精品解析：福建省厦门市兴贤学校2024-2025学年八年级下学期第一次综合测试数学试题

2024-2025学年下学期八年级数学月综合练习（一） 一、单选题（共10题，每题4分，共40分） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列4组数据中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 化简的结果是（ ） A. -4 B. 4 C. D. 16 4. 在平行四边形中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（　　） A. b2=c2﹣a2 B. a2=c2﹣b2 C. b2=a2﹣c2 D. c2=a2+b2 7. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 8. 如图，数轴上点A表示的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧交数轴的正半轴于点P，则点P表示的数是（ ） A. B. 2.5 C. D. 9. 如图，在中，，，， 则的周长是（ ） A. 16 B. 20 C. 21 D. 23 10. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 计算：（1）_____ （2）______ 12. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为_______，它是__________（真、假）命题； 13. 如图，直线，则直线a，b之间的距离是____________． 14. 如图，平行四边形中，，点E在上，平分，平分，．则线段的长_________． 15. 已知实数m满足，则_______． 16. 如图在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的面积为__________ ． 三、解答题（共9答题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，． （1）若，，求的长 （2）若，，求的长． 19. 如图，在中，，，垂足分别为．求证． 20. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 21. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 22. 如图，在平行四边形中，，，，求平行四边形的面积． 23. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； . 以上这种化简过程叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：. （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：. 24. 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 25. 如图，在平面坐标系中，点、点分别在轴、轴的正半轴上，且，另有两点和均大于； （1）连接、，当，时，求证：； （2）连接、、，若，，，求的度数； （3）若，在线段上有一点，且，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期八年级数学月综合练习（一） 一、单选题（共10题，每题4分，共40分） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列4组数据中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．利用勾股数定义进行分析即可． 【详解】解：A．，因此不是勾股数，故此选项不合题意； B．，因此不是勾股数，故此选项不合题意； C．，因此是勾股数，故此选项符合题意； D．，因此不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：C． 3. 化简的结果是（ ） A. -4 B. 4 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据来化简即可. 【详解】解：=4. 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键. 4. 在平行四边形中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 5. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含分母，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 6. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（　　） A. b2=c2﹣a2 B. a2=c2﹣b2 C. b2=a2﹣c2 D. c2=a2+b2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理可得：a2＋b2＝c2，故D正确； 将上式变形可得：b2＝c2﹣a2，a2＝c2﹣b2，故A、B正确， 所以错误的是C， 故选C． 点睛：本题考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容（直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方）是解决此题的关键． 7. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， ∴第三边长为13或， 故选：B． 8. 如图，数轴上点A表示的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧交数轴的正半轴于点P，则点P表示的数是（ ） A. B. 2.5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵以O为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点P， ∴， ∴点P表示的实数是． 故选：D． 【点睛】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 9. 如图，在中，，，， 则的周长是（ ） A. 16 B. 20 C. 21 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质两组对边分别相等与对角线互相平分即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 计算：（1）_____ （2）______ 【答案】 ①. 9 ②. 20 【解析】 【分析】该题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：（1）， （2）， 故答案为：9；20． 12. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为_______，它是__________（真、假）命题； 【答案】 ①. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 ②. 真 【解析】 【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，命题中有题设和结论，将题设和结论互换一下，就可以得到原命题的逆命题，再判定命题真假即可． 【详解】解：等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 根据‘等角对等边’可知，该命题是真命题， 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；真． 13. 如图，直线，则直线a，b之间的距离是____________． 【答案】线段的长度 【解析】 【分析】本题考查了两平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义． 从一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴直线之间的距离是线段的长度． 故答案为：线段的长度． 14. 如图，平行四边形中，，点E在上，平分，平分，．则线段的长_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半． 根据平行四边形的性质得出，则，根据角平分线的定义得出，进而得出，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， 平分， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理可得：． 故答案为：． 15. 已知实数m满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，绝对值的意义，根据算术平方根的定义得到，则，进而化简得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得 ； 故答案为：． 16. 如图在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的面积为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 设，则， 根据折叠可知：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，平行线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答． 三、解答题（共9答题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式性质，化简二次根式，计算乘法，最后合并同类二次根式即可求解；（2）根据二次根式的乘除运算求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，． （1）若，，求的长 （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的运用，含直角三角形的性质，掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）直接利用勾股定理求得答案即可； （2）由，得出，设为，利用勾股定理列出方程求得答案即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设为， 由勾股定理得， 解得：（负值已舍去）， 即． 19. 如图，在中，，，垂足分别为．求证． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，，可得，从而可得结论． 【详解】略 20. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 四边形的面积 21. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 22. 如图，在平行四边形中，，，，求平行四边形的面积． 【答案】的面积为 60 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、平行四边形的面积公式等知识，求得，并且证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，则，因为，所以，则，所以，求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， ， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ， ， ∴的面积为 60 ． 23. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； . 以上这种化简过程叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：. （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：. 【答案】(1) ＋；(2) 3-1. 【解析】 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为； （2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】（1）原式=； （2）原式=+++… =3﹣1. 【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键. 24. 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【答案】（1） 解：A市会受到台风的影响，理由如下∶ 如图，过点A作AD⊥BF于点D， 在中，∠ABD=30°，AB=300千米， ∴千米， ∵AD=150千米＜200千米， ∴A市会受到台风的影响； （2）10小时 【解析】 【分析】（1）过点A作AD⊥BF于点D，根据直角三角形的性质可得，求出AD，再比较，即可求解； （2）设台风到达点C时，A市开始受到台风的影响，到达点E时， A市开始不受到台风的影响，则AE=AC=200千米，根据等腰三角形的性质可得CE=DE，再由勾股定理求出CD，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶设台风到达点C时，A市开始受到台风的影响，到达点E时， A市开始不受到台风的影响，则AE=AC=200千米， ∵AD⊥BF， ∴CD=DE， ∴千米， ∴千米， ∴A市受台风影响的时间为(小时)． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 25. 如图，在平面坐标系中，点、点分别在轴、轴的正半轴上，且，另有两点和均大于； （1）连接、，当，时，求证：； （2）连接、、，若，，，求的度数； （3）若，在线段上有一点，且，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接，过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为． 均大于， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点、点向轴、轴作垂线，运用勾股定理计算，结合全等可证； （2）连接，证，可得，而，故，根据勾股定理逆定理可证，得； （3）作为垂足，有，设，列出关于的方程，求得，再在中，根据勾股定理求得，然后由三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：作为垂足， 由勾股定理得， 设， 可得， 解得：． 在中，得， ∵， ， ∴的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，二次根式、三角形的面积，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $