13.1三角形中边的关系校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册

13.1三角形中边的关系（第2课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 3．如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 4．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 6．下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形的中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形的三条高线必在三角形内， 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 7．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 8．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 二、填空题 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，则∠CDB＝ 度． 10．已知点，在轴上存在一点，使的面积为6，则点的坐标为 ． 11．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 12．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 13．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为 ． 14．如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 15．如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 16．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 17．如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 18．如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.1三角形中边的关系（第2课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．C 解：A项，∵不垂直于 ∴线段不是的高 B项，∵不垂直于 ∴线段不是的高 C项，∵，垂足为 ∴线段是的高 D项，∵不垂直于 ∴线段不是的高 故选：． 2．B 解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 3．D 解：，，， 的面积， 故选：D． 4．D 解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 5．C 解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 6．B 解：任意三角形的内角和都是，故①正确； 等边三角形是特殊的等腰三角形，故②错误； 三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故③正确； 只有锐角三角形的三条高线在三角形内，故④错误； 故选：B． 7．B 解：∵E是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 8．B 解：满足条件的点C的个数为6个，如图所示： ， ， 故选：B． 9．60° 解：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC＝30°， ∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°． 10．或 解：设点， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：或4， ∴点C的坐标为或 故答案为：或 11． 解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．②③④ 解：是的中线， ， 故②正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故④正确，符合题意； ，， ∴ ， 故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴， 故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④ 13．(1)见解析 (2)见解析 (3)4 解（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：4． 14．， 解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 15．(1)3 (2)2 解（1）解：是的高， F为的中点，是的中线， ； （2）解： 是的高， ，即， 解得． F是的中点， ， 又是公共边，的周长为，的周长为， 和的周长差为． 16．(1)见解析； (2)． 解（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 17．(1) (2) 解（1）解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： （2）解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 18．(1)2 (2) (3) 解（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； （2）解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1三角形中边的关系（第1课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 2．若一个三角形两边的长分别为5和10，则这个三角形第三边的长可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．下列说法中，错误的是（  ） A．三角形中至少有一个内角不小于60° B．三角形的角平分线、中线、高均在三角形的内部 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．多边形的外角和等于360° 4．已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 5．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角,下列能确定△ABC是钝角三角形的条件是（    ） A．∠A=∠B=∠C B．∠A:∠B:∠C=1:2:3 C．∠A+∠B=∠C D．∠C-∠B=2∠A+∠B． 6．如果三角形一条边上有一个点到这个三角形的三个顶点距离相等，那么这个三角形一定是（    ）． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 8．学完《三角形》这一章后，小桐说：“存在三角形三条边上的高之比等于．”小颖说：“存在锐角三角形三个内角之比为，且．”关于两人的说法，下列判断正确的是（   ） A．小桐和小颖都是对的 B．小桐和小颖都是错的 C．小桐是错的，小颖是对的 D．小桐是对的，小颖是错的 二、填空题 9．若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为 ． 10．一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3，则第三边的最大值为 ． 11．如图，在中，，，则图中直角三角形有 个．    12．下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是 （只填序号）． 三、解答题 13．如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 14．已知满足． （1）求的值． （2）以为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由． 15．阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 16．已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试判断△ABC的形状； （2）若a=5，b=2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 17．某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表： 规格（单位：） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为． (1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ (2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 18．【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，． (1)直接写出及的取值范围； (2)当为奇数时，求的最大值和最小值． (3)若小于的偶数，判断的形状． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.1三角形中边的关系（第1课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．C 解：三角形指的是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，而A、B、D图形的三根火柴都全部没有或者部分没有首尾相接，所以A、B、D都不符合题意，只有C图形是由三根火柴首尾顺次相接而成的，所以C符合三角形概念． 故选C． 2．A 解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系得： ， ． 