2.1不等式与不等式性质学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本文围绕不等关系与不等式展开，先介绍基本事实与重要不等式，后阐述等式与不等式性质。承接数学基础运算，为后续深入学习不等式应用奠基。通过经典例题、变式探究等环节，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 本设计创新点在于紧密联系生活实例，采用讲练结合的特色教法。从学生层面看，能提升其解决实际问题能力；从教师层面看，提供了清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破教学难点，增强学生对不等式知识的理解与运用。

第1课时 不等关系与不等式 【课前预习】 一．基本事实： 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔ ；a＝b⇔ ；a<b⇔ . 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小. 注意：符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． 思考1：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？ 思考2：若a>b，且ab>0，则与的大小关系如何？ 二．重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 【自主学习】 1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.(　　) (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) (3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　) 2.某购买甲产品x件，乙产品y件，甲、乙两种产品总量至少需要120个，则x，y应满足的不等关系是(　　) A．x＋y>120　　　 B．x＋y<120 C．x＋y≥120 D．x＋y≤120 【经典例题】 题型一 用不等式(组)表示不等关系 例1 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ 点睛：根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式． 【变式探究】1 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________． 题型二 数(式)的大小比较 点拨：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 1.作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． 2.变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 例2 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 【变式探究】2 已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小． 【当堂检测】 1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400 2.(多选)下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C.某变量x至少为a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≤a” 3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M＝N C.M<N D.与x有关 4.武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________． 5.若实数a>b，则a2－ab____ba－b2.(填“>”或“<”) 6.设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 2.1 等式性质与不等式性质 第2课时　等式性质与不等式性质 【课前预习】 一．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 二．不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b      a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c      b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ _______ a>b，c<0⇒ _______ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒ ___________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ ________ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an     bn(n∈N，n≥2) 同正 思考1：若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 思考2：若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 【自主学习】 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝b是＝成立的充要条件．(　　) (2) a>b ⇒ ac2>bc2．(　　) (3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.( ) 2．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．ad>bc B．ac>bd C．a＋c>b＋d D．a－c>b－d 【经典例题】 题型一 利用不等式的性质证明简单的不等式 例1 已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 【变式探究】1 证明不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 题型二 利用不等式的性质求取值范围 例2 已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求下列范围. (1)x＋y; (2)x－3y; (3)． 【变式探究】2 已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围． 【当堂检测】 1. (多选)若<<0，则下面 四个不等式成立的有（ ） A.|a|>|b| B.a<b C.a＋b<ab D.a3>b3 2.若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 3.若8<x<10，2<y<4，则的取值范围为________. 4.对于实数a，b，c，给出下列命题： ①若a>b，则ac2>bc2；②若a<b<0，则a2>ab>b2； ③若a>b，则a2>b2；④若a<b<0，则>. 其中正确命题的序号是________． 5.已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. 6.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围. 课后练习： 等式性质与不等式性质练习 一、单选题 1．若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是（    ） A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（    ） A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 二、多选题 8．若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，则 C．若，则 D．若，则一定有 11．若，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知．则的取值范围是________． 四、解答题 13．若.求证. 五、双空题 14．已知，则的取值范围是_________，的取值范围是__________. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$