专题 2.7 有理数的运算（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.7 有理数的运算 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 本章学习流程和知识结构 1 知识点（一）运用有理数的加减法则进行运算 2 【题型1】有理数加减法混合运算 2 知识点（二）运用有理数加法运算律进行简化运算 2 【题型2】 运用加法运算律简化计算 2 知识点（三）运用有理数乘除法进行简单混合运算 3 【题型3】 运用乘除法进行简单混合运算 3 知识点（四）运用乘法运算律简化运算。 4 【题型4】 运用乘法运算律简化运算 4 知识点（五）乘方的意义及乘方运算 5 【题型5】 乘方的意义和乘方运算 5 知识点（六）科学记数法 5 【题型6】 运用科学记数法表示较大的数 6 知识点（七）有理数加、减、乘、除、乘方混合运算 6 【题型7】 有理数加减乘除乘方混合运算 6 知识点（八）运用有理数的运算解决简单问题 6 【题型8】用有理数运算解决简单问题 6 二．同步练习 7 【基础巩固（22题）】 8 【能力提升（24题）】 11 【中考真题9题】 15 一．知识梳理与题型分类精析 本章学习流程和知识结构 知识点（一）运用有理数的加减法则进行运算 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数．互为相反数相加，和为0. 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数，即有： 【题型1】有理数加减法混合运算 【例题1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： （1）； （2）． 【变式3】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： ． 知识点（二）运用有理数加法运算律进行简化运算 有理数加法运算律： 1.加法运算律：两个数相加，交换加数的位置，和不变； 符号语言：. 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； 符号语言：. 【题型2】 运用加法运算律简化计算 【例题1】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2024七年级上·云南·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式3】（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）找规律计算： ． 知识点（三）运用有理数乘除法进行简单混合运算 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，积为零。 有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 【题型3】 运用乘除法进行简单混合运算 【例题3】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南·单元测试）计算： （1）； （2）． 【变式3】（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 知识点（四）运用乘法运算律简化运算。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即：。 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【题型4】 运用乘法运算律简化运算 【例题4】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）利用运算律简便计算∶ （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级下·湖南·开学考试）下面各题，怎样简便就怎样算． （1） （2） 【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 【变式3】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： （1）上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） （2）在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） （3）请你进行简便计算：． 知识点（五）乘方的意义及乘方运算 一般地，在数学上我们把个相同的因数相乘的积记作，即 这种求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫底数，叫指数，读作“的次方”或“的次幂”。 一个数可以看作这个数的1次方，1可以省略不写，二次方也叫平方，三次方也叫立方。 【题型5】 乘方的意义和乘方运算 【例题5】（24-25七年级上·河北邢台·期末）计算：． 有下列解答过程： （1）请写出正确的解答顺序（用序号表示）． （2）变式训练． 计算：． 【变式1】（贵州省遵义市校联考2024-2025学年七年级上学期月考（三）数学试题）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【变式2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）若，则= ． 知识点（六）科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，（），这种记数法叫做科学记数法。 【要点说明】熟悉：（1）1万=；（2）1亿=。 【题型6】 运用科学记数法表示较大的数 【例题6】（24-25九年级下·安徽宣城·开学考试）2024年政府工作报告中指出，截至2023年底，中国新能源汽车保有量为2041万辆，其中2041万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东日照·二模）电影《哪吒之魔童闹海》被央视视为兼具文化深度与商业价值的“神兽级”作品，截至4月29日零点，总票房破亿，票价约为48元／张，累计观影人次约为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）2024年我国总量超130万亿元，将“130万亿”用科学记数法表示为 ． 知识点（七）有理数加、减、乘、除、乘方混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 【题型7】 有理数加减乘除乘方混合运算 【例题7】（24-25七年级下·内蒙古通辽·开学考试）计算： （1） （2）． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算 （1） （2） 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·期末）计算： （1） （2） 知识点（八）运用有理数的运算解决简单问题 【题型8】用有理数运算解决简单问题 【例题8】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）章明同学上一周内晨跑的时长如表所示（单位：分钟，以分钟为基准，超过分钟的部分记为“”，不足分钟的部分记为“”）： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 （1）他上一周内晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑了几分钟？ （2）若他晨跑的平均速度为每分钟千米，这七天他共跑了多少千米？ 【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·期中）已知：，点、在数轴上表示的数分别是、．完成下列问题： （1）请在数轴上标出点和点； （2）与点的距离为5的点表示的数是______； （3）若此数轴上，两点之间的距离为2024（点在点的左侧），若将数轴折叠，当点与点重合时，点与点也恰好重合，则，两点表示的数分别是：______，：______； （4）若数轴上，两点间的距离为（点在点左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使点与点重合，则，两点表示的数分别为：______，：______；（用含，的式子表示这两个数） 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）为响应国家创业号召，小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人？ （2）若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面元，则平均每天的销售额是多少？ （3）拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，则拉面师傅拉完次后有______根面． 二．同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）据网络平台数据，截至3月7日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售）突破146亿，位居全球影史票房榜第七名．将146亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·三模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）请指出下面的计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）明明买一个文具盒，经与店主讨价还价后，只付了4元，比原价便宜1元．这个文具盒打（    ）卖给了明明． A．二五折 B．七五折 C．八折 D．二折 5．（24-25七年级下·江苏徐州·开学考试）一只青蛙从某点出发在下面的直线上来回跳跃，假定向右跳的格数记为正数，向左跳的格数记为负数．跳过的格数依次为 ，最终落在“3”上，那么青蛙最初在直线上（    ）的位置． A． B．0 C．1 D．2 6．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（   ）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 8．（2025·浙江杭州·二模）如图，在数轴上点表示数，点表示数1，O是原点，点表示的数是．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（2025·福建厦门·二模）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）若，，，则的绝对值是 ． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，，3中，两个数的积的最大值是 ． 13．（24-25六年级上·山东泰安·期中）的值是 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）无锡经济开发区2024年秋学期新开学校8所，新校总投资26.5亿元，总建筑面积36.6万平方米，新增14880个学位．将数据14880用四舍五入法精确到1000，所得近似数用科学记数法表示为 ． 15．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是：，那么将二进制数转换成十进制数是 ． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 17．（24-25七年级上·陕西西安·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一（从右往左进位），用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，该孩子自出生后的天数是 ． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）丁丁在电脑中编写了一个运算程序，运算法则如下图，按照这个运算法则，当在电脑中输入4时，显示结果是 ；当显示结果是8时，输入的数是 ． 三、解答题 19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 20．（24-25七年级上·重庆·期末）计算： （1）； （2）． 21．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）如图中的不完整数轴的单位长度为1，点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c， （1）若点B是原点，则 ； （2）若点A，B表示的数互为相反数，求的值； （3）若点C表示的数的倒数是它本身，且，求p的值． 22．（24-25七年级上·四川眉山·期末）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．仁寿县某乡镇把枇杷放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减．下表是该乡镇第一周枇杷的销售情况（超过计划销售量的千克数记为正数，不足计划销售量的千克数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 枇杷销售情况 （单位：千克） （1）该乡镇第一周销售枇杷最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）该乡镇第一周销售枇杷的总量是多少千克？ （3）该乡镇按8元/千克销售枇杷，平均运费为3元/千克，则第一周销售枇杷一共收入多少元（收入销售额运费），计算结果用科学记数法表示． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（2025·四川成都·三模）锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·开学考试）如图数轴上两点表示的数分别为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在以下各数中，负数的个数是（    ） 、、、、 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）一个小数，如果小数点向右移动1位，比原数多9.45，原数是（   ） A．94.5 B．1.05 C．10.5 D．0.945 5．（24-25七年级下·河南驻马店·开学考试）小玉做以下4道题：      其中正确的有（   ） A．道 B．道 C．道 D．道 6．（2025·河北唐山·三模）如图，实数，，在数轴上的对应点分别是，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列各说法中，正确的个数有（   ） ①若，则x一定是负数； ②平方等于它本身的数只有1和0； ③除以一个数，等于乘这个数的倒数； ④若，则； ⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 12．