第4讲 函数的概念与表示 讲义-2026届高三数学一轮复习

第04讲 函数的概念与表示 知识讲解 一、函数概念 (1)给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应。记作：，。 (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (3)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 二、函数定义域 （1）分式的分母不为零：要满足f(x)≠0； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零：要满足f(x)≥0 （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1：logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零：[f(x)]0要满足f(x)≠0； （5）正切型：tan [f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z． （6）复合函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围） ●若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出； ●若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．； 三、函数值域 (1)的值域是. (2)且的值域是. (3)且的值域是. (4)不等式法：． (5)换元法：对于形的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数 (6)分离常数法： ① ；② ③ →同时除以分子：→②的模型 考点一、真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 3．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 考点二、判断函数 1、（24-25高三）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（2025·山东）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 2．（24-25高三）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025高三）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6、（2025高三·全国）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 考点三、求具体函数定义域 1.（24-25甘肃）求函数定义域： (1)；(2)． 1．（24-25浙江）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·北京）已知函数的定义域为 ． 3．（24-25高三上·北京·期中）求函数的定义域 4．（24-25山西）函数的定义域为 . 5．（24-25新疆）求函数的定义域 ． 6．（2025高三）函数y＝的定义域为 ． 7．（24-25新疆）求下列函数的定义域 (1)；(2)；(3) 考点四、求抽象函数定义域 1、求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 1．（24-25山东）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25福建）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 6．（2025高三）已知函数的定义域为，求的定义域 . 7．（24-25高三）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 8、（2025吉林·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9、（2025·山东三模）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10、（2025·江苏模拟）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 11、（2025·河北衡水）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 12、（2025·湖北荆州）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 13、（24-25陕西西安）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14、（24-25辽宁）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15、（24-25宁夏）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16、已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 17、若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 考点五、求值域 1.（24-25全国）求下列函数的值域： (1) ，；(2)；(3)； (4)；(5)； 1．（24-25安徽）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北）已知函数，则的最小值为（   ） A．0 B．2 C． D．3 3．（2025·北京）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三）函数的值域为 . 7．（24-25广东）函数的值域为 . 8．（24-25广东）函数在上的值域是 ． 9．（2025高三）函数的值域为 ． 10．（24-25河北）时，的值域为 . 11．（24-25全国）求函数的值域． 12、（2025·湖南三模）已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 13、（江西高考）若函数的值域是，则函数的值域是 A． B． C． D． 14、（2025·浙江三模）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（    ） A． B． C． D． 15、（2025·江苏二模）已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 16．（2025·北京怀柔）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 17、求下列函数的值域： (1)；(2)；(3)； 18、求下列函数的值域． (1)；(2)；(3)（）． 20、求下列函数的值域 （1）；（2）；（3） 21、（24-25高三上·河南）对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为 . 22、（24-25高三上·重庆）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 . 23、（24-25高三上·全国·专题）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 24、（2023高三·江西）函数的值域为 . 25、（2023高三上·广东）函数的最大值为 . 26、（24-25高三·全国·专题）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 27、（2025高三下·北京）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 28、（24-25高三·全国）求函数的值域. 29、（24-25高三上·辽宁）函数在区间上的最大值为 ， 考点六、求函数解析式：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法 1.（24-25广东）（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式； （2）已知，求的解析式． 1．（24-25河北）（1）已知，求的解析式； （2），求的解析式. 2．（24-25全国）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25浙江）已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 4．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25重庆）若函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2025四川模）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25山西多选）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25山西多选）已知函数则（ ） A． B． C．的最小值为-1 D．