第6讲 导数应用：切线、单调、极值 讲义-2026届高三数学一轮复习

第06讲 导数应用：切线、单调、极值 知识核心 1、瞬时变化率：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫作在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即。 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则： （2）函数积的求导法则： （3）函数商的求导法则：，则 （4）复合函数的导数和函数，的导数间关系为 4、基本初等函数的导数公式表 1、若，则； 2、若，则； 3、若，则； 4、若，则； 5、若，则； 6、若，则； 7、若，则； 8、若，则 9、若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x 10、若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x 5、求切线方程的方法 （1）在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． （2）过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 3、求导数单调性 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数的导数； (3)在定义域内求解不等式＞0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； (4)在定义域内求解不等式＜0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 4、求导数极值点 （1）解方程＝0，当＝0时： ●如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ●如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值。 （2）导数值为0的点不一定是函数的极值点。 例如，对于函数，我们有。虽然，但0不是函数的极值点。一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，非充分条件。 5、常见不等式的证明： （1）当＞0时，； （2）当＞0时，； （3）当时，； （4）当＞0时，。 考点一、真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 2．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 3．（2025·全国二卷·高考真题多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 4．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 6．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； 考点二、切线问题 1．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北保定）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 7．（2024·贵州模拟）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 8．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．（2024·湖南长沙）已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（2024高三下·全国）已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ． 11．（2023·四川凉山）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（2024·河北邢台）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·全国·模拟）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 15．（2024全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 16．（2024·广东）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·河北沧州）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 18．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 19．（2024·全国·模拟）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25山东）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 21．（2024·河南·模拟）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（    ） A． B．1 C．2 D． 考点三、不含参数求单调性 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二·宁夏）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 3．已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D． 4、（24-25高二·江苏）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二·全国）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 7．（2024·浙江·模拟）已知函数.当时，求的单调区间； 8．（2023·全国·高考真题）已知函数；当时，讨论的单调性； 考点四、含参数的一次型、二次型求单调性 9.（24-25高二·天津）已知函数，求函数的单调区间； 10．（2023·全国·高考真题）已知函数．讨论的单调性 10．（2024·江苏苏州）已知函数．讨论的单调性 11.（24-25高二·全国）已知函数,若，求函数的单调区间. 12.（2024高三·全国）已知函数，求的单调区间. 13.（24-25高二·全国）已知函数（），讨论的单调性. 14．（24-25高二·全国）已知函数，讨论的单调性． 15．（2024·全国·高考真题）已知函数．求的单调区间 16．（2024·广东东莞）已知函数．求函数的单调区间； 17．（24-25高二下·全国）设函数，其中．讨论的单调性． 18.求函数的单调递减区间. 19.（2024高三·全国）已知函数.讨论函数的单调性； 20.（24-25高二·陕西）讨论函数的单调性． 21.（24-25高二·江苏）已知函数．求函数的单调区间； 22.（2024高三·全国）已知函数，．若，求函数的单调区间. 23.已知函数．若，讨论函数的单调性； 24．（2021·全国·高考真题）已知函数．讨论的单调性； 25．（2024·新疆·三模）已知函数.讨论的单调性； 26.已知函数．若，讨论的单调性； 27.（2025高三·全国）已知函数．讨论的单调性； 28.（2024高三·全国）已知函数．讨论的单调性 29．（24-25高二下·广东）已知函数．若，讨论的单调性； 考点五、含参数求极值 1．（24-25高二下·四川）已知函数， (1)讨论函数的极值点情况；(2)若，证明. 2．（24-25高二下·云南）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程；(2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 3．（24-25高二下·安徽亳州）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)求的极值；(2)若有两个零点，求的取值范围． 4．（2024·山东济南·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间；(2)讨论极值点的个数. 5.（河南省2025届高三）已知函数在点处的切线方程为. (1)求的值；(2)求函数的单调区间和极值. 6.（2024·广东惠州·模拟预测）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设，求函数的极大值． 7.（2024·贵州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，求的极值. 8.