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）若，且，都是有理数，则 ． 13．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）对任意有理数、定义新运算“”如下：．则 ． 14．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 15．（24-25七年级上·全国·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 16．（22-23六年级上·山东烟台·期末）计算： ． 17．（24-25七年级上·河南南阳·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 三、解答题 19．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 20．（24-25七年级下·广东江门·开学考试）计算： （1）； （2）； 21．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． （1）； （2）． 22．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算 （1） （2） 23．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 （1）20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． （2）每筐白菜的平均重量是多少？ （3）若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 24．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，数轴上点表示的倒数，点表示的绝对值，点表示． （1）写出，，表示的数，并在数轴上描出，，三个点； （2）若把数轴的原点取在点处，、、每两点之间的距离不变，求出此时点和表示的数． 【中考真题9题】 一、单选题 1．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 5．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 7．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 三、解答题 8．（2024·广西·中考真题）计算： 9．（2023·广西·中考真题）计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.7 有理数的运算 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 本章学习流程和知识结构 1 知识点（一）运用有理数的加减法则进行运算 2 【题型1】有理数加减法混合运算 2 知识点（二）运用有理数加法运算律进行简化运算 4 【题型2】 运用加法运算律简化计算 4 知识点（三）运用有理数乘除法进行简单混合运算 7 【题型3】 运用乘除法进行简单混合运算 7 知识点（四）运用乘法运算律简化运算。 9 【题型4】 运用乘法运算律简化运算 9 知识点（五）乘方的意义及乘方运算 12 【题型5】 乘方的意义和乘方运算 12 知识点（六）科学记数法 14 【题型6】 运用科学记数法表示较大的数 14 知识点（七）有理数加、减、乘、除、乘方混合运算 15 【题型7】 有理数加减乘除乘方混合运算 15 知识点（八）运用有理数的运算解决简单问题 17 【题型8】用有理数运算解决简单问题 17 二．同步练习 20 【基础巩固（22题）】 20 【能力提升（24题）】 31 【中考真题9题】 43 一．知识梳理与题型分类精析 本章学习流程和知识结构 知识点（一）运用有理数的加减法则进行运算 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数．互为相反数相加，和为0. 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数，即有： 【题型1】有理数加减法混合运算 【例题1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算． （1）先化简符号，然后再进行加减运算． （2）先化简符号，然后分数与分数，小数与整数相加减即可． 解：（1）解： （2）解： 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设a为正数，b，c为负数，则原式； ④一个负数，两个正数，假设a为负数，b，c为正数，则原式； 综上，的值为或， 故选：D 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）20；（2）2 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握去括号法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据去括号，有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）去括号，根据加法交换律，结合律，有理数的混合运算法则即可求解． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，绝对值，利用有理数的加减法即可解答，熟练进行计算是解题的关键． 解：， ， ， ， 故答案为：． 知识点（二）运用有理数加法运算律进行简化运算 有理数加法运算律： 1.加法运算律：两个数相加，交换加数的位置，和不变； 符号语言：. 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； 符号语言：. 【题型2】 运用加法运算律简化计算 【例题1】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）先计算绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把原式变形为，再计算加减法即可； （3）先把原式变形为，再计算加减法即可； （4）先把原式变形为，再计算加减法即可． 解：（1）解； ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（2024七年级上·云南·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握运算律简便运算是解答的关键．先将减法化为加法，再利用有理数加法交换律和结合律对甲、乙两人的算式求解判断即可． 解： ，故甲计算错误； ，故乙计算正确， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可； （2）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可． 解：（1）解： ； （2）解∶ ． 【变式3】（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）找规律计算： ． 【答案】 【分析】先将原式转化为，再进一步变形为，然后计算即可解答． 解： ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了有理数的加法，将裂项折成是解答本题的关键． 