第5讲 函数的性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

第05讲 函数的性质 知识讲解 【知识点1 单调性】 1．求函数的单调区间：设函数f(x)的某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 注意：应先求定义域，在定义域内求单调区间；多个单调区间用“逗号”或“和”连接。 例：对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]。 2．函数单调性的判断 (1)判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法。 (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”。 3．单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形或作商变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系；得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：作差法、作商法；②图象法；③导数法：较复杂的函数。 （3）常用的结论： ①若是增函数，则为减函数； ②若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 【知识点2 奇偶性】 1．函数奇偶性的判断：两个必备条件： (1)定义域关于原点对称； (2)奇函数：，图像关于原点对称；偶函数：，图像关于y轴对称。 注意：既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即； 若奇函数在处有意义，则有； 2．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①；②．③函数 (2)偶函数： ①；②常数函数 【知识点3 周期性与对称性】 1．周期性(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|; 2．对称性的常用结论 【1、线对称】若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. 例：若函数为偶函数，则函数关于对称． 若，则函数关于对称． 【2、点对称】若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. 【3、点对称】若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 例：若函数为奇函数，则函数关于点对称． 若，则函数关于点对称． 3．函数的的对称性与周期性的关系：类比三角函数 （1）有两条对称轴，，则是周期函数，且； （2）的图象有两个对称中心，是周期函数，且； （3）有一条对称轴和一个对称中心，是周期函数，且. 1、单调性探究 考点一、真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题知对一切成立， 于是.故选：A 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 3．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能；故选：B． 4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D 5．（2025·全国二卷·高考真题多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 6．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【详解】是奇函数，则恒成立，所以，解得故答案为：0． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又，故可排除D.故选：B. 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得，即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项， 方法：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【详解】因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则，令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 10．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故，此时， 所以，又定义域为，故为偶函数，所以. 11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D. 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数.故选：B. 13．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即，则，故，此时，所以， 又定义域为，故为偶函数，所以. 14．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D. 15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数.故选：B. 16．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 17．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是. 18．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，，又为增函数，故，即.故选：A. 19．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ． 【详解】当时，，当时，，故， 而，故即，故答案为：1. 20．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【详解】奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得， 由得，，，故答案为：；． 21．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，故排除B;设，当时，， 所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A. 22．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【详解】方法一：构造法设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故，设，则, 令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以故选：C. 23．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以．从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D． 24．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 【详解】因为，故，因为为偶函数，故， 时，整理得到，故， 25．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即，故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选B. 26．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B 考点二、判断单调性 1.（2025陕西一模）在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】“”是“”的充要条件，故选：C 2.已知函数的图象经过点，且. (1)求函数的解析式；(2)用定义法证明：在上单调递减. （1）由题意可知，解得，，故（）. （2）证明：，，且，则 .由，且，得，，， 所以，，所以，单调递减. 3.（2025·江西二模）已知函数若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 解得a＝－1，故，可知在上单调递增；故选：D. 4.（24-25全国）已知定义在上的函数是减函数，则满足的x的取值范围是 ． 【解析】因为定义在上的函数是减函数，且，所以，解得． 5.（24-25重庆）（多选）函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 因为，所以为偶函数， 因为， 即，所以为奇函数，所以为非奇非偶函数，A错误； ，所以为奇函数，B正确； ，所以是奇函数，C正确； 令，，为偶函数，D错误.故选：BC． 6．（2025·黑龙江）设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 因为函数的定义域为R，且， 所以是奇函数，又，作出函数图象如下图： 由图知，函数在和上单调递增，在上单调递减。B 考点三、复合函数单调性 1.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是.故选：A 2.