精品解析：四川省遂宁市第八中学2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试题

遂宁六中2025~2026学年度下期第二学段素质监测 八年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题）1至4页，第Ⅱ卷（非选择题）4至8页，共8页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级填写在答题卷规定的位置上，并在准考证号区域填涂上自己的考号． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔规范的填涂正确选项． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，只将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题，共54分） 一、单选题（共18小题，满分54分） 1. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 9. 下列说法正确的是(　　) A. 点P(3，﹣5)到x轴的距离为﹣5 B. 在平面直角坐标系内，(﹣1，2)和(2，﹣1)表示同一个点 C. 若x=0，则点P(x，y)在x轴上 D. 在平面直角坐标系中，有且只有一个点既在x轴上，又在y轴上 10. 甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 13. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 15. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ） A. 甲、乙两地相距1000千米 B. 点B的实际意义是两车出发后3小时相遇 C. 普通列车从乙地到达甲地时间是9小时 D. 动车的速度是250千米/小时 16. 如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 17. 函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为( ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 18. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共96分） 二、填空题（共8小题，满分24分） 19. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 20. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____． 21. 若点，在一次函数的图象上，则__________.(填“”，“”或“”) 22. 如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______． 23. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 24. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为_____． 25. 若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（共7小题，满分72分） 27. （1）计算： （2）先化简，再求值：，从，0，1，2中选一个值代入求值． 28. 解分式方程： （1） （2） 29. 如图，在中，，点D、E分别是线段的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求证：四边形为矩形． 30. 如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 31. 2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． （1）请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ （2）该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 32. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 33. 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ； ； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁六中2025~2026学年度下期第二学段素质监测 八年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题）1至4页，第Ⅱ卷（非选择题）4至8页，共8页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级填写在答题卷规定的位置上，并在准考证号区域填涂上自己的考号． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔规范的填涂正确选项． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，只将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题，共54分） 一、单选题（共18小题，满分54分） 1. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判定，根据分子、分母中不含有能约分的式子进行判定即可． 【详解】解：A、，分子、分母中不含有能约分的式子，是最简分式，符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选： A． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘方计算，分式的减法计算，积的乘方和单项式除以单项式等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有多个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 9. 下列说法正确的是(　　) A. 点P(3，﹣5)到x轴的距离为﹣5 B. 在平面直角坐标系内，(﹣1，2)和(2，﹣1)表示同一个点 C. 若x=0，则点P(x，y)在x轴上 D. 在平面直角坐标系中，有且只有一个点既在x轴上，又在y轴上 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标性质以及在坐标轴上点的性质分别判断得出即可． 【详解】解：A．点P(3，﹣5)到x轴的距离为5，故此选项错误； B．在平面直角坐标系内，(﹣1，2)和(2，﹣1)表示不同的点，故此选项错误； C．若x=0，则点P(x，y)在y轴上，故此选项错误； D．在平面直角坐标系中，有且只有一个点既在x轴上，又在y轴上即原点，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，根据坐标平面内点的性质得出是解题关键． 10. 甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件， 由题意得， 故选：D． 11. 函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 12. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据负整数次幂、零次幂化简，然后再比较即可． 【详解】解∶ ∵，，，， ∴． 故选B． 13. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 15. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ） A. 甲、乙两地相距1000千米 B. 点B的实际意义是两车出发后3小时相遇 C. 普通列车从乙地到达甲地时间是9小时 D. 动车的速度是250千米/小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 甲、乙两地相距1000千米，故选项A正确； 点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，故选项B正确； 普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，故选项C错误； 普通列车的速度为1000÷12＝（千米/小时），动车的速度为：1000÷3﹣＝250（千米/小时），故选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16. 如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 17. 函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为( ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①，故原说法错误； ②，正确，符合题意； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意； ④函数中，当时，，正确，符合题意； 所以，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数． 18. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共96分） 二、填空题（共8小题，满分24分） 19. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 【答案】四## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 20. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，分式和二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件是底数不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 21. 若点，在一次函数的图象上，则__________.(填“”，“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数的性质，一次函数随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：一次函数的， 一次函数随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 22. 如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：如图，在平行四边形中， ∴，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180° ∵BE、CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE， ∴∠AEB=∠ABE，∠DEC =∠DCE，∠CBE+∠BCE=90° ∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90°， ∴AD=2+2=4， ∴BC=AD=4， 在Rt△BCE中，由勾股定理，得 ； 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 23. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键． 24. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据矩形的性质、平行线的性质和折叠的性质证明，可得，设，则，则在直角三角形中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在处， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：，即， 解得：，即的长为5； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，属于常考题型，证明是解题的关键． 25. 若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， 解方程，得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 三、解答题（共7小题，满分72分） 27. （1）计算： （2）先化简，再求值：，从，0，1，2中选一个值代入求值． 【答案】（1）；（2），取， 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，涉及负整数指数幂、零指数幂及绝对值的计算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方运算，化简绝对值，负整数指数幂，零次幂，再合并即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件，再求值即可； 【详解】解：（1）原式 （2） ； ∵，， ∴，， ∴取， 故原式． 28. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程， （1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； 掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 检验：将代入，得：， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 ， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 检验：将代入，得：， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 29. 如图，在中，，点D、E分别是线段的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明全等三角形，得到边等，再利用一组对边平行且相等判断平行四边形； （2）先证明平行四边形，然后再加一个内角来判定矩形即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【点睛】此题考查平行四边形的性质和判定，以及矩形的判定，解题关键是选择合适此题的条件来判定平行四边形和矩形． 30. 如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）设与交于点，根据平行四边形的性质求出，根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 四边形是平行四边形， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键． 31. 2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． （1）请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ （2）该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 【答案】（1）香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元 （2）总利润的最大值是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元； 【小问2详解】 设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）． 答：总利润的最大值是元． 32. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入得，再把代入，求出，运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）认真观察图象，且结合，，运用数形结合思想得不等式的解集或，即可作答． （3）先求出，得，设，运用三角形面积公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 则， 把和分别代入， 得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，，， ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴不等式的解集或； 【小问3详解】 解：依题意，与x轴交于C点， ∴当时，则， 解得， ∴， ∴， ∵直线上有点P， 设， ∵的面积为12， ∴， 则， ∴或， 解得或， 则或． 33. 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ； ； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值． 【答案】（1）不是，是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，，则分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； 若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； 【小问2详解】 解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数 ∴m为整数 ∴为整数 ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $