展训练三 平方根中的几何问题 拓展训练四 平方根的规律探究问题 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）下列各数没有平方根的是（   ） A． B．0 C．7 D．16 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根； 故选A． 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据一个非负数的平方根的平方等于原数可得答案. 【详解】解：， 故答案为： 知识点二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，根据平方根，算术平方根的含义求解即可． 【详解】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，则的计算错误，故选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）81的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴81的平方根为：， 故答案为：． 知识点三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若，则（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根，的平方根等于，因此，由此可解． 【详解】解：， 故选C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）根据平方根的意义，完成以下填空： ； ； ． 【答案】 /0.5 【分析】根据二次根式的性质，即进行化简即可． 【详解】；；． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 知识点四、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海闵行·随堂练习）的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）化简： ． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：2． 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·期末）下列各数的平方根只有一个的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方根．根据“0的平方根是0，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根”解答即可． 【详解】解：根据题意得，0的平方根是0，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根； 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键；由平方根的性质可求出的值； 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）与是同一个正数的平方根，求a的值． 【答案】或 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的平方根有2个，互为相反数，可知与相等或互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 解得：或． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：A、，故该选项计算正确，符合题意； B、，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、没有算术平方根，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据题意，自然数的算术平方根为x，则该自然数为，下一个自然数为，其算术平方根即为． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是x， ∴这个自然数是，下一个自然数是， ∴下一个自然数的算术平方根是：． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）已知数列（，且为整数） （1）当时，数列中一共有 个有理数 （2）若数列中共有44个有理数，则的最大整数值为 ． 【答案】 3 2024 【分析】本题考查了有理数的定义，算术平方根的求解，含乘方有理数的混合运算，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）当时，数列中的10个数，由，， 这个三个有理数即可得出结果； （2）根据，可得出． 【详解】解：（1）当时，数列中有，， 这个三个有理数， 故答案为：3； （2）， 数列中共有44个有理数，则的最大整数值为， 故答案为：2024． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）若，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根的定义．根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，根据平方根的定义求得，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 把代入， 解得， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为2． 【经典例题三 求一个数的平方根】 【例3】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）9的平方根是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的平方根；根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：9的平方根是， 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，根据平方根和算术平方根的定义即可求解，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：A、3是9的算术平方根，说法正确，故选项符合题意； B、0的平方根是0，故选项不符合题意； C、81的平方根是，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）若实数x的平方等于5，则实数x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根掌握以上知识是解题的关键；根据平方根的定义即可求解； 【详解】解：∵实数x的平方等于5，即， ∴解得：， 故答案为：； 3．（24-25八年级上·上海普陀·期末）绝对值等于的数是 ；平方等于的数是 ． 【答案】 ； ． 【分析】根据绝对值的定义及平方根的定义，根据绝对值等于的数是，平方等于的数是，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和平方根的意义． 【详解】解：由题意得：绝对值等于的数是，平方等于的数是， 故答案为：，． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 【经典例题四 求代数式的平方根】 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【答案】D 【分析】根据平方根的性质解答即可. 【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根； B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根； C、>0，∴该数有平方根； D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根； 故选：D. 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键. 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）在实数范围内，若，则与的积的算术平方根是（    ） A．0 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根与绝对值的非负性求得的值，再按题目问题要求代入计算即可. 【详解】由题意得， 解得， 故. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平方根与绝对值的非负性，理解掌握两者的性质是解答关键. 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知正数x满足，那么代数式 x的值是 ． 【答案】 【分析】将已知条件变形为，两边平方得可得，再变形为，结合x＞0即可得出结论． 【详解】解：由，得，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵x＞0， ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，也不想奇葩热闹我擦哎哟嘎就解答此题的关键． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若实数满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式、平方、绝对值的非负性即可得出x、y、z的值，求和后再求平方根即可． 【详解】解：由题意可得： 解得： ∴ ∴4的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点求代数式的平方根，解此题的关键是根据二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方数的非负性，求出x、y、z的值． 4．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，平方根，解题的关键是能够正确得到、的值． （1）根据，可得，即可得出整数部分，从而得出其小数部分． （2）根据，可得，，即可得出两者的整数部分和小数部分，结合题意可得，，最后代入中，直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是，的整数部分是，小数部分是． ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ． ∵， ∴， 解得，． 故满足条件的的值为或． 【经典例题五 已知一个数的平方根，求这个数】 【例5】（24-25八年级上·上海宝山·期末）若某数的平方根为和，则这个数是（   ） A． B． C．121 D．以上结论都不是 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的性质，根据正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此即可得到关于a的方程，求得a的值，进而求得这个数的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 则这个数是． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如果a+3和2a-15是某个非负数的平方根，那么这个数是（    ） A．49 B．441 C．7或21 D．49或441 【答案】D 【分析】根据题意得方程a+3+2a-15=0或a+3=2a-15，求出a，求出a+3，即可得出答案． 【详解】∵a+3和2a-15是一个非负数的平方根， ∴a+3+2a-15=0或a+3=2a-15， ∴a=4或18， ∴a+3=7，a+3=21， ∴这个数是49或441． 【点睛】本题考查了对平方根定义的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 2．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）一个数的平方等于81，这个数是 . 【答案】9或-9 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴这个数是9或-9． 故答案为：9或-9． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，一个正数的平方根有两个且这两个数互为相反数． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知实数a，b，c满足，则 ． 【答案】54 【分析】先配成平方和等于0的性质，再利用平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查平方的非负性，配方法的应用，算术平方根等知识，将原方程配成平方和等于0的形式是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知和是一个正数a的两个互不相等的平方根． (1)求a的值以及x的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键在于掌握一个正数的平方根互为相反数以及熟知平方根、立方根的概念．如果一个实数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．平方根，又叫二次方根，表示为，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． （1）根据一个正数的平方根互为相反数即可求出值，再利用平方根概念求出值． （2）根据立方根的概念即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴． （2）解：， ∴， 而125的立方根是5 ∴的立方根是． 【经典例题六 利用平方根解方程】 【例6】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索、运用平方根解方程等知识点，发现数字的排列规律成为解题的关键． 观察可知第k个图右上角的数为k，左上角的数为，下方的数为，由此可得方程，解方程求出，则，据此即可解答． 【详解】解：第1个图左上方的数为1，下方的数为， 第2个图左上方的数为4，下方的数为， 第3个图左上方的数为9，下方的数为， …… 第k个图左上方的数为，下方的数为， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，利用平方根的含义解方程，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．根据题意可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由题可得，， 解得：且． 综上：且 故答案为：且 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知是关于的完全平方式，则常数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方式及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断得出，然后解方程即可得出结果． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根解方程即可； （2）先表示出，再根据平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， 开平方，得， ∴，或， 解得，或； （2）解：∵， 移项，得， 两边都除以25，得， 开平方，得， ∴，或， 解得，或． 【经典例题七 利用算术平方根的非负性解题】 【例7】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的非负性和求平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：A． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如果，那么点在第_____象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，根据非负数的性质，求出x和y的值，再判断点所在的象限． 【详解】解：由题意，和均为非负数，且它们的和为0，因此必须同时满足： ，且 ， 解得； 把代入得， 解得． 因此，点的横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限． 故选：D 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，积的乘方的逆运算．根据非负数的性质，可得，然后根据积的乘方的逆运算法则代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）若，是实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a， （2）求出b，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得： ，， . （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【经典例题八 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例8】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，及， 又∵，且n为整数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子（式子中的“＋”，“－”依次相间）的值为（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴到之间有2个数， ∴， ∵， ∴到之间有5个数， ∴， ∵， ∴到之间有7个数， ∴， 同理：， …… ， ， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）的小数部分为a，的整数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对无理数大小的估算能力，能准确理解并运用算术平方根是解题的关键． 运用算术平方根的知识进行估算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分a为，的整数部分b为2， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次， ，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【答案】(1)5，7 (2)4次之后结果为1． 【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：5，7； （2）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 答：对290连续求根整数，4次之后结果为1． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力． 【经典例题九 与算术平方根有关的规律探索题】 【例9】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知：，，请根据以上规律得到的结果是（   ） A．0.071 B．0.224 C．0.0017 D．0.0224 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根有关的规律探索，将化成是解题的关键． 根据，再把代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：A． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，将一组数按下面的方法进行排列，如第1排第4个是，第2排第3个是，求第8排第3个是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找到规律，然后进行排列后写出数据即可解题． 【详解】解：由可得规律为：第n个数为， ∵排列时每行有个， ∴第a排第b 个数据为第个数，即， 第8排第3个应是第个数， ∴第8排第3个应是， 故选C． 【点睛】本题考查实数的规律问题，通过所给数据找到规律是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知，，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， 故答案为∶． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 【经典例题十 平方根的应用】 【例10】（2025·上海闵行·模拟预测）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）有一块面积为的长方形土地，若它的长与宽的比为，则宽在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设长为，则宽为，根据题意可得：，从而可得，进而可得宽为米，然后再估算出的值的范围，即可解答． 【详解】解：设长为，则宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴宽为米， ， 而， ， ∴宽约为之间， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）一个正数的两个平方根中，若正的平方根为，负的平方根为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方根的特征，解题关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 【详解】由题意得， 解得． 故答案为2． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个正数． 【答案】25 【分析】由题意得：，解得，，则，进而可求． 【详解】解：由题意得：， 解得，， ∴， ∴， ∴这个正数是25． 【点睛】本题考查了平方根．解题的关键在于熟练掌握一个数的平方根互为相反数． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【答案】(1)长为 ，宽为 (2)不能裁出面积为的正方形，理由见解析 (3)不能裁出面积为的完整圆形，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）设这个纸片的长为，宽为，根据面积的计算方法求出的值，进而确定原长方形的长与宽； （2）根据面积的大小进行判断即可； （3）根据圆面积的计算方法求出圆的半径，进而求出直径，再根据原长方形纸片的长、宽进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个纸片的长为，宽为，由题意得： ， 解得：，负值舍去， 即长为，宽为； （2）解：不能裁出想要的正方形纸片， 原长方形纸片的面积为，而要裁出的正方形的面积为， 不能裁出想要的正方形纸片； （3）解：不能裁出想要的圆形纸片，理由如下： 圆形纸片的面积为，即， 半径，负值舍去， 直径为，即， ∵， 不能裁出想要的圆形纸片． 【经典例题十一 算术平方根的实际应用】 【例11】（2025八年级上·上海长宁·专题练习）物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了平方根的应用，将，代入求解即可． 【详解】解：当，时， ， 解得或（舍去）． 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知一块面积为的正方形纸片，甲乙两名同学想沿着边的方向裁出一块长方形纸片，设计方案如下；甲方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形；乙方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形．对于这两个方案的判断，正确的是（     ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，理解题意列方程，利用算术平方根的概念求解是解题的关键．分别求得两个方案的长方形的长，与原正方形的边长相比较即可求解． 【详解】 解：正方形纸片的面积为， 正方形的边长为， 小明的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：、， ，即， ， ， 不能裁剪出符合要求的纸片； 小丽的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：、， ，即， ， ，能裁剪出符合要求的纸片． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，完全平方公式．依照例题计算即可求解； 【详解】解∶ ， 去分母，， 移项，， 两边平方，， 整理，， 故答案为∶． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 【答案】(1)菜地的长和宽分别是米，米 (2)预算不足，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用及实数的混合运算，关键是由题意得到关于x的方程． （1）设长方形菜地的长和宽分别是米，米，得到，求出（舍去负值），即可得到答案； （2）长方形菜地的周长米，求出围栏的材料总费用为（元），因此预算不足． 【详解】（1）解：设长方形菜地的长和宽分别是米，米， 由题意得到：， ∴（舍去负值）， 答：菜地的长和宽分别是米，米； （2）预算不足，理由如下： ∵长方形菜地的周长（米）， ∴围栏的材料总费用为（元）， ∵， ∴预算不足． 4．（24-25八年级上·上海虹口·期末）【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 【答案】(1)正方形的面积为5，边长为 (2)10 【分析】本题主要考查求一个数的算出平方根以及图形拼接中面积守恒的规律，解题的关键在于理解图形拼接前后总面积不变； （1）通过已知小正方形的数量计算总面积，再根据面积公式求边长； （2）需要根据第一问的规律推导出值即可； 【详解】（1）解：由题和图可知∶一个小正方形的面积是1，所以5个小正方形的面积和为5， 即大正方的面积为5， ∵边长边长面积， ∴边长， 故拼成的正方形的面积为5和边长为； （2）解：根据大正方形的面积为，每个小正方形的面积为1， ∴共需要10个小正方形； 故答案：10． 【拓展训练一 与平方根有关的化简问题】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）化简的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）化简求值① ；② ；③的平方根 ． 【答案】 【分析】此题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的意义进行准确计算即可． 【详解】解：①， ②， ③∵ ∴的平方根的平方根， 故答案为：，， 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）根据条件，计算求值化简： (1)； (2)已知与是正数a的两个平方根，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根、算术平方根及解一元一次方程． （1）根据立方根、算术平方根、绝对值的性质化简，再合并即可求解； （2）根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数即可求出m的值，从而求出a的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵与是正数a的两个平方根， ∴， 解得， ∴． 【拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用】 1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，根据非负数的性质求得，，，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质，负整数指数幂的意义等知识，先根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入并结合负整数指数幂的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的值为的条件求出a、b、c的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题可得：，，且， 解得，，， ∴． 【拓展训练三 平方根中的几何问题】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长方形纸片的长为，则宽为，先根据长方形的面积公式可得，从而可得长方形纸片的长为，宽为，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意得：， 解得（负值已舍）， 则长方形纸片的长为，宽为， ， ， ， 则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题关键． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内，已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中的长为 ．    【答案】/ 【分析】设小木块的长为x，则阴影部分的边长为，根据阴影部分的面积为19列方程求解即可． 【详解】解：设小木块的长为x， 根据题意，阴影部分图形为正方形，则， ∴， ∵x为正数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根的应用，解答的关键是根据图形得到小木块的长、宽与阴影部分面积的关系． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）（1）如图1，小明同学用两个大小相同的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．大正方形的面积是，则大正方形纸片的边长是______，小正方形纸片的边长是______； （2）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长与宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； （3）如图2，现有一张由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，请你尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，不重叠，且无空隙．如果可以，请在图2左边的纸片上用虚线画出分割方法，并在右边的网格（网格中的小正方形边长都为1）中用实线画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点（即虚线的交点）上，然后求出所得大正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1），；（2）不能，理由见解析；（3）可以，图形见解析，正方形的边长为 【分析】本题考查了平方根的实际应用，无理数的估算； （1）利用正方形的面积等于边长的平方求解即可； （2）设长方形长为，宽为，利用长方形的面积为求出，再与大正方形边长比较大小即可； （3）由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，分割这张纸片拼接成一个大正方形，则正方形的边长为，据此拼接即可． 【详解】解：（1）∵大正方形的面积是， ∴大正方形纸片的边长是，小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， 故答案为：，； （2）设长方形长为，宽为， 由题意可得， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴长方形长为，宽为， ∵， ∴， ∴长方形的长比大正方形的边长大， ∴不能裁剪出满足条件的长方形； （3）裁剪和拼接如下图： ∵由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，分割这张纸片拼接成一个大正方形， ∴大正方形面积为5， ∴所得大正方形的边长为． 【拓展训练四 平方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）观察：，，……据此规律，当时，的结果是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查探索规律，平方差公式、多项式乘以多项式，分类讨论等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．本题题目所给规律，得出，进而推出或，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴， 则， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．当代数式的值为时，则x的值为 ． 1   …… 1   1   …… 1  2   1   …… 1  3  3   1   …… 【答案】1或5/5或1 【分析】本题考查了多项式的乘法中的规律、利用平方根解方程，解题关键是掌握多项式的乘法计算方法． 先根据系数规律得，再令，得到，然后根据代数式的值为，求出x的值即可． 【详解】解：根据系数规律得， 令，则， 当代数式的值为时， 则， 所以， 解得：或， 故答案为：1或5． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)①，；②；； (2) 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，实数的运算，利用平方根的含义解方程，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答． （1）①根据表格信息可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，从而可得答案； ②根据①中规律解答即可； （2）把化为，可得，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：表格中；； ②∵，， ∴； ∵， ∴． （2）解： 移项得：， 是无理数， ，， 解得：，　　 ； ∴或． 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列四个数中，无理数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，解题关键是理解无理数的概念．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，为有理数，不符合题意； B、是整数，为有理数，不符合题意； C、为无理数，符合题意； D、是分数，为有理数，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海闵行·随堂练习）估计面积等于11的正方形的边长a的值（结果精确到）是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估计算术平方根的取值范围，根据，可得，再由正方形面积计算公式可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵面积等于11的正方形的边长为， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）符号代表一个代数式能使分式运算（或0）成立，则代表的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质化简，再根据平方根的定义直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选D； 【点睛】本题考查分式方程的运算及平方根的定义，解题的关键是化简得到． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）对于实数x，规定：，例如：，；给出下列结论： ①； ②若，则满足条件的非负整数有2个； ③若，则； ④若，则或．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，根据代数式求值，求不等式的整数解，利用平方根解方程，解绝对值方程，逐一进行判断即可． 【详解】解：①；正确 ②若，，，则满足条件的非负整数有0、1、2共3个；错误 ③若，则；或者；错误 ④若则，，，或者；正确； 以上结论正确的个数是2个； 故选B． 5．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子容积为立方厘米，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为40厘米，将瓶子倒放时，空余部分的高度为10厘米，则瓶子的底面半径为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】设瓶子的底面半径为，根据题意列出方程，求出方程的解即可求出所求． 【详解】解：解：设瓶子底面半径为， 根据题意得：， 得 解得：(负值舍去)， 故瓶子的底面半径为厘米， 故选：B． 【点睛】此题考查了算数平方根的实际应用，弄清题意，列出方程是解本题的关键． 6．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）的算术平方根为 ；比较大小： ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，实数比较大小，对于两个实数a、b，若满足，且 a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此可得第一空答案；利用作差法得到，比较出即可得到第二空答案． 【详解】解：， ∴的算术平方根为2； ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：2；． 7．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果一个正数b的平方根是和，则 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出a的值，进而再求出b的值即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， ， 故答案为：49． 8．（24-25八年级上·上海青浦·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负性的性质，负整数指数幂，解二元一次方程组，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，根据，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）定义：表示不小于的最小整数，例如：，，．如图所示，输入，则输出的值可能是 ．    【答案】0，1，2 【分析】根据x的不同取值进行讨论，由的取值逐渐向1靠近即可得出输出结果． 【详解】解：当输入时，，此时，执行“是”输出； 当输入时，，此时，执行“是”输出； 当输入时，，，此时，执行“否”，再次执行程序，输入为，输出为； 当输入时，，此时，执行是输出； 当输入，时，，若时，，此时，执行是输出；若，则，执行“否”，再次执行程序，输入为，输出为； 当输入时，则，为大于3的整数，执行“否”，继续执行开方取不小于的最小整数，最后总能得到，再次执行程序，输入为，输出为； 所以输出的y值可能是0，1，2． 故答案为：0，1，2． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质、程序代数式求值等知识点，理解算术平方根的性质是解答本题的关键． 10．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形（如图2），那么该大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 由题意得到大正方形的面积为6，再根据正方形的面积计算方法，求出正方形面积的算术平方根即可求解， 【详解】解：由题意可得，大正方形的面积为， ∴该大正方形的边长为， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·天津和平·阶段练习）求下列式子中x的取值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，把方程两边同时平方得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知的算术平方根是的立方根是是绝对值最小的数． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、平方根，掌握定义是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义列方程，可求出a，b，由绝对值大于等于0可知绝对值最小的数是0； （2）将（1）中结果代入，求出，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：因为的算术平方根是3， 所以， 解得； 因为的立方根是2， 所以， 解得； 因为c是绝对值最小的数， 所以； （2）解：16， 16的平方根是． 13．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知：小数部分是，小数部分是，求的相反数． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算的大小确定m、n的值，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：， ， ， 小数部分是， ， 小数部分是， ， ∴的相反数是． 14．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 15．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）（1）如图1是由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形，则拼成的正方形的面积是___________，边长是___________． （2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2）剪开并拼成正方形，请在如图3所示的方格图内画出这个正方形． （3）小王想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明他能否裁出这样的长方形纸片． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）小王不能裁出这样的长方形纸片 【分析】本题考查图形的拼剪，利用平方根解方程，实数的应用和实数比较大小等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据裁剪前后面积不变可得正方形的面积，根据“面积等于边长的平方”可得边长是； （2）判断出正方形的面积是10，推出边长是，画出边长为的正方形即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为，利用长方形面积公式可得方程，求解比较即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，正方形的面积是5， ∵边长， ∴边长是． 故答案为：； （2）正方形的面积是10，边长是，如图中，正方形即为所求； （3）设长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得：，即， 解得：或（舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为， ， ∴长方形纸片的长大于原正方形纸片的边长， ∴小王不能裁出这样的长方形纸片． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根与算术平方根重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 求一个数的平方根 题型四 求代数式的平方根 题型五 已知一个数的平方根，求这个数 题型六 利用平方根解方程 题型七 利用算术平方根的非负性解题 题型八 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 题型十 平方根的应用 题型十一 算术平方根的实际应用 拓展训练一 与平方根有关的化简问题 拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用 拓展训练三 平方根中的几何问题 拓展训练四 平方根的规律探究问题 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）下列各数没有平方根的是（   ） A． B．0 C．7 D．16 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）化简： ． 知识点二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）81的平方根是 ． 知识点三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若，则（  ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）根据平方根的意义，完成以下填空： ； ； ． 知识点四、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海闵行·随堂练习）的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）化简： ． 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·期末）下列各数的平方根只有一个的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）与是同一个正数的平方根，求a的值． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）的算术平方根是 ． 3．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）已知数列（，且为整数） （1）当时，数列中一共有 个有理数 （2）若数列中共有44个有理数，则的最大整数值为 ． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）若，的平方根是，求的算术平方根． 【经典例题三 求一个数的平方根】 【例3】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）9的平方根是（   ） A．9 B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）若实数x的平方等于5，则实数x的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期末）绝对值等于的数是 ；平方等于的数是 ． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【经典例题四 求代数式的平方根】 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）在实数范围内，若，则与的积的算术平方根是（    ） A．0 B．10 C． D． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知正数x满足，那么代数式 x的值是 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若实数满足，则的平方根是 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【经典例题五 已知一个数的平方根，求这个数】 【例5】（24-25八年级上·上海宝山·期末）若某数的平方根为和，则这个数是（   ） A． B． C．121 D．以上结论都不是 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）如果a+3和2a-15是某个非负数的平方根，那么这个数是（    ） A．49 B．441 C．7或21 D．49或441 2．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）一个数的平方等于81，这个数是 . 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知实数a，b，c满足，则 ． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知和是一个正数a的两个互不相等的平方根． (1)求a的值以及x的值． (2)求的立方根． 【经典例题六 利用平方根解方程】 【例6】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知是关于的完全平方式，则常数 ． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【经典例题七 利用算术平方根的非负性解题】 【例7】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 1．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如果，那么点在第_____象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）若，则 ． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）若，是实数，且，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【经典例题八 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例8】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子（式子中的“＋”，“－”依次相间）的值为（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）的小数部分为a，的整数部分为b，则 ． 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次， ，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【经典例题九 与算术平方根有关的规律探索题】 【例9】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知：，，请根据以上规律得到的结果是（   ） A．