故选：A． 3．B 解试题分析：根据三角形的内角和定理判断A； 根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断B； 根据等边三角形的判定定理判断C； 根据多边形的外角和定理判断D． 解：A、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确，不符合题意； B、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误，符合题意； C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确，不符合题意； D、多边形的外角和等于360°，故本选项正确，不符合题意； 故选B． 考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形；三角形内角和定理；多边形内角与外角． 4．B 解：由题意得，， 因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0， 所以，，， 解得，， 因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义． 故选：B． 5．D 解A.    ∠A=∠B=∠C=60°，为锐角三角形 B.    ∠A:∠B:∠C=1:2:3得到∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，为直角三角形 C.    ∠A+∠B=∠C得到∠C=90°，为直角三角形 D.    ∠C-∠B=2∠A+∠B.，得到∠C=2∠A+2∠B，∠C=120°，为钝角三角形 故选D 6．C 解：如图，在△ABD中，CA＝CB＝CD， ∵CA＝CD，CD＝CB， ∴∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDC， ∵∠A＋∠B＋∠ADB＝180°， ∴∠A＋∠ADC＋∠B＋∠BDC＝180°， ∴2(∠ADC＋∠BDC)＝180°， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD为直角三角形， 故选：C． 7．D 解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 8．D 解：设三角形三边上的高分别为，对应边长为， 由面积公式得：， 化简得边长之比为 ，通分后为 ， 验证三边关系：，满足三角形三边关系，故存在这样的三角形，小桐的说法正确； 由锐角三角形三个内角之比为，且满足 ， 设三个内角度数为， 由三角形内角和为，代入得：，即， ∵， ∴， ∴，但锐角三角形的每个角均小于 ，矛盾，因此不存在满足条件的锐角三角形，小颖的说法错误． 故选： D． 9．或 解：等腰三角形的一个内角为，需分两种情况讨论： 情况一：若这个的角是顶角， 则该等腰三角形的顶角度数为． 情况二：若这个的角是底角， 因为等腰三角形两底角相等， 所以另一个底角也是． 又因为三角形内角和为， 所以顶角的度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 10．4 解：设三角形的第三边长是x， 由三角形三边关系定理得到：， ， 三角形三边均为整数， 三角形第三边的最大值为 故答案为： 11．3 解：由图得△ABD为直角三角形，△ADC为直角三角形，△ABC为直角三角形， 共有3个直角三角形． 故答案为：3． 12．②③④ 解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵的三个内角的度数之比是， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个外角的度数之比是． 设的外角为，则的外角为，的外角为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该三角形的一个内角为， ∴为直角三角形；符合题意； 能确定为直角三角形的有：②③④． 故答案为：②③④． 13．(1)6个，见解析 (2)见解析 解（1）解：图中有6个三角形：，，，，，． （2）解：锐角三角形：； 直角三角形：，，； 钝角三角形：，． 14．（1）a=2，b=3，c=4；（2）能，9 解：（1）根据题意得：a-2=0，b-3=0，c-4=0， 解得：a=2，b=3，c=4； （2）∵2+3>4， 即a+b＞c， ∴能构成三角形， ∴C△ABC=2+3+4=9． 15．见解析 解： 根据三角形三边关系： ，即； ，即； 所以：． 16．（1）等边三角形；（2）最大值为13；最小值为11 解：由题意可知2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ca ∴2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0 又∵ ∴ ∴，即a=b=c ∴△ABC为等边三角形 （2）∵a=5，b=2，且c为整数， ∴5-2＜c＜5+2，即3＜c＜7， ∴c=4，5，6， ∴当c=4时，△ABC周长的最小值=5+2+4=11； 当c=6时，△ABC周长的最大值=5+2+6=13． 17．(1)有三种规格的钢管可供选择 (2)元 解（1）解：已经购买的两根钢管的长度是和，根据三角形的任意两边之和大于第三边， ，即， 有三种规格的钢管可供选择； （2）三角形底座为等腰三角形， （不符合题意，舍去），， 总费用为（元）． 18．(1)，； (2)最大为，最小为 (3)是等腰三角形，理由见解析过程． 解（1）解：因为，， 所以． 故周长的范围为． （2），，为奇数， ， 最大为，最小为． （3）周长为小于的偶数， 或． 当为时，； 当为时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上所述，是等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1三角形中边的关系（第3课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图中，，过点作交的平分线于点，若，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．若一副三角板按如图所示放置，则∠EGA的度数为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．75° 4．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 6．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 7．已知中，，的平分线的夹角是（   ） A． B． C．或 D．或 8．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．在中，，则等于 ； 10．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为 ． 11．在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 12．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 三、解答题 13．在中，，，求的度数． 14．中，，，，求，，的度数． 15．在中，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 16．已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 18．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.1三角形中边的关系（第3课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．A 解：在中，若， 则， 故选：A． 2．D 解∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝20°， ∴∠ABC＝40°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°−∠ABC＝90°−40°＝50°， ∵CD∥AB， ∴∠ACD＝∠A＝50°， 故选D． 3．D 解：∵∠ACF＝∠ACB＝90°，∠F＝45°， ∴∠2＝∠1＝45°， ∵∠A＝30°， ∴∠AGE＝30°＋45°＝75°， 故选：D．    4．C 解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 5．B 解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．B 解：， ， 为的角平分线， ， 为的高， ， ， ， 故选：B． 7．C 解：如图， ， ， 分别为的平分线， ， ， 在中，， 又∵， ∴角平分线的夹角是或． 故选：C． 8．C 解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 9．/80度 解：∵在中，，， ∴， 故答案为：． 10．/130度 解：在中，，三角形内角和为 平分，平分 ， 在中，三角形内角和为 故答案为：． 11．钝角 解：设，则，， 根据三角形内角和定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 12． 解：∵，如图； ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： . 13． 解：在中，，， ， ． 14．，， 解：∵，，，， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，． 15． 解：，， ． 是的角平分线， ． 是的高， ． ， ． ． 16．(1)见解析 (2) 解（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 17．(1) (2)证明见解析 解（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 18．(1)见详解 (2)①；② 解（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$