知识点（三）运用有理数乘除法进行简单混合运算 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，积为零。 有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 【题型3】 运用乘除法进行简单混合运算 【例题3】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可； （2）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可． 解：（1）解： （2） 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可． 本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 解： A中、，不相同，故选项不符合题意； B中、相同，故选项符合题意： C中、，不相同，故选项不符合题意； D中、，不相同，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·河南·单元测试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算顺， （1）先去绝对值和乘法运算，最后算加减即可得解； （2）将除法变为乘法，再根据乘法计算即可求解； 熟练掌握其运算法则和运算顺序是解决此题的关键． 解：（1） ； （2） ． 【变式3】（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 解：原式， ， ， 故答案为：． 知识点（四）运用乘法运算律简化运算。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即：。 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【题型4】 运用乘法运算律简化运算 【例题4】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）利用运算律简便计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）利用有理数的加法运算律计算即可； （）先把除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·湖南·开学考试）下面各题，怎样简便就怎样算． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的运算． （1）先将除法换为乘法，再根据乘法结合律计算即可； （2）根据有理数的运算法则计算即可． 解：（1）解： （2）解： 【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及乘法分配律，正确掌握有理数乘法运算法则是关键． （1）先将化为，再利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可． 解：（1）解：； （2）； （3）． 【变式3】（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： （1）上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） （2）在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） （3）请你进行简便计算：． 【答案】（1）①；（2）③；（3） 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 解：（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 知识点（五）乘方的意义及乘方运算 一般地，在数学上我们把个相同的因数相乘的积记作，即 这种求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫底数，叫指数，读作“的次方”或“的次幂”。 一个数可以看作这个数的1次方，1可以省略不写，二次方也叫平方，三次方也叫立方。 【题型5】 乘方的意义和乘方运算 【例题5】（24-25七年级上·河北邢台·期末）计算：． 有下列解答过程： （1）请写出正确的解答顺序（用序号表示）． （2）变式训练． 计算：． 【答案】（1）④③①②；（2） 【分析】本题主要考查了混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则． （1）先算乘方，绝对值，除法，最后算加减运算即可； （2）先算乘方，绝对值，除法，最后算加减运算即可． 解：（1）解：（1）∵ ， ∴正确的解答顺序为：④③①②； （2） ． 【变式1】（贵州省遵义市校联考2024-2025学年七年级上学期月考（三）数学试题）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第4次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 【变式2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质与乘方的运算，熟练掌握非负数的性质是解决本题的关键 ． 根据非负数的性质可得，，求出x和y的值，再由乘方的运算求解即可． 解：∵， ∴，， 解得，， ∴则． 故答案为： ． 知识点（六）科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，（），这种记数法叫做科学记数法。 【要点说明】熟悉：（1）1万=；（2）1亿=。 【题型6】 运用科学记数法表示较大的数 【例题6】（24-25九年级下·安徽宣城·开学考试）2024年政府工作报告中指出，截至2023年底，中国新能源汽车保有量为2041万辆，其中2041万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 解：万． 故选：D． 【变式1】（2025·山东日照·二模）电影《哪吒之魔童闹海》被央视视为兼具文化深度与商业价值的“神兽级”作品，截至4月29日零点，总票房破亿，票价约为48元／张，累计观影人次约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 解：亿用科学记数法表示为元， ， 累计观影人次约为， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）2024年我国总量超130万亿元，将“130万亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，将“130万亿”用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 解：130万亿． 故答案为：． 知识点（七）有理数加、减、乘、除、乘方混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 【题型7】 有理数加减乘除乘方混合运算 【例题7】（24-25七年级下·内蒙古通辽·开学考试）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）先算乘方，绝对值，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，包括有理数的乘方，乘除，绝对值等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行乘方运算，再进行乘除，最后进行加减即可； （2）先进行乘方，除法和绝对值运算，再进行加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． （1）先算乘方，再算括号里的，最后算乘法即可； （1）先算乘方，再算括号里的，最后算乘法即可． 