（2025浙江）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】由，，解得或，所以函数的定义域为，令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为. 3.（2025甘肃）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】，由题意单调递减，且， 则，解得，，所以的单调递减区间是.故选：D. 4. 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】由可得，解得或，由图象的对称轴为，则在上单调递增，故的单调递减区间为， 5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 由题意，令， 解得，即函数的单调递增区间是.故选：D. 6．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，则，解得或，所以的定义域为，又开口向上，对称轴为，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递减， 所以在上单调递增，在减，即A. 7．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，依题意，，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：A 8．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得，故a的取值范围是.故选；B. 考点四、分段函数单调性 1.（2025陕西一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为是定义在上的增函数，所以，解得. 2.已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，增函数∴，解得， 3.已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为对于，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有，即，解得 4.（2025·陕西一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为是定义在上的增函数，所以，解得.故选：B. 5．（24-25河南）函数在区间A上是减函数，那么区间A是 . ，如图：；故答案为：， 6．（24-25宁夏）函数的单调递减区间为 . 由，得到或，如图所示，由图知，函数的单调递减区间为.     7．（2025云南）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数满足对任意的实数，都有成立，不妨设，则，则，即，则函数在上为减函数，则，解得， 因此，实数的取值范围是，故选：D． 8．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，对于任意实数，都有成立，不妨设，则，所以在上单调递减，所以，解得.D 9．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，函数是增函数，则，即；由，求导得，函数在上单调递增，于是在上恒成立，因此在上恒成立，即；又函数在上单调递增，则，从而，所以实数的取值范围是.故选：B 10．（2025内蒙古）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意， 故在R上单调递减，所以，解得：.故选：D. 11．（2025·北京）设函数 ①若，则的最小值为 . ②若有最小值，则实数的取值范围是 . 【解析】①当时，，则当时，， 当时，，故的最小值为； ②由，则当时，， 由有最小值，故当时，的最小值小于等于，则当且时，有，符合要求；当时，，故不符合要求，故舍去.综上所述，.故答案为：；. 考点五、利用函数单调性求最值 1.（2025·全国）设，则函数的最大值为 ． 【解析】设，，两边平方得． 设，两边平方得，则， 由于，，则，， 又由于在区间上单调递增，所以当时,的最大值为， 则在区间上的最大值为． 2.（2025·上海一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 【解析】令，，∵，∴，∴， 令，由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，∴ ∴函数 在 上的最大值和最小值分别为，乘积为。 考点六、利用函数单调性求参数 1.（2025·全国）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 因为函数在上单调递减，在上单调递增．又函数在区间上不单调，所以，选：B． 2.（2025·广东二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 依题意，，显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，因此，而，则或，解得或，所以实数a的取值范围为.故选：D 3. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【解析】由题意，， 令，解得，令，解得或，所以在上单调递减，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或， 即或.故选：C. 4. 若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知得，解之得，即的定义域为，又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：，解得． 5.（2025·广东二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为.故选：C. 6.（2025·天津一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答过程】函数的对称轴为，由函数在上单调递增可得，即，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A. 7.（24-25全国）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 设，则即为，而图像的对称轴为，故在上单调递增，则，即的增区间为， 而函数在上单调递增，故，即实数的取值范围为，故选：B 8．（2025·广东二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为.故选：C 9．（2025·山东二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A． 10．（2025·陕西一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以， 由题可知恒成立，即.令，则，所以在上单调递增，由，可得，即，所以，所以， 当时，，不符合题意，故的取值范围是.故选：B 考点七、利用单调性比大小 1.（2025·宁夏一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，由，所以为偶函数，图象关于轴对称，当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，即 ， 单调递增，因为，， 且，，所以，所以， 即，也就是.故选：D 2.（2025·宁夏三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为是定义在上偶函数，所以，因为，则，所以，因为在上单调递增，所以， 即，故选：A． 3.（2025·河北）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，所以函数为偶函数， 当时，设，则，故在上单调递增且恒为正数，则函数在上单调递减，又函数为偶函数，故在上单调递增， 又，即，于是，即.故选:C. 4.函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，易知在上单调递增．因为， 所以，所以，即. 5.（2025·四川模拟）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为是定义在上偶函数，所以，因为，所以，因为在上单调递增，所以，故选：A. 6．已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（   ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以的图象关于成轴对称，注意到当时，由复合函数单调性可得在上为增函数，故在上为增函数， 所以距离越远值越大，因为，距离最远的为，故最大， 而，且， 所以，综上所述，.故选：A. 7．（2025·北京一模）设，其中，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由，故，故，由对勾函数性质可得， ，且，综上所述，有.故选：C. 8．已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解析】因为所以；因为，所以；故偶函数在,上单调递增，故，即故选：B. 2、 奇偶性探究 考点一、判断奇偶性 【1】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 对于C，，故是奇函数，即C正确； 【2】（2025·全国）已知函数的图象经过点，则函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 ，整理得，即，则，．