福建省福州市2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学预测卷

2025-2026学年高三年级第一次质量检测 数学预测卷 本试卷共4页，考试时间120分钟；总分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的虚部为（    ） A．-1 B．-i C．5 D．5i 2．已知全集，集合，则下列元素属于的是（    ） A．3 B．4 C． D．5 3．方程的两根是两圆锥曲线的离心率，它们是（　　） A．椭圆、双曲线 B．椭圆、抛物线 C．双曲线、抛物线 D．无法确定 4．函数的图象的一个对称中心的坐标为 A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 6．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知点是曲线上的点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面 B．当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为 C．点E到直线的距离的最小值为 D．当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为 10．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（    ） A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切 C．的最小值为32 D．当最小时， 11．已知抛物线的准线为，为上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A．与相离 B．的最小值为 C．的最大值为 D．四边形的面积的最小值为2 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数（，且），曲线在点处的切线与直线平行，则 . 13．已知等比数列，其前n项和为．若，，则 ． 14．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．某数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了100位同学8月份玩手机的时间（单位：小时），并将这100个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表： 玩手机时间 人数 1 12 28 24 15 13 7 将8月份玩手机时间为75小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，75小时以下者视为“手机自我管理到位”． (1)请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”； 手机自我管理到位 手机自我管理不到位 合计 男生 女生 12 40 合计 (2)从手机自我管理不到位的学生中按性别分层抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．已知等比数列的公比为（），等差数列的公差也为，且． (）求的值；   (II）若数列的首项为，其前项和为， 当时，试比较与的大小. 17．如图，在三棱锥P—ABC中，平面ABC，，，M为棱PC上的动点. (1)证明：平面平面PAC； (2)若异面直线AM与BC所成角的余弦值为，求此时平面ABM与平面PBC所成锐二面角的余弦值. 18．已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点. （1）求E的标准方程； （2）设点M在E上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求的面积的最大值. 19．已知函数，对于，恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）证明：当时，. 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案与解析 1．A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】将化为复数的代数形式，再求其虚部. 【详解】依题意，，故所求虚部为-1， 故选：A． 2．A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、补集的概念及运算、分式不等式 【分析】化简集合，求出在全集中的补集，判断各个选项. 【详解】由，即，解得， 所以，则或， 因为，故A正确；B，C，D错误. 故选：A. 3．A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】解方程，得到方程的两根，根据圆锥曲线的离心率的取值范围可以得到答案. 【详解】由，得， ∵，， ∴两圆锥曲线是椭圆与双曲线． 故选：A 4．A 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【详解】试题分析：若点为函数的图象的对称中心，则满足，可知A满足要求. 考点：三角函数图象的性质． 5．A 【知识点】由函数的周期性求函数值、对数的运算、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意求得的周期为，即可得到，从而可以求出结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且满足， 所以，则， 所以，故的周期为， 则， 而当时，，所以，则 ， 故选：A. 6．A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】根据向量共线的规则求出x，再根据向量的坐标运算规则求解. 【详解】 ， ； 故选：A. 7．D 【知识点】求点到直线的距离、已知切线（斜率）求参数 【分析】当在点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，利用导数的几何意义可求出切点的坐标，再由点到直线的距离公式即可求解 【详解】因为点是曲线上的点， 所以当在点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小， 又直线的斜率为，令， 令，即，解得或（舍去）， 故曲线上和直线平行的切线经过切点坐标为， 又点到直线即的距离为， 所以点到直线的最小距离为， 故选：D. 8．B 【知识点】比较函数值的大小关系、判断指数型复合函数的单调性、对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】将题设条件等价变形为进行放缩移项得到构造函数，利用其单调性即可得到. 【详解】由可得 因，则有即（*） 设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系. 9．ACD 【知识点】证明线面垂直、判断正方体的截面形状、点到直线距离的向量求法 【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可. 【详解】对于A，如下图所示，连接， 因为点是线段的中点，所以点也是线段的中点， 所以平面即为平面. 根据正方体的性质，平面，平面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面，所以与重合时，平面，故A正确； 对于B，如下图所示，取的中点， 根据分别为的中点，易得， 所以四点共面， 所以截面为四边形，且该四边形为等腰梯形. 又因为， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B错误； 对于C，如图建立空间直角坐标系， 由图可得，，所以， 设，所以， 所以点到直线的距离， 所以时，距离最小，最小为，故C正确； 对于D，如图所示，取的中点，连接， 易得平面， 又因为平面，所以， 所以， 则点在侧面内的运动轨迹为以为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为， 所以点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B; 计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C; 求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D. 