解：（1）解： ； （2） ． 知识点（八）运用有理数的运算解决简单问题 【题型8】用有理数运算解决简单问题 【例题8】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）章明同学上一周内晨跑的时长如表所示（单位：分钟，以分钟为基准，超过分钟的部分记为“”，不足分钟的部分记为“”）： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 （1）他上一周内晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑了几分钟？ （2）若他晨跑的平均速度为每分钟千米，这七天他共跑了多少千米？ 【答案】（1）分钟；（2）千米 【分析】（）用记录值的最大值减去记录值的最小值即可求解； （）列式求出七天共跑的时长，再乘以平均速度即可求解； 本题考查了有理数减法的实际应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 解：（1）解：分钟， 答：他上一周内晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑了分钟； （2）解：分钟， 千米， 答：这七天他共跑了千米． 【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·期中）已知：，点、在数轴上表示的数分别是、．完成下列问题： （1）请在数轴上标出点和点； （2）与点的距离为5的点表示的数是______； （3）若此数轴上，两点之间的距离为2024（点在点的左侧），若将数轴折叠，当点与点重合时，点与点也恰好重合，则，两点表示的数分别是：______，：______； （4）若数轴上，两点间的距离为（点在点左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使点与点重合，则，两点表示的数分别为：______，：______；（用含，的式子表示这两个数） 【答案】（1）见分析；（2）6或；（3），1011；（4）， 【分析】本题考查了数轴以及数轴上点之间的距离计算公式，中点计算等知识点，熟练掌握点之间的距离公式是解题关键． （1）先利用非负数的性质求出a，b，再在数轴上标出点和点； （2）分两种情况求解即可； （3）根据点A与点B重合，先求出折点表示的数为，再根据两点间的距离求解即可； （4）由题意得到表示数n的点是线段的中点，且到E，F两点距离为，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， 如图， （2）解：当该点在点A的右边时：， 当该点在点A的左边时：， 故答案为：6或； （3）解：∵点A表示的数为1，点B表示的数为，将数轴折叠，使点A与点B重合， ∴折点表示的数为：， ∵， ∴点C表示的数是，点D表示的数是． 故答案为：，1011； （4）解：∵数轴上E，F两点间的距离为m（点E在点F左侧），表示数n的点到E，F两点的距离相等， ∴表示数n的点是线段的中点， ∴点E表示的数为：，点F表示的数为：， 故答案为：，． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）为响应国家创业号召，小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人？ （2）若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面元，则平均每天的销售额是多少？ （3）拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，则拉面师傅拉完次后有______根面． 【答案】（1）人；（2）元；（3） 【分析】本题考查正数与负数、有理数运算、有理数的乘方的应用， （1）根据正数、负数的定义进行计算即可； （2）根据总价=单价×数量进行计算即可； （3）根据乘方的定义进行计算即可； 掌握正数与负数的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的关键． 解：（1）解：∵， ∴这一周人数最多的一天是星期一，人数为（人）， 这一周人数最少的一天是星期四，人数为（人）， ∴（人）， ∴这一周人数最多的一天比人数最少的一天多人； （2）这一周的人流量为：（人）， ∴（元）， ∴平均每天的销售额为元； （3）∵拉伸次，得到的面条数为（根）， 拉伸次，得到的面条数为（根）， 拉伸次，得到的面条数为（根）， … 依此类推，拉伸次，得到的面条数为（根）， ∴拉面师傅拉完次后有根． 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）据网络平台数据，截至3月7日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售）突破146亿，位居全球影史票房榜第七名．将146亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 解：亿， 故选：C． 2．（2025·天津南开·三模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握加法运算法则是关键；根据有理数加法法则计算即可． 解：； 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）请指出下面的计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：由计算过程可得，计算错在第②一步，在添加括号时，没有改变符号， 故选：B． 4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）明明买一个文具盒，经与店主讨价还价后，只付了4元，比原价便宜1元．这个文具盒打（    ）卖给了明明． A．二五折 B．七五折 C．八折 D．二折 【答案】C 【分析】本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位“1” ．单位“1”的量为除数用现价加便宜的价格求出原价，然后用实际付的价格除以原价即可． 解：原价为： （元）， 计算打折为： ， 即打八折． 故选：C 5．（24-25七年级下·江苏徐州·开学考试）一只青蛙从某点出发在下面的直线上来回跳跃，假定向右跳的格数记为正数，向左跳的格数记为负数．跳过的格数依次为 ，最终落在“3”上，那么青蛙最初在直线上（    ）的位置． A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，根据题意，逆推，列出算式进行计算即可． 解：； 故选C． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（   ）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理数除法运算，根据《九章算术》中的“经分术”，分数除法需先将两数通分，再用分子相除，需判断选项中哪一方法符合此步骤 解：《九章算术》的“经分术”要求将分数除法转化为同分母分数后，直接分子相除， 故选：D． 7．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 解：第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 8．（2025·浙江杭州·二模）如图，在数轴上点表示数，点表示数1，O是原点，点表示的数是．