的图象与x轴有2个交点 9．（24-25湖北）已知满足，则解析式为 ． 10．（24-25安徽）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 11．（2025高三）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 12、（24-25安徽蚌埠）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 13、（24-25湖南衡阳）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 14、已知函数是一次函数，且，则的解析式为 . 15、已知，那么 ． 16、（2025·河南模拟）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 考点七、分段函数 【典例1】（2025·吉林）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【典例2】（2025·江西）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2025·全国）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25陕西）设函数，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．（24-25浙江）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025全国）设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·北京）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25湖北）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖南多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为R C．为增函数 D．的图象关于坐标原点对称 8．（24-25山东多选）已知，若，则所有可能的值是（    ） A．－1 B． C．1 D． 10．（2025·辽宁）已知函数，则 ． 11．（24-25四川）已知函数.若，则实数的值为 . 12．（2025·湖北）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 13．（24-25上海）已知函数，则不等式的解集为 . 14．（24-25河南）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 18、（2025·全国）设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 19、（2025·江苏二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 20、（2025福建）已知函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 函数的概念与表示 知识讲解 一、函数概念 (1)给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应。记作：，。 (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (3)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 二、函数定义域 （1）分式的分母不为零：要满足f(x)≠0； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零：要满足f(x)≥0 （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1：logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零：[f(x)]0要满足f(x)≠0； （5）正切型：tan [f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z． （6）复合函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围） ●若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出； ●若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．； 三、函数值域 (1)的值域是. (2)且的值域是. (3)且的值域是. (4)不等式法：． (5)换元法：对于形的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数 (6)分离常数法： ① ；② ③ →同时除以分子：→②的模型 考点一、真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题知对一切成立，于是. 故选：A 2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，故选：A. 3．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为当时，所以，又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 4．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. 5．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 考点二、判断函数 1、（24-25高三）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R，可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 1．（2025·山东）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 2．（24-25高三）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：函数，定义域为.选项A中，定义域为，故A错误； 选项B中，定义域为，故B错误；选项中，定义域为，故正确； 选项D中，定义域为，故D错误. 3．（24-25高三）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；B中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确； C中，函数和    ，则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；D中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确. 5．（2025高三）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】对于选项A，因为而一个x对多个y，不是函数，所以它们不是同一函数．对于选项B，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．对于选项C，因为，所以，所以两个函数的定义域均为，又，所以它们是同一函数．对于选项D，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数． 6、（2025高三·全国）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数； 对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数； 对于C选项，当时，不存在，不是函数； 对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数. 考点三、求具体函数定义域 1.（24-25甘肃）求函数定义域： (1)；(2)． 【详解】（1）由题意可知：； （2）由题意可知：. 1．（24-25浙江）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【详解】由题可知，解得且. 2．（2025·北京）已知函数的定义域为 ． 【详解】根据题意可得,解得故定义域为. 3．（24-25高三上·北京·期中）求函数的定义域 【详解】函数的定义域满足，解得或， 4．（24-25山西）函数的定义域为 . 【详解】令，则或，解得或，所以函数的定义域为. 5．（24-25新疆）求函数的定义域 ． 【详解】函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为. 6．（2025高三）函数y＝的定义域为 ． 由sin x≠cos x，得tan x≠1，即x≠＋kπ，k∈Z，所以函数y＝的定义域为. 7．（24-25新疆）求下列函数的定义域 (1)；(2)；(3) 【详解】（1）要使分式有意义，则，由任意，恒成立， 故函数的定义域为； （2）要使式子各部分有意义，则，解得，且.故的定义域为； （3）要使分式有意义，则，当时，，则在恒有意义； 当时，，则，无意义；综上可知，的定义域为. 