【详解】设，，，， ， 直线的方程为，则直线的方程为, 将直线的方程代入，化简整理得， 则，， 故, 所以，, 因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离， 点M到直线l的距离， 又，所以，故A错误； 因为， 所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为， 即以为直径的圆与l相切，故B正确； 同理，，所以，，， 则，当且仅当时等号成立，故C正确； . 设，则，，. 当时，即时，最小，这时，故D正确, 故选:BCD. 【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算. 11．BCD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、二倍角的余弦公式、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得选项A错误；设，则，利用两点间距离公式表示，通过求导分析可得选项B正确；通过可得，根据可得选项C正确；利用结合可得选项D正确. 【详解】对于A选项，抛物线的准线的方程为，的圆心到直线的距离为，小于的半径1，与相交，选项A错误. 对于B选项，设点的坐标为，则，. 令函数，则，函数在上单调递增， ∵时，，∴当时，，当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值5，故的最小值为，选项B正确. 对于C选项，， ， ∵，∴，，，故的最大值为，选项C正确. 对于D选项，由题意得，，. 在中，. 由选项B得的最小值为，所以，故四边形的面积的最小值为2，选项D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决选项B的关键是利用点在抛物线上结合两点间的距离公式表示，通过求导分析单调性得到的最小值，解决选项C的关键是利用二倍角公式和锐角三角函数表示向量数量积，根据选项B的结论可计算数量积的最大值. 12． 【知识点】导数的加减法、已知直线平行求参数、已知切线（斜率）求参数、求某点处的导数值 【分析】由题意有，可解出的值. 【详解】函数，， 曲线在点处的切线与直线平行， 则有，得. 故答案为：. 13．或 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，进而得，再解方程得或，进而得答案. 【详解】解：设等比数列的公比为，因为，， 所以，即， 所以，解得或， 所以当时，； 当时， 所以，或. 故答案为：或 14． 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、代数中的组合计数问题、求离散型随机变量的均值 【分析】利用组合的知识与隔板法，分类讨论求得与对应的概率，从而利用数学期望的计算公式即可求解. 【详解】设这三个正整数分别为，则题意可得， 所以随机变量可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，； 当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以时，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用隔板法求得事件总情况为种，再分类讨论与对应的概率，从而得解. 15．(1)填表见解析；没有 (2) 【知识点】独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意补充列联表，计算判断即可； （2）由古典概率模型的概率公式求解即可. 【详解】（1）补充完整的列联表如下： 手机自我管理到位 手机自我管理不到位 合计 男生 52 8 60 女生 28 12 40 合计 80 20 100 ， 没有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”． （2）由（1）知手机自我管理不到位的学生中男、女生人数比为， 应从手机自我管理不到位的学生中抽取男生2人，记为；抽取女生3人，记为． 从这5人中随机抽取2人的所有情况为：，共10种， 其中恰好一男一女的情况为：，共6种． 所求概率为． 16．（1）； （2）当 时， ；当 时， ；当 时， . 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】（Ⅰ）由已知列关于公比的方程，求解方程即可得到q值； （Ⅱ）分别求出等比数列的通项公式及前n项和，分类作出比较得答案． 【详解】（）由已知可得2 ， ∵是等比数列，，∴. 解得 或，∵，  ∴ . (II）由（）知等差数列的公差为， ∴ ， ，， 当 时，；当 时，；当 时，.                                  综上，当 时，；当 时，；当 时，. 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式及前n项和，训练了作差法两个函数值的大小，是中档题． 17．(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）先由线面垂直得到线线垂直，再结合解三角形证明，由线线垂直证明线面垂直，最后证明面面垂直； （2）建立空间坐标系，由异面直线AM与BC所成角的余弦值为确定M的位置，再求出平面ABM与平面PBC的法向量，进而求出锐二面角的余弦值. 【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为在△ABC中，，，， 所以由余弦定理得，所以, 所以， 所以. 又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC. 又平面ABM，所以平面平面PAC. （2）由（1）知直线AB，AC，AP两两垂直，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，，，， 设，则， 所以，. 设异面直线AM与BC所成的角为， 则， 即， 解得，所以. 设平面ABM的一个法向量为， 则即 令，得， 所以. 设平面PBC的一个法向量为， 则即 令，得，， 所以， 所以， 所以平面ABM与平面PBC所成锐二面角的余弦值为. 18．（1）；（2）. 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）先由短轴长得，再根据条件列关系，计算即得结果； （2）先数形结合可知的面积是面积减去四边形的面积S，分别计算S为定值和面积最大值即求得的面积最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆E的离心率，短轴长为2，所以. 又因为，解得. 故椭圆E的方程为； （2）如图所示，设点. ，且A，D，M三点共线，，得，又 所以， 同理得，又， 因此四边形的面积 . 又因为点在椭圆上，所以，即， 代入上式得. 设过点M且与直线平行的直线l的方程为， 当l与椭圆相切时，M到AB的距离d最大，为两平行线之间的距离，得面积最大. 联立整理得， 所以，解得. 所以直线l的方程为，即， 所以. 所以的面积的最大值为. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆中三角形面积的最值问题，属于中档题. 19．（1）；（2）证明见解析. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用参数分离法可知，构造函数，即，利用导数研究函数的最小值即可得解； （2）由（1）得恒成立，将不等式的证明转化为证，构造函数，即证，利用导数研究函数的单调性及最值即可. 【详解】（1）由恒成立，得对恒成立. 令，，令，得 当，，单调递增；当，，单调减， 所以. 故所求实数a的取值范围为. （2）证明：由（1）得恒成立， 要证，只需证即可. 令， 令，易知在单调递增，且，， 故存在，使得. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，，. 故当时，. 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 答案第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$