当时，；当时，，即对一切实数都成立，即函数的定义域为． ，即函数为奇函数．故选：A． 【3】（多选题）（2025·重庆）函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【解析】因为，所以为偶函数，因为，即，所以为奇函数，所以为非奇非偶函数，A错误； ，所以为奇函数，B正确；，所以是奇函数，C正确；令，，为偶函数；故选：BC． 【4】利用图象判断下列函数的奇偶性： (1)；(2)；(3)； (4)；(5). （1）函数的图象，图象关于原点对称，函数为奇； （2）函数的图象，函数图象关于y轴对称，故为偶 （3）知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数. （4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去， 即可得到函数的图象，如图，由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，所以该函数为非奇非偶函数； （5） 函数的图象，如图，所以该函数为偶函数. 【6】（2025·重庆三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 因为定义域为，则 ，所以函数的对称中心为，所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，该函数的对称中心为，故函数为奇函数.故选：A. 考点二、利用奇偶性求参数 【1】已知函数是奇函数，则 ，若则 . 【解析】由，得，则，所以函数的定义域为， 所以，解得，所以，此时，所以为奇函数， ，所以；答案：1；. 【2】已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 . 【解析】函数的图象关于原点对称，则函数是奇函数，函数的定义域为， ，即，则，是偶函数，， 即，即，即， 则，，得，则，故答案为： 【3】（2025湖北）函数为奇函数，则实数k的取值为 . 因为为定义域上的奇函数，所以，即，整理化简有：恒成立，所以，得，又因为，所以， 且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意.答案： 【4】已知函数的图象关于轴对称，则 ． 【解析】因为，且，即，有，所以．故答案为：1. 【5】已知函数定义域为，，若为偶函数，则实数的值为 ． 由题设，，即， 所以，整理得恒成立，则.故答案为： 【6】（2025·陕西）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【解答过程】，得，所以. 【7】（2025·甘肃三模）若函数为奇函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【解答过程】由题意可得，，， ， 整理可得，对任意都成立，，.故选：B. 【8】（2025·黑龙江一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 当时，，所以，通过对比系数得. 【9】（2025·辽宁一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【解答过程】，故，故，解得. 考点三、利用奇偶性求表达式 【1】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 . 因为①，所以；由函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则；所以② 则①-②可得：，所以则． 【2】（2025·广东二模）已知奇函数则 ． 当时，，，则． 【3】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 . 【解析】，即①，②，②-①得：，解得：. 【4】已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 【解析】函数对一切实数都满足，所以， 设，则， ，又因为，即， 所以所以. 【5】（2025·山西一模）已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【解答过程】当时，则，因为是奇函数，所以. 【6】（2025·全国）若函数的图象关于原点对称，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解答过程】解：由题可知，当时，，且，由题意知为奇函数，则， 又，，则. 【8】（2025·海南三模）已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】取得①，取得， 即②，①－②得，①＋②得，所以． 考点四、奇函数的中值模型 【1】函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ． 【解析】由题意可知，，设，的定义域为，所以， 所以为奇函数，所以，所以 【2】对于函数 （其中 ），选取的一组值计算，所得出的正确结果一定不可能是（  ） A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 【解析】构造函数，因为 ，所以是奇函数， 所以，所以，又因为，所以能被2整除，故选：D 【3】（2025广西一模）是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ） A．－1 B． C． D．1 是定义在R上的函数，为奇函数，. ∴.故选：A 【4】设函数的最大值为5，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 设，利用定义法判断函数的奇偶性，得出是奇函数，结合条件得出的最大值和最小值，从而得出的最小值.由题可知，， 设，其定义域为，又， 即，由于 ，即，所以是奇函数，而，由题可知，函数的最大值为5，则函数的最大值为：5-3=2， 由于是奇函数，得的最小值为-2，所以的最小值为：-2+3=1.故选：B. 【5】已知函数，且，则 ． 【解析】由，得，构建函数，定义域为，则，即是奇函数，于是，所以， 可得，又，因此． 【6】设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 【解析】的定义域为且为奇函数，所以， ，所以，， 设，则，所以是奇函数， 依题意可知，在的最大值为，所以在的最小值为， 所以在的最小值为. 【7】（2025安徽）函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 【解析】， 设，则，记， 因为，所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，所以，又因为，所以， 【8】（2025河南）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【解析】令，得，令，则， 所以，令， 所以，为奇函数，． 令，则， 即为奇函数，所以．而， 所以．故答案为：4048 【9】函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是 . 【解析】， 令，定义域为关于原点对称，∴，∴为奇函数，∴，∴， ，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， ∴，，，∴，∴ 考点五、利用单调性与奇偶性求解不等式 【1】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【解析】由题设，在上递减，由偶函数知：， ∴，即， ∴，则，得.故的最小值是. 【2】（2025安徽安庆三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，解得，所以，其在上单调递增， 又因为，所以函数为奇函数，， 所以不等式可化为， 于是，即，解得或. 【3】（2025·湖南三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】， 在上单调递增.令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为所以，解得，. 【4】设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则， 故是奇函数．又，(等号成立的条件是)， 所以是R上的增函数，则，而，因此有，从而，解得， 【5】已知函数，则不等式的解集是 【解析】令，则，故， 令，则，故为奇函数，且在定义域上单调递增，由等价于， 所以，故，可得，故不等式解集为. 【6】（2025·天津二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【解析】由题意得函数为偶函数，且当时函数单调递减，当时函数单调递增． 原不等式可化为，∴，两边平方整理得， 解得或．∴实数的取值范围是． 3、探究对称性与周期性 考点一、函数对称性 1.若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ． 【解析】由于，解得，故它的反函数为.再由函数的图像与的图像关于直线对称，可得是函数的反函数，故， 所以．故答案为． 2.（多选题）（2025黑龙江）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若是奇函数，则的图象关于点对称 C．