上海市民办至德实验学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

上海市民办至德实验学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共18分） 1．（3分）已知三角形的两条边长分别为7cm和3cm，则第三条边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．10cm 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　） A．a﹣b＜0 B．a+6＜b﹣6 C．ac2＞bc2 D． 3．（3分）下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（3分）用一个半径为20，圆心角为108°的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 5．（3分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（　　） A．34° B．64° C．29° D．32° 6．（3分）如图，现有一张长方形纸片ABCD，点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′．若∠α+∠β＝132°，则∠C′MB′的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 二、填空题（每题2分，共24分） 7．（2分）m与2的差小于m的3倍．用不等式表示关系为：　 　 ． 8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为5，10，则它的周长是 　 　 ． 9．（2分）一个圆柱和一个圆锥，体积之比是4：3，底面半径之比是2：5，那么这个圆柱和圆锥的高之比是 　 　 ． 10．（2分）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝72°，∠CBD＝42°时，∠CDE的度数为　 　 °． 11．（2分）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在一个长方形纸片的一边上，那么∠1+∠2＝　 　 度． 12．（2分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则＝ 　 　 ． 13．（2分）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　 　 ． 14．（2分）学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是 　 　 ． 15．（2分）关于x的不等式组有4个整数解，那么m的取值范围是 　 　 ． 16．（2分）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ的度数为　 　 ． 17．（2分）如图是一个等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠后使点A落在BC边上的点D位置，若此时∠BFD＝80°，则∠DEF＝　 　 °． 18．（2分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为 　 　 ． 三、解答题（19-21每题6分；22-26每题8分，共58分） 19．（6分）解不等式：2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4． 20．（6分）解不等式组，并写出它的非负整数解． 21．（6分）如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠1＝∠2，试说明AB∥DC的理由． 22．（8分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB点F，G． （1）试说明：∠A＝∠D； （2）若∠B＝50°，∠D＝25°，求∠AFG的度数． 23．（8分）如图，已知在三角形ABC中，点D是边BC上一点，P是线段AD上一点，∠ACP＝∠ABP，∠CPD＝∠BPD．求证： （1）BD＝CD； （2）AD⊥BC． 24．（8分）一个圆柱形木块切成四块（如图①），表面积增加72cm2；切成三块（如图②），表面积增加113.04cm2；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？（π取3.14） 25．（8分）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G． （1）直线EG，FG有何位置关系？直接写出结论 　 　 ． （2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数． （3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系 　 　 ． 26．（8分）在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰△ABC纸片中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D． （1）当∠BPC＝100°时，α＝ 　 　 °； （2）当AP等于何值时，△APD≌△BCP？请说明理由； （3）在点P的滑动过程中，存在△PCD是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角α的大小；若不存在，请说明理由． 上海市民办至德实验学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D C A D C 一、选择题（每题3分，共18分） 1．（3分）已知三角形的两条边长分别为7cm和3cm，则第三条边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．10cm 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围，判断即可． 【解答】解：设三角形的第三条边长为x cm， 则7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10， ∴第三条边长可以是6cm， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　） A．a﹣b＜0 B．a+6＜b﹣6 C．ac2＞bc2 D． 【分析】根据不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【解答】解：A、由a＞b可得a﹣b＞0，A错误，不符合题意； B、由a＞b可得ac2＞bc2（c≠0），B错误，故B不符合题意； C、由a＞b可得a﹣b＞0，C错误，故C不符合题意； D、由a＞b可得，则，D正确，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． 3．（3分）下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】（1）根据平行公理判断； （2）根据平行线的定义判断； （3）根据两直线的位置关系判断； （4）根据对顶角的定义判断． 【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误； （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确； （4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误． 故选：C． 【点评】本题考查了平行公理，平行线的判定，对顶角与邻补角，是基础题，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 4．