（24-25高二下·北京通州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的极大值与极小值. 9.（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的单调减区间和极值. 10.（2024·重庆）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求的值；(2)求函数的极值． 11．（22-23高二下·陕西）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的极值点个数． 12．（24-25高二上·全国）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若均不为零，讨论函数的极值． 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 导数应用：切线、单调、极值 知识核心 1、瞬时变化率：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫作在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即。 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则： （2）函数积的求导法则： （3）函数商的求导法则：，则 （4）复合函数的导数和函数，的导数间关系为 4、基本初等函数的导数公式表 1、若，则； 2、若，则； 3、若，则； 4、若，则； 5、若，则； 6、若，则； 7、若，则； 8、若，则 9、若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x 10、若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x 5、求切线方程的方法 （1）在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． （2）过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 3、求导数单调性 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数的导数； (3)在定义域内求解不等式＞0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； (4)在定义域内求解不等式＜0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 4、求导数极值点 （1）解方程＝0，当＝0时： ●如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ●如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值。 （2）导数值为0的点不一定是函数的极值点。 例如，对于函数，我们有。虽然，但0不是函数的极值点。一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，非充分条件。 5、常见不等式的证明： （1）当＞0时，； （2）当＞0时，； （3）当时，； （4）当＞0时，。 考点一、真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【详解】对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得，将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，即，解得. 2．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意；所以. 3．（2025·全国二卷·高考真题多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 4．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【详解】（1）因为，故，故，故，故即为，设，则，故在上为增函数， 而即为，故，故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，，故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍；若即，则时，，时，， 故为的极大值点，符合题设要求；综上，且. 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，，，则 ， ，， 即在上单调递减. （ii），证明如下：由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意，所以. 6．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； 【详解】（1）法1：， 因为，故，故，当时，即， 当时，即，故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.故存在，使得成立. 考点二、切线问题 1．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以．故切线方程为． 2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为， 所以，所以所以 所以曲线在点处的切线方程为.故选：C 3．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】，则， 即该切线方程为，即，令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A. 4．（2024·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，则，又， 则所求切线方程为，即． 5．（2024·河北保定）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得，令，得，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 6．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；。 7．（2024·贵州模拟）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 【详解】设切点为，而，所以切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，， 化简可得或，则切点为或， 则代入得切线方程为：或，故答案为：或. 8．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【详解】设切点为，由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即，解得，故过坐标原点的切线共有1条． 9．（2024·湖南长沙）已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】由于直线 与曲线 相切，设切点为，且，所以， 则切点的横坐标 ，则，即 . 又，所以，即， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1. 10．（2024高三下·全国）已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ． 【详解】函数，，若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率，则有，解得，所以． 11．（2023·四川凉山）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且若，则恒成立，不符合题意，可排除A项； 所以，此时易知单调递增，要满足题意则需. 12．（2024·河北邢台）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，.所以，.由因为在，两个不同点处的切线相互平行，所以，又，所以，故CD错误；因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立.故选：B 13．（2024·全国·模拟）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，因为切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线斜率都是，即关于的方程有两个不相等的正实数根，化简得，有两个不相等的正实数根，则，解得. 14．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为； 由得，设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为，两切线重合,所以，解得 15．（2024全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 16．（2024·广东）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】两个函数求导分别为，设，图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以，设，，， 令，所以，所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增，所以，.故选：B. 17．（2024·河北沧州）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【详解】设直线l与曲线相切于点，由，得，因为l与曲线相切，所以消去，得，解得． 设l与曲线相切于点，由，得，即，因为是l与曲线的公共点，所以消去，得，即，解得． 18．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 【详解】由已知得，解得，又， 所以得，所以，所以. 19．（2024·全国·模拟）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 的定义域为，由函数，可得， 令，可得，负值舍去，又，所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为．点到直线的距离，即点到线的距离的最小值为. 20．（24-25山东）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【详解】直线的斜率，函数定义域为，点是曲线上任意一点，设，由，令，解得或（舍去）， ，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离，为点到直线的距离.选C. 21．（2024·河南·模拟）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（    ） A． B．1 C．2 D． 【详解】设函数与直线相切于点，直线的斜率为， ，所以，所以．故选：B． 考点三、不含参数求单调性 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】，则，由，得，所以单调递减区间是.D． 2.（24-25高二·宁夏）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 【详解】函数的定义域为，求导得，由，即，解得或，所以函数的单调减区间为和.故选：D 3．已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D． 【详解】，，则，，由有，由，解得或，所以的单调递增区间为和.故选：C. 4、（24-25高二·江苏）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ，所以 的单调增区间为 .故选：B. 5．（24-25高二·全国）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 令，解得，所以函数的单调增区间为．故选：C. 6．（24-25高二下·北京）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【详解】由可得，令, 当时，由可得，解得；当时，由可得，解得；因此可得在的单调递减区间是和.故选：D 7．（2024·浙江·模拟）已知函数.当时，求的单调区间； 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，所以，则，所以，在上单调递减. 当时，记，则， 因为，所以，在单调递增， 所以，即，所以在上单调递增. 8．（2023·全国·高考真题）已知函数；当时，讨论的单调性； 【详解】（1） 令,则，则，当，当,即. 当,即.所以在上单调递增,在上单调递减 考点四、含参数的一次型、二次型求单调性 9.（24-25高二·天津）已知函数，求函数的单调区间； 由题设，且，当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有，递增区间为，递减区间为. 10．（2023·全国·高考真题）已知函数．讨论的单调性 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 10．（2024·江苏苏州）已知函数．讨论的单调性 函数的定义域为，且． 当时，恒成立，所以在区间上单调递增； 当时，令，解得， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． 11.（24-25高二·全国）已知函数,若，求函数的单调区间. 【详解】解：当时，，定义域为，所以，， 所以，时，在上恒成立，故在上单调递增， 当时，令得，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 12.（2024高三·全国）已知函数，求的单调区间. 【详解】解：，当时，，在上为增函数， 当时，由，解得：， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数. 13.（24-25高二·全国）已知函数（），讨论的单调性. 【详解】易得.当时，恒成立，所以在R上单调递增. 当时，令，得， ①当时，，所以在上单调递减； ②当时，，所以在上单调递增. 14．（24-25高二·全国）已知函数，讨论的单调性． 【详解】函数的定义域为，且，令，解得或2， 当时，令，解得或；令，解得； 可知在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，令，解得；令，解得或； 可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减． 15．（2024·全国·高考真题）已知函数．求的单调区间 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 16．（2024·广东东莞）已知函数．求函数的单调区间； 的定义域为 ，求导数，得 ， 若，则，此时在上单调递增， 若，则由得，当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 综上，当，的增区间为，无减区间， 若，减区间为，增区间为. 17．（24-25高二下·全国）设函数，其中．讨论的单调性． 【详解】的定义域是，若，，函数在上单调递增， 当时，，令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增；若，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 18.求函数的单调递减区间. 【解析】函数的定义域是，. ①当时，在上恒成立，故在上单调递减. ②当时，若，则； 若，则，所以在上单调递减，在上单调递增. 19.（2024高三·全国）已知函数.讨论函数的单调性； 【详解】因为的定义域为，又， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得（舍去），；当，，在上单调递减； ，，在上单调递增； 20.（24-25高二·陕西）讨论函数的单调性． 【详解】由题设，，当时，若即时，递减；若即时，递增；当时，，定义域上递增；当时，若即时，递减；若即时，递增； 21.（24-25高二·江苏）已知函数．求函数的单调区间； 【详解】函数的定义域为；则 当，时，恒成立，所以单调递减； 当时，令，解得或（舍去），令，，令， 所以在上单调递减；上单调递增． 22.（2024高三·全国）已知函数，．若，求函数的单调区间. 【详解】解：，，当时，令，得：；令，得；当时，令，得：或，令，得； 当时，在递增，在递减；当时，在，递减；在递增． 23.已知函数．若，讨论函数的单调性； 由题，由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时，在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 24．（2021·全国·高考真题）已知函数．讨论的单调性； 由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减，若，则单调递增； 当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增，若，则单调递减， 若，则单调递增； 25．（2024·新疆·三模）已知函数.讨论的单调性； 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，时恒成立，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增； 当时，，令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.