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，数轴点之间的距离，根据各个选项给出的的取值范围，得到Q所表示的数的取值范围，即可解答，熟知数轴上的点的距离计算是解题的关键． 解：A、当时， Q所表示的数为，，故A正确，符合题意； B、当时，Q所表示的数为，此时，故B不正确，不符合题意； C、当时，Q所表示的数为，此时，故C不正确，不符合题意； D、若，Q所表示的数为，此时，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 9．（2025·福建厦门·二模）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的应用，把水库连续三天的水位变化情况相加即可． 解：这三天水位上涨的高度可表示为， 故选：C 10．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤． 解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意； 选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意； 选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法； 故选：D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）若，，，则的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数加法，首先依据绝对值的定义求得、，结合条件，进行分两种情况计算即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 解：∵，， ∴；； ∵， ∴当，时，； 当，时，； 故答案为：． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，，3中，两个数的积的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的乘法，根据两个有理数相乘的法则计算，再找出积最大的即可． 解：∵， ∴最大的两个数是3和0，；最小的两个数是和，， ∵， ∴两个数的积的最大值是2 故答案为：2． 13．（24-25六年级上·山东泰安·期中）的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先计算乘方，然后再计算减法即可． 解：． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）无锡经济开发区2024年秋学期新开学校8所，新校总投资26.5亿元，总建筑面积36.6万平方米，新增14880个学位．将数据14880用四舍五入法精确到1000，所得近似数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了近似数和科学记数法等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．首先将原数用四舍五入法精确到1000可得15000，再根据科学记数法的表示形式即可获得答案． 解：14880用四舍五入法精确到1000，所得近似数用科学记数法表示， 可有． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是：，那么将二进制数转换成十进制数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算的应用，正确理解二进制数转换成十进制的方法是解题关键．根据二进制数转换成十进制的方法列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得． 解：由题意得：将二进制数转换成十进制数是 ． 故答案为：13． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 解：，， 则； 故答案为：． 17．（24-25七年级上·陕西西安·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一（从右往左进位），用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，该孩子自出生后的天数是 ． 【答案】501 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据满七进一（从右往左进位）列式计算即可． 解：． 故答案为：501． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）丁丁在电脑中编写了一个运算程序，运算法则如下图，按照这个运算法则，当在电脑中输入4时，显示结果是 ；当显示结果是8时，输入的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序运算，质数和合数，利用质数和合数，根据程序运算解答即可． 解：∵是合数， ∴当输入4时，显示结果是， 当输入的是质数时，，解得； 当输入的是合数时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：，． 三、解答题 19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值，有理数的加减法，正确计算是解题的关键． （1）运用加法结合律进行运算即可； （2）先计算绝对值，再进行加减运算． 解：（1）解：， ， ， ； （2）， 20．（24-25七年级上·重庆·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则，结合乘法分配律，进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 21．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）如图中的不完整数轴的单位长度为1，点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c， （1）若点B是原点，则 ； （2）若点A，B表示的数互为相反数，求的值； （3）若点C表示的数的倒数是它本身，且，求p的值． 【答案】（1）；（2）；（3）的值为或 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，倒数，以及有理数的运算，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据点A，B表示的数互为相反数确定原点位置，据此分别确定a、b，c、d，再计算即可； （3）根据倒数是它本身的数可得点C表示的数为，分两种情况求出d，再计算即可． 解：（1）解：由数轴可得若点B是原点，则； 故答案为：； （2）解：∵点A，B表示的数互为相反数， ∴原点为点，如下图所示： ，，，， ； （3）解：点C表示的数的倒数是它本身， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值为或 22．（24-25七年级上·四川眉山·期末）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．仁寿县某乡镇把枇杷放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减．