考点四、求抽象函数定义域 1、求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 【详解】（1）设，由于函数定义域为[1，2]，故，即，解得， （2）设，因为，所以，即，函数的定义域为[3，5]， 由此得函数的定义域为[3，5]； （3）因为函数的定义域为[1，2]，即，所以，所以函数的定义域为[3，5]，由，得， 1．（24-25山东）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，所以的定义域为，由，得， 所以的定义域为， 2．（2025·江西）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为函数的定义域为，所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 3．（24-25高三）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数的定义域为，即，得，因此由函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为. 4．（2025高三）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，要使有意义，只需要，解得，所以，所以函数的定义域为. 5．（24-25福建）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【详解】依题意，函数的定义域是，所以对于函数来说，有，所以函数的定义域是. 6．（2025高三）已知函数的定义域为，求的定义域 . 【详解】因为函数的定义域为，即，则，故的定义域为． 7．（24-25高三）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【详解】因为，所以，所以的定义域为，要使有意义，需满足，解得，所以函数的定义域为. 8、（2025吉林·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 由题意，可得，解得. 9、（2025·山东三模）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 因为，所以解得，所以函数的定义域为， 所以函数需满足且，解得且， 10、（2025·江苏模拟）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【解答过程】因为函数的定义域为，则，可得，所以，函数的定义域为，对于函数，则有，解得， 11、（2025·河北衡水）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或，所以函数的定义域是. 12、（2025·湖北荆州）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由抽象函数的定义域可知，，解得。 13、（24-25陕西西安）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答过程】由题意得对任意恒成立，当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意；当时，由该不等式恒成立可得，解之得，综上，实数的取值范围是 14、（24-25辽宁）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 当时，，则，得，即定义域为，不符合题意； 当时，，定义域为R，符合题意；当时，由题意得关于x的不等式恒成立，故，解得或. 15、（24-25宁夏）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】函数的定义域为R，可知的解集为R，若，则不等式为恒成立，满足题意；若，则，解得．综上可知，实数k的取值范围是． 16、已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【解析】由函数的定义域为R，得，恒成立.当时，恒成立；当时，，解得.综上所述，实数a的取值范围为.故选：C. 17、若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【解析】由题意得，在R上恒成立，当时，，成立； 当时，，即，解得；综上所述，. 考点五、求值域 1.（24-25全国）求下列函数的值域： (1) ，；(2)；(3)； (4)；(5)； （1）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．     （2）（分离常数法）  ，因为，所以，所以故函数的值域为．（3）（换元法）  设，则，且， 所以，由，可得函数的值域为．   （4）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故函数的值域为． （5）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为． 1．（24-25安徽）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由有意义可得，设，则，，所以，所以， 2．（2025·河北）已知函数，则的最小值为（   ） A．0 B．2 C． D．3 【详解】由已知得，所以， 当且仅当即等号成立，则的最小值为. 3．（2025·北京）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，显然，则，于是， 所以函数的值域是. 4．（2025·四川）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，令，所以；令函数的值域为，因为，所以，所以必须能取到上的所有值，，解得. 6．（24-25高三）函数的值域为 . 【详解】当时，，当时，则，即，综上的值域为。 7．（24-25广东）函数的值域为 . 【详解】由可得，故，又，当且仅当，即时取等号，故，故函数的值域为， 8．（24-25广东）函数在上的值域是 ． 【详解】因为，又，所以，所以，所以，所以. 9．（2025高三）函数的值域为 ． 【详解】令，因为，所以，则，所以原函数可化为，其对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，所以函数的值域为. 10．（24-25河北）时，的值域为 . 【详解】因为，令，则，则，， 可知开口向上，对称轴为，且，所以在内的值域为，即在内的值域为.故答案为：. 11．（24-25全国）求函数的值域． 【详解】．因为，所以，即， 所以，所以函数的值域为． 12、（2025·湖南三模）已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． ，由，解得.令，函数.当时，； 当时，，函数的值域为. 13、（江西高考）若函数的值域是，则函数的值域是 A． B． C． D． 【解答过程】设=t,则,从而的值域就是函数的值域， 由“对勾函数”的图象可知，。 14、（2025·浙江三模）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】∵，∴，即函数的值域为； ∵，∴的值域为，值域跨度为； ∵，∴函数的值域为，值域跨度为2； ∵，值域跨度为2；故选：B. 15、（2025·江苏二模）已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 由，当时，有， 由，则有. 16．（2025·北京怀柔）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】依题意，，显然，则，于是，所以函数的值域是. 17、求下列函数的值域： (1)；(2)；(3)； （1）令，则，而，则， 故，即的值域为； （2），当时，；当时，；当时，， 故的值域为； （3），因为，故，当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为； 18、求下列函数的值域． (1)；(2)；(3)（）． （1）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （2）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （3）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．故函数的值域为． 20、求下列函数的值域 （1）；（2）；（3） （1）函数中，分母，则，故值域为； （2）， 故值域为且； （3）由题意得，解得，则， 故，，，由y的非负性知，，故函数的值域为； 21、（24-25高三上·河南）对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为 . 当，即，即时，， 当，，即或时，， 所以，函数图象如图所示： 由图可得，函数在，上递减，在上递增，所以. 22、（24-25高三上·重庆）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 . 由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，值域为. 23、（24-25高三上·全国·专题）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解析】令得，，故定义域为，. 