综上。。。. 26.已知函数．若，讨论的单调性； ，①时，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减；令，则 ②且，即时，，在上单调递增，时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则，所以在上单调递减， 27.（2025高三·全国）已知函数．讨论的单调性； 【详解】因为，当时，，此时在上恒成立，所以在上单调递减； 当时，在上单调递减，所以在上有唯一零点， 当时，，在上单调递增，当时在上单调递减；当时，在上有零点， 当和时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增． 28.（2024高三·全国）已知函数．讨论的单调性 【详解】因为，当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．若，即时，恒成立， 所以在上单调递增．若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减. 29．（24-25高二下·广东）已知函数．若，讨论的单调性； 【详解】，①时，， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减； 令，则 ②且，即时，，在上单调递增，时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则，所以在上单减． 考点五、含参数求极值 1．（24-25高二下·四川）已知函数， (1)讨论函数的极值点情况；(2)若，证明. 【详解】（1），当时，，单调递增，无极值点； 当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处有极小值，无极大值，即极小值点为，无极大值点. 综上所述，时，无极值点；时，极小值点为，无极大值点； （2）若，令，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即. 2．（24-25高二下·云南）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程；(2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）的定义域，当时，， ，，，所以过点的切线方程为，即； （2）由得，．当时，，在上单调递减， 无极值，故舍去；当时，， 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以存在极小值，且．令，， ，因为，所以，所以在上单调递增， 且，由得，所以． 3．（24-25高二下·安徽亳州）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)求的极值；(2)若有两个零点，求的取值范围． 【详解】（1）．当时，在上单增，既没有极大值，也没有极小值．当时，令，则 当时，在上单减，当时，在上单增，所以的极小值为，没有极大值. （2）由得，．令．则，当时，单增；当时，单减．因此． 显然当时，；当时，．当时，直线与函数的图象有且仅有两个公共点，即函数有两个零点．故的取值范围是． 4．（2024·山东济南·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间；(2)讨论极值点的个数. 【详解】（1）当时，定义域为，又， 所以，由，解得，此时单调递增； 由，解得，此时单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为，由题意知，，当时，，所以在上单调递增，即极值点的个数为个；当时，易知， 故解关于的方程得，，，所以， 又，，所以当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 5.（河南省2025届高三）已知函数在点处的切线方程为. (1)求的值；(2)求函数的单调区间和极值. 【详解】（1）的定义域为，由题知，，即①， 又，所以，即②，联立①②解得. （2）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，所以当时，取得极小值，无极大值. 6.（2024·广东惠州·模拟预测）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设，求函数的极大值． 【详解】（1）当时，，，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为，，则， 则，当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或；令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为；综上所述，当时，函数无极大值；当时，的极大值为. 7.（2024·贵州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，求的极值. 【详解】（1）由得，，，， 又，在处的切线方程为. （2）由得，可知函数的定义域为，,设，，在上单调递减， 当时，，此时，故在上单调递增， 当时，，此时，故在上单调递减，又， 在处有极大值，函数无极小值. 8.（24-25高二下·北京通州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的极大值与极小值. 【详解】（1）由可得其定义域为， 且； 当时，恒成立，此时的单调递增区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 综上可得时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）当时，，此时； 由（1）可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 所以可得函数在时取得极大值，即， 在时取得极小值，即；所以函数的极大值为，极小值为. 9.（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的单调减区间和极值. 【详解】（1）函数的定义域为， 在点处的切线平行于轴，，. （2）由（1）可得，令得或，列表如下： 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 由表格知单调减区间为，极大值为，极小值为. 10.（2024·重庆）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求的值；(2)求函数的极值． 【详解】（1）函数，求导得， 则，即为切线的斜率，因为切线与直线垂直，则有，．． 解得． （2）由（1）知，函数，定义域为， 求导得，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为，极大值，极小值． 11．（22-23高二下·陕西）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的极值点个数． 【详解】（1）当时，，切点为．，斜率， 所求切线方程为，即； （2）函数的定义域为，，令，则， ，令，解得，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增， ， ①当时，，函数单调递增，函数无极值点； ②当时，， ，即，因此函数在上有唯一零点， 当时，，因此函数在上有唯一零点， 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 当时，，即函数在上单调递增． 又当时，函数有两个极值点． 综上，当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点． 12．（24-25高二上·全国）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若均不为零，讨论函数的极值． 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，则， 令，令，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的定义域为． ①当时，则恒成立，在区间内单调递增，无极值； ②当时，则恒成立，在区间内单调递减，无极值； ③当时，令，得（舍去），， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 故有唯一极小值点，极小值为，无极大值； ④当时，令，得（舍去），， 当时，，单调递增；当时，单调递减． 故有唯一极大值点，极大值为，无极小值． 综上所述，当时，函数无极值， 当时，有极小值，无极大值， 当时，有极大值，无极小值． 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$