第7讲 全等三角形的判定相关模型 暑假预习自学课2025-2026学年人教版数学八年级上册

暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第7讲全等三角形的判定相关模型 内容一、平移模型 内容二、轴对称模型 内容三、旋转模型 内容四、一线三等角模型 内容五、混合模型 内容六、课后作业 平移模型 【常见平移模型】 【对应练习】 例题1.如图，在和中，点，，，在同一直线上，，请在下列条件中选择两个作为已知条件，剩余的一个作为结论，并写出证明过程．写出一种即可 条件：；；． 解：选择________和________作为已知条件，________作为结论．填序号 证明如下： 变式1（1）.如图，点是线段的中点，， ． 求证：． 变式1（2）.如图，已知，，点，在上，且求证：． 变式1（3）.如图，点，，，在一条直线上，，，． 求证． 变式1（4）.如图，是线段的中点，，，求证：． 轴对称模型 【常见的轴对称模型】 【对应练习】 例题2.在如图所示的三角形钢架中，，是连接点与中点的支架．求证． 变式2（1）.如图是一把没有完全打开的雨伞的平面示意图，伞骨架，支撑杆，此时，求证：平分． 变式2（2）.如图，，相交于点，且，求证：． 变式2（3）.如图，是的中点，，求证：． 变式2（4）.如图，已知，，求证：． 旋转模型 【常见的旋转模型】 【对应练习】 例题3.如图，已知，，求证：．   变式3（1）.如图，已知，，求证：． 变式3（2）.如图，，，，求证． 变式3（3）.如图，，，求证：． 变式3（4）.如图，，，，点，，在同一条直线上，且，，求的度数． 一线三等角模型 【常见的一线三等角模型】 【对应练习】 例题4.如图，已知，，，且求证：． 变式4（1）.如图，，，，，垂足分别为，． 求证：． 变式4（2）.如图，在中，点为边上一点，，，于点，于点．求证：． 变式4（3）.如图，在中，，是上的一点，于点，于点，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 变式4（4）.如图，在中，，，于，于． 求证：； ，，求的长度． 混合模型 【常见的混合模型】 平移+旋转 平移+轴对称 【对应练习】 例题5.如图，点，，，在同一条直线上，，，，求证：． 变式5（1）.如图，已知，是上一点，且，连接若，，求证：．   变式5（2）.如图，已知，交于点，交于点，求证：．  变式5（3）.如图，在和中，点，，，在同一直线上，且，，求证：． 变式5（4）.如图，为上一点，点，分别在两侧，，，． 求证：． 一、解答题：本题共15小题，共120分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.本小题分如图，和相交于点，，求证． 2.本小题分如图，点，，，在一条直线上，，，求证：，．   3.本小题分如图，是的中点，，求证． 4.本小题分如图，在中，，是高．求证：，． 5.本小题分如图，，，点是上一点，于，于，，连接． 求证：． 6.本小题分如图，在中，于点，为上一点，，，延长，交于点求证． 7.本小题分如图，已知，． 求证：． 8.如图，，点在边上，，，和相交于点求证：． 9.本小题分如图，，，． 求证：． 10.本小题分如图，，，求证：． 11.本小题分如图，，，垂足分别为，，且求证． 12.本小题分如图，点，，，在一条直线上，，，求证：． 13.本小题分如图，，分别为，上的点，，求证：．   14.本小题分如图，的直角顶点在直线上，，过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，． 请你在图中找出一对全等三角形，并加以说明； 若，，求的长．  15.本小题分如图，，，，，交于点． 求证：； 求的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第7讲全等三角形的判定相关模型 内容一、平移模型 内容二、轴对称模型 内容三、旋转模型 内容四、一线三等角模型 内容五、混合模型 内容六、课后作业 平移模型 【常见平移模型】 【对应练习】 例题1.如图，在和中，点，，，在同一直线上，，请在下列条件中选择两个作为已知条件，剩余的一个作为结论，并写出证明过程．写出一种即可 条件：；；． 解：选择________和________作为已知条件，________作为结论．填序号 证明如下： 【答案】解：选法一：，；； 证明：， ，即， 在和中， 有 ∴ ∴   变式1（1）.如图，点是线段的中点，， ． 求证：． 【答案】证明：点是的中点， ， ， ，  在和中， 有 ∴．  变式1（2）.如图，已知，，点，在上，且求证：． 【答案】证明：，， ， ， ，即  在和中， 有 ．  变式1（3）.如图，点，，，在一条直线上，，，． 求证． 【答案】证明：，，即  在和中，．  变式1（4）.如图，是线段的中点，，，求证：． 【答案】证明：是线段的中点，  在和中，．  轴对称模型 【常见的轴对称模型】 【对应练习】 例题2.在如图所示的三角形钢架中，，是连接点与中点的支架．求证． 【答案】证明：是的中点， ． 在和中， ． ． 又， ． ．   【解析】如果，那么，从而有． 而与具备“边边边”的条件． 变式2（1）.如图是一把没有完全打开的雨伞的平面示意图，伞骨架，支撑杆，此时，求证：平分． 【答案】证明：，，，． 在和中， ， 平分．   变式2（2）.如图，，相交于点，且，求证：． 【答案】证明：连接． 在和中，      ． ． 在和中，    ． ．  【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用． 利用可求得≌，则有，利用可判定≌，即可得． 变式2（3）.如图，是的中点，，求证：． 【答案】证明：是的中点， ， 在和中， ， ．  【解析】根据全等三角形的判定方法即可证得，即可得． 