函数与函数的图象关于直线对称 D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 【解析】对A，对，有，令替换，得，可得函数是周期为2的周期函数，则的图象对称性不确定，即A错误；对B，是奇函数，的图象关于原点成中心对称，而的图象是将的图象向右平移一个单位， 的图象关于点对称，故B正确；对C，函数是由的图象向左平移一个单位得到；函数的图象是由的图象向右平移一个单位得，而与的图象关于轴对称，所以函数与函数的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，若函数的图象关于直线对称，则将其向左平移1个单位得到，则对称轴也向左平移1单位，则关于轴对称，即为偶函数，故D正确.故选：BD. 3.（24-25四川二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 因为的图象关于原点对称，函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以函数的图象关于点对称.故选：A. 4．（2025·四川一模）函数的对称中心为 ． 因为；则的图象可以由函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，因为为奇函数，函数图象关于原点对称，所以关于对称. 5．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 设所求函数的图象上任意一点，则点关于对称的点为， 由题意知点Q在的图象上，可得，故选：D． 6．（2025·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ） A． B．0 C．1 D． 由是定义域为的奇函数，则，且，又由满足，即，则有，可得，即函数是周期为2的周期函数， 故.故选：B. 7．（2025·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 ，函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确；，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确.故选：C. 8．（2025·黑龙江三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 令，定义域为，因为在上的最大值和最小值分别为，， 所以在上的最大、小值分别为，，因为， 所以为奇函数，的图象关于原点对称，所以的最大值和最小值互为相反数，即，所以，故选：A. 9．（2025·河北二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【详解】函数为奇函数，图象关于对称，将函数向左平移一个单位可得函数，则函数关于对称，所以函数的图象关于对称.选：C. 10．（2025·湖南二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，故函数的图象关于直线对称，∴，故，∴，∴是周期为4的周期函数．则．故选：A． 11.（2025·四川三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2025 【详解】由，即的一个周期为4， 由为偶函数可知关于轴对称，即，又可知， 所以，显然， 所以.故选：B 12．（2025·全国）若函数的图象关于点对称，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 的图象关于点对称，，即，解得，经检验知的图象关于点对称，故选：C. 13．（2025·江西二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 由，可知关于对称，又，则，又，则，，.故选：A. 14．（2025全国）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）, 即,故答案为： 15．（2025·四川）函数，若，则 . ，， .故答案为： 考点二、函数的周期性 1.（2025陕西）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解析】因为，所以，所以的周期为6. 又因为为奇函数，所以，即，即， 令，则，即所以， 2.（2025·陕西二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 【解析】由已知可得，所以，所以，即是函数的一个周期，所以.故答案为： 3.（2025·湖南二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 【解答过程】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有， 故函数的图象关于直线对称，∴，故， ∴，∴是周期为4的周期函数．则．故选：A． 4.（24-25河南）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由，时，得函数在上单调递减， 由得函数关于直线轴对称，所以函数在上单调递增. 又因为（最远离），（最靠近），所以.故选：A. 5.（24-25陕西）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】当时，恒成立，可知函数在上单调递增， 又因为函数是偶函数，所以，设，则，，又， 所以，所以，又因为函数在上单调递增， 所以.故选：A. 6.（24-25四川）已知函数在上单调递增，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由函数是偶函数，可得函数关于对称， 所以函数关于对称，所以，因为函数在上单调递增，且，所以.故选：B. 7.（2025·黑龙江）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】设，，所以， 令，，则，则在上单调递减，所以，则，故在单调递减， 所以，即，即，因为， 构造，，所以，即在上单调递增， 所以，即，即，即，综上：．D. 8.（24-25天津）已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 奇函数在上是减函数，则，所以，，因为，， 又，所以，所以，则，故.故选：B 9．（24-25四川）已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． ∵为偶函数，∴且的图象关于对称，     ∵为奇函数，∴的图象关于对称，∴为周期函数，， ∵有，∴在上单调性递减， ∴由的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示： ∵，，，∴，故选：D. 10.（24-25福建）若偶函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知可得， 即是函数的一个周期，所以.故选：C 11．（24-25河南）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】因为，所以的周期为12，因为，所以， 因为当时，，故.故选：D 12．（24-25江西）已知函数满足：对任意，有，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．0 题意得：所以函数的最小正周期为故由当时，可知：故选：B 13．（2025·陕西三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 【详解】为奇函数，，又为偶函数，，故A项错误.即函数的周期为4，即C项错误 由，令，得， 即B项错误.又，所以D项正确. 14．（2025·辽宁三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C． D．1 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以，又是奇函数，所以， 即，所以，则，所以是以为周期的周期函数，又当时，，所以，则，所以.故选：A 15．（2025·四川）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（　　） A．1 B． C． D． 函数满足，则，即是周期为的周期函数，所以，，又由函数为定义在上的奇函数，则，，当时，，则，所以；B． 16．（24-25四川）设奇函数满足，当时，， . 因为，所以，则有，所以函数是以4为周期的周期函数，且为奇函数，所以，故答案为: . 17．（24-25湖南）已知定义在上的偶函数满足，，则等于 ． 【详解】由题意，函数满足，即， ，，又由函数是上的偶函数，即，所以，即，取得， 所以函数是以为周期的周期函数，则. 18．已知函数的定义域是，，，当时，，则 ． 由得：，又，，.故答案为：. 19．（2025·山东一模）已知为偶函数，且，则 ． 因为为偶函数，所以，又， 所以，因为，所以， 所以，所以函数为周期函数，周期为， 所以，由，可得， 由，可得，所以，所以， 20．（多选题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的一个周期为4 B．点是函数的一个对称中心 C．时， D． 【解析】为奇函数，，且，函数关于点，偶函数，，函数关于直线对称，， 即，，令，则，， ，故的一个周期为4，故A正确；则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；当时，，，，又，，解得， ，，当时，，故C不正确； ，故D正确.故选：AD. 21．（2025·江苏）已知是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．1 【详解】因为为偶函数，所以，即，所以， 因为为奇函数，所以，所以，即， 所以，所以函数是以为周期的周期函数， 所以，又，所以，即.故选：C. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 函数的性质 知识讲解 【知识点1 单调性】 1．