24、（2023高三·江西）函数的值域为 . 由题得且.因为, 且. 所以原函数的值域为. 25、（2023高三上·广东）函数的最大值为 . 令，则，所以，由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时，取得最大值为. 26、（24-25高三·全国·专题）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 令，，则，所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值，所以函数的值域为.故选：C 27、（2025高三下·北京）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 依题意，，显然，则，于是， 所以函数的值域是.故选：C 28、（24-25高三·全国）求函数的值域. 显然恒成立，即原函数定义域为，由，得， 当时，，符合题意；当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且，所以函数的值域为. 29、（24-25高三上·辽宁）函数在区间上的最大值为 ， 【解析】，当时，，单调递减，. 30、（24-25高三上·山东）函数的最小值 ，，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以当，函数取得最小值. 考点六、求函数解析式：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法 1.（24-25广东）（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式； （2）已知，求的解析式． 【详解】（1）令  ，因为，所以，则． 由题意可知：即. 得，所以．所以 （2）法一：配凑法；根据．可以得到． 法二：换元法；令，则．. 1．（24-25河北）（1）已知，求的解析式； （2），求的解析式. 【详解】（1），令，所以，故； （2）由可得，联立可得。 2．（24-25全国）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 3．（24-25浙江）已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【详解】设，则， 整理得，所以，解，所以，所以. 4．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得， 5．（24-25重庆）若函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】因为；所以， 则，所以. 6．（2025四川模）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，所以，即， 设，易知在上单调递增，所以，即，故，所以． 7．（24-25山西多选）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，所以，解得或，则或． 8．（24-25山西多选）已知函数则（ ） A． B． C．的最小值为-1 D．的图象与x轴有2个交点 【详解】B选项，令，得，则，， 故，，B正确；A选项，，A正确，C选项，，所以在上单调递增，，C正确；D选项，令，解得或0（舍去），故的图象与x轴只有1个交点，D错误． 9．（24-25湖北）已知满足，则解析式为 ． 【详解】由   ①用代可得，  ② 由①②可得：故答案为： 10．（24-25安徽）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【详解】（1）因为，所以． （2）解法一（换元法）：令，，则，所以， 所以．解法二（配凑法）：，因为，所以． （3）设，则， 所以，解得或，所以或． （4）对任意的有，由，①得，② 联立①②解得，． 11．（2025高三）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 【详解】对任意实数，，，令，得，即，又，所以. 12、（24-25安徽蚌埠）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，∴， 13、（24-25湖南衡阳）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，所以，则 14、已知函数是一次函数，且，则的解析式为 . 【解析】设()，则， 则，解得，，或，，故或. 15、已知，那么 ． 【解析】∵，，∴．联立方程组，解得． 16、（2025·河南模拟）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【解析】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 考点七、分段函数 【典例1】（2025·吉林）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【详解】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 【典例2】（2025·江西）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，不等式可化为，所以，可得； 当时，不等式可化为，所以，且， 所以，所以不等式的解集是， 【典例3】（2025·全国）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数是减函数，所以．又因为函数5）图像的对称轴是直线，所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得，所以的取值范围是． 1．（24-25陕西）设函数，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【详解】因为在单调递增，所以，所以， 则， 2．（24-25浙江）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意. 3．（2025全国）设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当时，单调递减；而当时，（为常数）， 故分以下两种情况：或，解得或，综上可得. （数形结合法）作出的图像，如图： 结合图像可知或，解得或，综上可得. 4．（2025·北京）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以在上单调递增，无最小值，根据题意，存在最小值， 所以，即. 5．（2025·陕西）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在上单调递减，解得. 6．（24-25湖北）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，在上单调递增，且，所以函数在的值域是. 因为函数的值域是.所以当时的函数值域应该包含.即. 7．（24-25高三上·湖南多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为R C．为增函数 D．的图象关于坐标原点对称 【详解】A：由题意知，函数的定义域为，故A正确；B：当时，，当时，，所以函数的值域为R，故B正确；C：函数在和上单调递增，不是增函数，故C错误；D：如图，函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数，故D正确.故选：ABD 8．（24-25山东多选）已知，若，则所有可能的值是（    ） A．－1 B． C．1 D． 【详解】由已知可得或或，解得，或. 10．（2025·辽宁）已知函数，则 ． 【详解】，， ， 11．（24-25四川）已知函数.若，则实数的值为 . 【详解】由题设可得或，故或，故答案为：或， 12．（2025·湖北）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【详解】当时，得，当时，，得，所以，综上：的解集为， 13．（24-25上海）已知函数，则不等式的解集为 . 【详解】当时，为增函数，且，当时，为增函数，且， 则在上为增函数，则不等式等价为，即，解得：， 14．（24-25河南）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 . 【详解】当时，，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且，当时，，若，在上单调递增，此时没有最小值，若，在上单调递减，要想函数有最小值，则，解得，故实数的最大值为. 18、（2025·全国）设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 【解析】因为的定义域为，则，解得，若，则，可得，不合题意；若，则，可得，解得； 综上所述：.所以. 19、（2025·江苏二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 因为由于，则． 20、（2025福建）已知函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【解析】当时，由得，两边取以e为底的对数得：， 当时，由得，解得，综上或. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$