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 变式2（4）.如图，已知，，求证：． 【答案】证明：，， ． 在和中，      ．  【解析】由已知条件：与均为直角三角形，又有公共斜边和一条对应相等的直角边，即可得出两个三角形全等的结论． 本题考查全等三角形判断定理的运用，只需直接运用直角三角形全等判断定理：“斜边直角边对应相等的两直角三角形全等”． 旋转模型 【常见的旋转模型】 【对应练习】 例题3.如图，已知，，求证：． 【答案】证明：在和中，． ，即．   变式3（1）.如图，已知，，求证：． 【答案】证明：，，  即  在和中，．  变式3（2）.如图，，，，求证． 【答案】证明：如图，设交于点，交于点． ，，  即  在和中，．   变式3（3）.如图，，，求证：． 【答案】证明：在和中，．  变式3（4）.如图，，，，点，，在同一条直线上，且，，求的度数． 【答案】  一线三等角模型 【常见的一线三等角模型】 【对应练习】 例题4.如图，已知，，，且求证：． 【答案】证明：，， ． 在和中，     ． ． ， ．  变式4（1）.如图，，，，，垂足分别为，． 求证：． 【答案】证明：，，，在和中，．  变式4（2）.如图，在中，点为边上一点，，，于点，于点． 求证：． 【答案】证明：，，，，，，，，在和中，．  变式4（3）.如图，在中，，是上的一点，于点，于点，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】解：理由如下：，，，  在和中， ．  变式4（4）.如图，在中，，，于，于． 求证：； ，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝∠CAD+∠ACD＝90°．∴∠BCE＝∠CAD．  在△ADC与△CEB中， ∴．  (2)解：由（1）知，，  则AD＝CE＝5 cm，CD＝BE．∴BE＝CD＝CE-DE＝5-3＝2(cm)．  混合模型 【常见的混合模型】 平移+旋转 平移+轴对称 【对应练习】 例题5.如图，点，，，在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明：，，即． 在和中， ， D.  变式5（1）.如图，已知，是上一点，且，连接若，，求证：． 【答案】证明：，， ，， 在和中，．   变式5（2）.如图，已知，交于点，交于点，求证：． 【答案】证明：，， 和都是直角三角形． ，，即． 在和中， ．   变式5（3）.如图，在和中，点，，，在同一直线上，且，，求证：． 【答案】证明：，，即  在和中，．  变式5（4）.如图，为上一点，点，分别在两侧，，，． 求证：． 【答案】证明：，  在和中，．  一、解答题：本题共15小题，共120分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.本小题分如图，和相交于点，，求证． 【答案】证明：在和中， ≌． ．   2.本小题分如图，点，，，在一条直线上，，，求证：，． 【答案】证明：，， 即，， ，． 在和中， ≌， ，．   3.本小题分如图，是的中点，，求证． 【答案】证明：是的中点，． 在和中， ≌，．   4.本小题分如图，在中，，是高．求证：，． 【答案】证明：在和中， ≌． ，． 5.本小题分如图，，，点是上一点，于，于，，连接． 求证：． 【答案】证明：，  在和中，于，于，，  在和中，．  6.本小题分如图，在中，于点，为上一点，，，延长，交于点求证． 【答案】证明：，  在和中，．  7.本小题分如图，已知，． 求证：． 【答案】证明：连接． 在和中， ．   8.如图，，点在边上，，，和相交于点求证：． 【答案】证明：，  即  而，，  在和中，．  9.本小题分如图，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中，．  10.本小题分如图，，，求证：． 【答案】证明：在和中，．  11.本小题分如图，，，垂足分别为，，且求证． 【答案】证明：，，垂足分别为，， ． 在和中， ≌．   12.本小题分如图，点，，，在一条直线上，，，求证：． 【答案】，，即． 在和中，   13.本小题分如图，，分别为，上的点，，求证：． 【答案】，，，即． 在和中，   14.本小题分如图，的直角顶点在直线上，，过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，． 请你在图中找出一对全等三角形，并加以说明； 若，，求的长． 【答案】(1)△ACD△CBE  ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=90°． ∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∴∠ACD+∠DAC=90°．∴∠ECB=∠DAC． 在△ACD和△CBE中，∴△ACD△CBE   (2)∵△ACD△CBE，∴CD=BE=3，AD=CE． 又∵CE=CD+DE=3+5=8，∴AD=8   15.本小题分如图，，，，，交于点． 求证：； 求的度数． 【答案】(1)∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COD+∠AOC=∠AOB+∠AOC，即∠AOD=∠BOC． 在△AOD和△BOC中，∴△AOD△BOC   (2)由（1），知△AOD△BOC，∴∠A=∠B． 设OA，BC交于点F．∵∠AOB=90°，∴∠B+∠OFB=90°． 又∵∠OFB=∠AFE，∴∠A+∠AFE=90°．∴∠AEB=90°   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$