求函数的单调区间：设函数f(x)的某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 注意：应先求定义域，在定义域内求单调区间；多个单调区间用“逗号”或“和”连接。 例：对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]。 2．函数单调性的判断 (1)判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法。 (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”。 3．单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形或作商变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系；得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：作差法、作商法；②图象法；③导数法：较复杂的函数。 （3）常用的结论： ①若是增函数，则为减函数； ②若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 【知识点2 奇偶性】 1．函数奇偶性的判断：两个必备条件： (1)定义域关于原点对称； (2)奇函数：，图像关于原点对称；偶函数：，图像关于y轴对称。 注意：既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即； 若奇函数在处有意义，则有； 2．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①；②．③函数 (2)偶函数： ①；②常数函数 【知识点3 周期性与对称性】 1．周期性(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|; 2．对称性的常用结论 【1、线对称】若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. 例：若函数为偶函数，则函数关于对称． 若，则函数关于对称． 【2、点对称】若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. 【3、点对称】若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 例：若函数为奇函数，则函数关于点对称． 若，则函数关于点对称． 3．函数的的对称性与周期性的关系：类比三角函数 （1）有两条对称轴，，则是周期函数，且； （2）的图象有两个对称中心，是周期函数，且； （3）有一条对称轴和一个对称中心，是周期函数，且. 1、单调性探究 考点一、真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 3．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·全国二卷·高考真题多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 6．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 7．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A．B．C． D． 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 10．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 13．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 14．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 16．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 18．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 19．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ． 20．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 21．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 22．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 23．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 24．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 25．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 26．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二、判断单调性 1.（2025陕西一模）在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知函数的图象经过点，且. (1)求函数的解析式；(2)用定义法证明：在上单调递减. 3.（2025·江西二模）已知函数若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25全国）已知定义在上的函数是减函数，则满足的x的取值范围是 ． 5.（24-25重庆）（多选）函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 6．（2025·黑龙江）设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 考点三、复合函数单调性 1.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2.（2025浙江）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3.（2025甘肃）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4. 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 7．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四、分段函数单调性 1.（2025陕西一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·陕西一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25河南）函数在区间A上是减函数，那么区间A是 . 6．（24-25宁夏）函数的单调递减区间为 . 7．（2025云南）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2025内蒙古）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·北京）设函数 ①若，则的最小值为 . ②若有最小值，则实数的取值范围是 . 考点五、利用函数单调性求最值 1.（2025·全国）设，则函数的最大值为 ． 2.（2025·上海一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 考点六、利用函数单调性求参数 1.（2025·全国）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·广东二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 4.若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·广东二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·天津一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.（24-25全国）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 10．（2025·陕西一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七、利用单调性比大小 1.（2025·宁夏一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·宁夏三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·河北）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 4.函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·四川模拟）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京一模）设，其中，则（    ） A． B． C． D． 8．已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为　　 A． B． C． D． 