下表是该乡镇第一周枇杷的销售情况（超过计划销售量的千克数记为正数，不足计划销售量的千克数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 枇杷销售情况 （单位：千克） （1）该乡镇第一周销售枇杷最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）该乡镇第一周销售枇杷的总量是多少千克？ （3）该乡镇按8元/千克销售枇杷，平均运费为3元/千克，则第一周销售枇杷一共收入多少元（收入销售额运费），计算结果用科学记数法表示． 【答案】（1）；（2）；（3）第一周销售枇杷一共收入元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据表格列出，即可求解； （2）根据表格列出，即可求解； （3）列出即可求解． 解：（1）解：由题意得 （）， 答：乡镇第一周销售枇杷最多的一天比最少的一天多销售千克； （2）解：由题意得 ， 答：乡镇第一周销售枇杷的总量是千克； （3）解：由题意得 （元）， （元） 答：第一周销售枇杷一共收入元． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（2025·四川成都·三模）锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 由即可得到答案． 解：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·开学考试）如图数轴上两点表示的数分别为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负．根据点、两点表示的数，得出，，，，再逐项分析即可求解． 解：根据数轴可知：，， 即，， ∴，故选项A符合题意； ∴故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在以下各数中，负数的个数是（    ） 、、、、 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查负数的定义，先化简各数，然后根据小于0的数是负数解答即可． 解：，是正数； ，是负数； 既不是正数，也不是负数； ，是负数； 是负数； ∴负数有个， 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）一个小数，如果小数点向右移动1位，比原数多9.45，原数是（   ） A．94.5 B．1.05 C．10.5 D．0.945 【答案】B 【分析】本题考查了小数点的移动规律，掌握小数点向右移动1位，则得到的数是原来的10倍是解题的关键．根据题意可知，小数点向右移动1位，则得到的数是原来的10倍，用除以即可求出原数是多少． 解：． 故选：B． 5．（24-25七年级下·河南驻马店·开学考试）小玉做以下4道题：      其中正确的有（   ） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，绝对值，根据有理数乘方，有理数减法，除法，加法运算逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：，故正确； ，故错误； ，故正确； ，故错误； 综上可知：正确，共道， 故选：B． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，实数，，在数轴上的对应点分别是，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，相反数，掌握数轴，相反数的性质是解题的关键．根据数轴先得出，根据有理数加法的法则和数轴，可对选项分析作出判断． 解：，互为相反数， ， 由数轴可得：， ，，，，故A、C、D错误，B正确， 故选：B． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 根据所给数值转换机列式计算即可， 解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得∶ ， 第二次：把代入运算程序得∶ ， ∴输出的结果y为7， 故选：A． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两数比较大小及有理数运算，解题关键是正确得出a，b的信息并熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则. 先观察数轴可知：，根据得，然后然后对四个选项逐一分析即可. 解：观察数轴可知：， ∵， ∴， A．，，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； D．，所以，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．根据题目信息，设，求出，然后错位相减计算即可得解． 解：设，则， ， ， ， 故选：C． 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列各说法中，正确的个数有（   ） ①若，则x一定是负数； ②平方等于它本身的数只有1和0； ③除以一个数，等于乘这个数的倒数； ④若，则； ⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的运算，熟练掌握概念和性质是解题的关键 根据绝对值、平方、除法等相关数学概念和运算法则，对每个说法逐一进行分析判断． 解：①根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．当时，可能是负数，此时（例如，）；也可能是，因为．所以是负数或，即非正数，故原说法错误； ②对于大于1的正数，结果比原数大， 1的平方等于它本身，负数的平方是正数，和原来的负数不相等，0的平方0，等于它本身．该说法正确． ③根据有理数的除法法则，除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数，即．原说法没有强调除数不为这个条件，因为没有倒数，所以该说法错误． ④根据绝对值的定义，表示在数轴上所对应点到原点的距离，表示在数轴上所对应点到原点的距离．若，说明和到原点的距离相等，那么和相等或者互为相反数，即．例如，此时 ；，此时 ． 所以该说法正确． ⑤根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，积仍为．当时，有两种情况：且，此时（例如，，）； 且，此时（例如，，）．所以原说法错误． 综上，说法②和④正确，正确的个数是个， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的减法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 解：， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）若，且，都是有理数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，有理数的乘方，求出、的值是解决问题的关键． 根据偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，求出、的值再代入计算即可． 解：因为， 所以，， 即，， 所以， 故答案为：9． 13．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）对任意有理数、定义新运算“”如下：．则 ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的新定义运算，解题关键是依据新运算规则准确代入有理数进行计算．