1.2 集合间的基本关系 学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2集合间的基本关系 基础知识点： 1．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中任意一个元素都都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集. A ⊆B(或B⊇A) 读作：A包含于B（或B包含A） 真子集 如果集合A ⊆B，但存在集合B中至少有一个元素不在集合A中，就称集合A是集合B的真子集. A B(或B A) 读作：A真包含于B（或B真包含A） 集合 相等 集合A，B中的元素相同 或A ⊆B，且B ⊆A. A＝B (1)空集φ：不含任何元素的集合；我们规定：空集是任何集合的子集,任何一个集合都是它本身的子集. 注：当，若集合A可能为空集时，则要对集合A进行分类讨论，即：分为“① A为空集；② A不为空集”两种情况。 (2)子集个数结论： ①含有n个元素的集合有2n个子集； ②含有n个元素的集合有2n－1个真子集； ③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集． （3）符号的使用： 用于元素与集合之间，⊆和⊆用于集合与集合之间. 课前预习： 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　) (2)任何一个集合都有子集．(　　) (3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　　) (4)任何集合都有子集和真子集．(　　) 2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(　　) A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A 【经典例题】 题型一　集合间关系的判断 例1 、1.用符号“”、“”、“”或“”填空： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； 2.下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4 【变式训练】1 (1)能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) (2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}． 题型二　子集、真子集的个数问题 点拨： 1.假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集有2n个； (2)A的非空子集有(2n－1)个； (3)A的真子集有(2n－1)个； (4)A的非空真子集有(2n－2)个． 2．求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身． 例2 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 例2-变式1 写出集合{a,b,c}的所有子集? 写出集合{a,b,c,d}的所有子集? 例2-变式2 、选用适当的符号“”或“”填空： (1) {1,3,5} {1,2,3,4,5}； (2){2} {x| |x|=2}； (3){1} ． 【变式探究】2 已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． 题型三　根据集合的包含关系求参数 例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【变式训练】3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a的取值集合． 8、 已知集合 （1） 若，，求实数m的取值范围 （2） 若，，求实数m的取值范围 （3） 若，M=N，求实数m的取值范围 【当堂检测】 1.下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集； ④若∅A，则A≠∅.其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 3.已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　) A．A⊆B B．A⊇B C．AB D．AB 4.设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是(　　) A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤3 5.满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是(　　) A．2　　　　　B．6 C．7 D．8 6.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C. 7.已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围． 四、课后作业 1、已知集合Ａ＝｛｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ｝，则集合Ｂ的真子集个数最多是（　　　） 　Ａ．５个　　　　Ｂ．６个　　　　Ｃ．７个　　　　　Ｄ．８个 2、设集合Ｍ｛1,2,3,4,5｝，且∈Ｍ时，６－∈Ｍ，则集合Ｍ=_______________． 3、写出满足条件｛0，1｝Ｍ｛0，１，２，３｝的集合Ｍ____________________ 4、集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______． 5、集合中的元素有 . 6、用符号∈ 或填空： ①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，______R． ② ______R，______Q，｜－3|______N＋，｜－｜______Z． 7、若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______． 8、已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞２｝，Ｂ＝｛ｘ｜４ｘ＋ｐ＜０｝，当ＢＡ时，求实数ｐ的取值范围． 9、设集合A=｛｝，Ｂ＝｛｝，若ＢＡ， 求实数的取值范围 10、实数集A满足条件：1A，若a∈A，则． (1)若2∈A，求A； (2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由； (3)求证： 11、已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R ① 若A是空集，求a的范围； ② 若A中只有一个元素，求a的值； ③ 若A中至多只有一个元素，求a的范围． 12、 若集合，至多有一个真子集，求的取值范围。 13、已知集合X满足. 14、 已知集合集合若AB，求a的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$