2、 奇偶性探究 考点一、判断奇偶性 【1】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【2】（2025·全国）已知函数的图象经过点，则函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【3】（多选题）（2025·重庆）函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【4】利用图象判断下列函数的奇偶性： (1)；(2)；(3)； (4)；(5). 【6】（2025·重庆三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二、利用奇偶性求参数 【1】已知函数是奇函数，则 ，若则 . 【2】已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 . 【3】（2025湖北）函数为奇函数，则实数k的取值为 . 【4】已知函数的图象关于轴对称，则 ． 【5】已知函数定义域为，，若为偶函数，则实数的值为 ． 【6】（2025·陕西）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【7】（2025·甘肃三模）若函数为奇函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【8】（2025·黑龙江一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【9】（2025·辽宁一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 考点三、利用奇偶性求表达式 【1】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 . 【2】（2025·广东二模）已知奇函数则 ． 【3】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 . 【4】已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 【5】（2025·山西一模）已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【6】（2025·全国）若函数的图象关于原点对称，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【8】（2025·海南三模）已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 考点四、奇函数的中值模型 【1】函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ． 【2】对于函数 （其中 ），选取的一组值计算，所得出的正确结果一定不可能是（  ） A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 【3】（2025广西一模）是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ） A．－1 B． C． D．1 【4】设函数的最大值为5，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【5】已知函数，且，则 ． 【6】设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 【7】（2025安徽）函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 【8】（2025河南）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【9】函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是 . 考点五、利用单调性与奇偶性求解不等式 【1】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【2】（2025安徽安庆三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【3】（2025·湖南三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【4】设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【5】已知函数，则不等式的解集是 【6】（2025·天津二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 3、探究对称性与周期性 考点一、函数对称性 1.若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ． 2.（多选题）（2025黑龙江）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若是奇函数，则的图象关于点对称 C．函数与函数的图象关于直线对称 D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 3.（24-25四川二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 4．（2025·四川一模）函数的对称中心为 ． 5．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ） A． B．0 C．1 D． 7．（2025·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 ，函数，，则， 8．（2025·黑龙江三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 9．（2025·河北二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 10．（2025·湖南二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 11.（2025·四川三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2025 12．（2025·全国）若函数的图象关于点对称，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 13．（2025·江西二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025全国）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 15．（2025·四川）函数，若，则 . 考点二、函数的周期性 1.（2025陕西）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2.（2025·陕西二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 3.（2025·湖南二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 4.（24-25河南）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 5.（24-25陕西）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25四川）已知函数在上单调递增，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 7.（2025·黑龙江）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8.（24-25天津）已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25四川）已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10.（24-25福建）若偶函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25河南）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（24-25江西）已知函数满足：对任意，有，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．0 13．（2025·陕西三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 14．（2025·辽宁三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C． D．1 15．（2025·四川）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（　　） A．1 B． C． D． 16．（24-25四川）设奇函数满足，当时，， . 17．（24-25湖南）已知定义在上的偶函数满足，，则等于 ． 18．已知函数的定义域是，，，当时，，则 ． 19．（2025·山东一模）已知为偶函数，且，则 ． 20．（多选题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的一个周期为4 B．点是函数的一个对称中心 C．时， D． 21．（2025·江苏）已知是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．1 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$