根据新运算的定义将，代入到中，按照先计算乘方，再计算减法的顺序进行计算． 解：根据题意得： 将，代入 故答案为：1． 14．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 解： ． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·全国·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数乘方运算，由，可判断a，b，c，必有两正一负，据此化简绝对值，求出，代入计算，即可求解；能化简绝对值求出是解题的关键． 解：，， a，b，c，必有两正一负， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（22-23六年级上·山东烟台·期末）计算： ． 【答案】 【分析】按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．注意 等于而不是1． 解： ． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·河南南阳·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天． 【答案】510 【分析】本题考查了有理数乘方的混合运算，解题关键是理解七进制数的表示方法； 根据图中的数学列式计算类比于十进制，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数即可解答． 解：因为，七进制是满七进一， 所以，从右到左依次排列的绳子，分别代表绳结数乘以，，，的天数， 所以孩子自出生后的天数是：． 故答案为：510． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【答案】 82 45 88 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 三、解答题 19．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 【答案】的值为或 【分析】此题考查绝对值的计算，有理数加减法计算法则，正确理解绝对值的计算是解题的关键，根据绝对值定义得到a，b的值，代入计算加减法即可． 解：∵，， ∴， ∴或， ∵, ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 20．（24-25七年级下·广东江门·开学考试）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）1700；（2）7 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数乘法的分配律进行计算即可得； （2）先计算有理数的乘方和括号内的，再计算乘除法，最后计算加法即可得． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2）2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 22．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，包括有理数的乘方，乘除，绝对值等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行乘方运算，再进行乘除，最后进行加减即可； （2）先进行乘方，除法和绝对值运算，再进行加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 23．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 （1）20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． （2）每筐白菜的平均重量是多少？ （3）若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】（1）；（2）千克；（3）元 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据最大数减去最小数，可得最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克； （2）根据题意把20筐白菜的重量与标准质量的差加起来求出平均偏差，再加上标准重即可求解； （3）根据（2）中数据求出的20筐白菜的总重量乘以每千克的售价求解即可． 解：（1）解：（千克）， 最重的一筐比最轻的一筐要重千克； （2）解： 每筐白菜的平均重量（千克） 每筐白菜的平均重量是千克； （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖元． 24．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，数轴上点表示的倒数，点表示的绝对值，点表示． （1）写出，，表示的数，并在数轴上描出，，三个点； （2）若把数轴的原点取在点处，、、每两点之间的距离不变，求出此时点和表示的数． 【答案】（1）表示的数是，表示的数是，表示的数是，见分析；（2）点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查了倒数、绝对值、乘方、数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先利用倒数、绝对值、乘方的定义分别求出表示的数，再表示在数轴上即可得； （2）先计算之间的距离，之间的距离，再根据数轴的性质求解即可得． 解：（1）解：的倒数是，的绝对值是3，， ∵数轴上点表示的倒数，点表示的绝对值，点表示， ∴表示的数是，表示的数是，表示的数是． 在数轴上描出，，三个点如下： ． （2）解：两点之间的距离为， 两点之间的距离为， ∵把数轴的原点取在点处，、、每两点之间的距离不变， ∴此时点表示的数为，点表示的数为． 【中考真题9题】 一、单选题 1．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 解： 故选：B． 2．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 3．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整数的因数分解，搞清完全数的定义是本题的关键．将每个数进行分解因数，然后根据完全数的定义进行判断即可 解： A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选∶C． 5．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 二、填空题 6．（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 解：千米/秒米/秒米/秒， 故答案为：． 7．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 解：根据定义，得， 故答案为：8． 三、解答题 8．（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 解：原式 ． 9．（2023·广西·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可． 解： ． 【点拨】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$