0.071 B．0.224 C．0.0017 D．0.0224 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，将一组数按下面的方法进行排列，如第1排第4个是，第2排第3个是，求第8排第3个是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知，，那么 . 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【经典例题十 平方根的应用】 【例10】（2025·上海闵行·模拟预测）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）有一块面积为的长方形土地，若它的长与宽的比为，则宽在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）一个正数的两个平方根中，若正的平方根为，负的平方根为，则 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个正数． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【经典例题十一 算术平方根的实际应用】 【例11】（2025八年级上·上海长宁·专题练习）物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知一块面积为的正方形纸片，甲乙两名同学想沿着边的方向裁出一块长方形纸片，设计方案如下；甲方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形；乙方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形．对于这两个方案的判断，正确的是（     ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是 ． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 4．（24-25八年级上·上海虹口·期末）【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 【拓展训练一 与平方根有关的化简问题】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）化简的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）化简求值① ；② ；③的平方根 ． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）根据条件，计算求值化简： (1)； (2)已知与是正数a的两个平方根，求a的值． 【拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用】 1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知实数满足，则 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知为实数，且满足，求的值． 【拓展训练三 平方根中的几何问题】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内，已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中的长为 ．    3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）（1）如图1，小明同学用两个大小相同的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．大正方形的面积是，则大正方形纸片的边长是______，小正方形纸片的边长是______； （2）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长与宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； （3）如图2，现有一张由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，请你尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，不重叠，且无空隙．如果可以，请在图2左边的纸片上用虚线画出分割方法，并在右边的网格（网格中的小正方形边长都为1）中用实线画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点（即虚线的交点）上，然后求出所得大正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 【拓展训练四 平方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）观察：，，……据此规律，当时，的结果是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．当代数式的值为时，则x的值为 ． 1   …… 1   1   …… 1  2   1   …… 1  3  3   1   …… 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列四个数中，无理数是（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海闵行·随堂练习）估计面积等于11的正方形的边长a的值（结果精确到）是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）符号代表一个代数式能使分式运算（或0）成立，则代表的代数式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）对于实数x，规定：，例如：，；给出下列结论： ①； ②若，则满足条件的非负整数有2个； ③若，则； ④若，则或．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子容积为立方厘米，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为40厘米，将瓶子倒放时，空余部分的高度为10厘米，则瓶子的底面半径为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 6．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）的算术平方根为 ；比较大小： ． 7．（24-25八年级上·上海静安·期末）如果一个正数b的平方根是和，则 ． 8．（24-25八年级上·上海青浦·期中）若，则 ． 9．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）定义：表示不小于的最小整数，例如：，，．如图所示，输入，则输出的值可能是 ．    10．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形（如图2），那么该大正方形的边长为 ． 11．（24-25八年级上·天津和平·阶段练习）求下列式子中x的取值． 12．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知的算术平方根是的立方根是是绝对值最小的数． (1)求的值； (2)求的平方根． 13．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知：小数部分是，小数部分是，求的相反数． 14．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 15．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）（1）如图1是由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形，则拼成的正方形的面积是___________，边长是___________． （2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2）剪开并拼成正方形，请在如图3所示的方格图内画出这个正方形． （3）小王想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明他能否裁出这样的长方形纸片． 学科网（北京）股份有限公司 $$