（3分）用一个半径为20，圆心角为108°的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 【分析】设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可． 【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r， 根据题意得2πr＝， 解得r＝6， 即这个圆锥的底面半径是6． 故选：A． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 5．（3分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（　　） A．34° B．64° C．29° D．32° 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB＝AD，∠B＝64°， ∴∠ADB＝∠B＝64°， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵∠C+∠DAC＝∠ADB， ∴∠C＝∠ADB＝32°．故选：D． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 6．（3分）如图，现有一张长方形纸片ABCD，点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′．若∠α+∠β＝132°，则∠C′MB′的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【分析】由平行线的性质得到∠DEG＝∠α，∠AFH＝∠β．根据∠α+∠β＝132°得到∠DEG+∠AFH＝132°，由折叠得到∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH．即可由∠MEF+∠MFE＝180°﹣∠DEM+180°﹣∠AFM＝360°﹣2（∠DEG+∠AFH）＝96°，根据三角形的内角和定理可得∠EMF＝180°﹣（∠MEF+∠MFE）＝84°，由周角的定义得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC． ∴∠DEG＝∠α，∠AFH＝∠β． ∴∠DEG+∠AFH＝∠α+∠β＝132°， ∵点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′， ∴∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∠C′ME＝∠B′MF＝90°． ∴∠MEF+∠MFE＝180°﹣∠DEM+180°﹣∠AFM ＝180°﹣2∠DEG+180°﹣2∠AFH ＝360°﹣2（∠DEG+∠AFH） ＝360°﹣2×132° ＝96°． ∴∠EMF＝180°﹣（∠MEF+∠MFE）＝84°， ∴∠C′MB′＝360°﹣∠EMF﹣∠C′ME﹣∠B′MF＝360°﹣84°﹣90°﹣90°＝96°． 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共24分） 7．（2分）m与2的差小于m的3倍．用不等式表示关系为：　m﹣2＜3m　 ． 【分析】根据m与2的差小于m的3倍，列出一元一次不等式即可． 【解答】解：根据题意得：m﹣2＜3m， 故答案为：m﹣2＜3m． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为5，10，则它的周长是 　25　 ． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：∵5+5＝10， ∴腰的长不能为5，只能为10， ∴等腰三角形的周长＝2×10+5＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 9．（2分）一个圆柱和一个圆锥，体积之比是4：3，底面半径之比是2：5，那么这个圆柱和圆锥的高之比是 　25：9　 ． 【分析】分别表示出圆柱和圆锥的体积，再进行相比得到答案． 【解答】解：设圆柱的底面圆半径为2r，高为h1，圆锥底面圆半径为5r，高为h2， ∵圆柱和圆锥的体积之比是4：3， ∴＝4：3， ∴4＝4：3， ∴h1：h2＝25：9， 故答案为：25：9． 【点评】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．（2分）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝72°，∠CBD＝42°时，∠CDE的度数为　66　 °． 【分析】根据AB∥CD，∠ABD＝72°，可得∠BDC＝72°；根据BC∥DE，∠BDE＝180°﹣∠CBD＝180°﹣42°＝138°，从而∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝138°﹣72°＝66°． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ABD＝72°， ∴∠BDC＝∠ABD＝72°， ∵BC∥DE， ∴∠CBD+∠BDE＝180°， ∴∠BDE＝180°﹣∠CBD＝180°﹣42°＝138°， ∴∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝138°﹣72°＝66°， 故答案为：66． 【点评】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质导角是解题关键． 11．（2分）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在一个长方形纸片的一边上，那么∠1+∠2＝　90　 度． 【分析】根据平行线的性质求出∠1＝∠3，再结合平角的定义求解即可． 【解答】解：如图， ∵m∥n， ∴∠1＝∠3， ∵∠3+90°+∠2＝180°， ∴∠1+90°+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 12．（2分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则＝ 　105°　 ． 【分析】利用“边角边”证明△ABC≌△DEA，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠DAE，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解． 【解答】解：6个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠1＝∠DAE， ∵∠3+∠DAE＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 又∵∠2＝45°， ∴（∠1+∠3）+∠2＝×90°+45°＝105°， 故答案为：105°． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 13．（2分）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　60°　 ． 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，根据等边对等角得到∠DAC＝∠C＝35°，根据内角和定理求得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【解答】解：由作图可知：MN为线段AC的垂线平分线， ∴AD＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝35°， 在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 14．（2分）学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是 　圆上的点到圆心的距离相等　 ． 【分析】根据圆上的点到圆心的距离相等即可解答． 【解答】解：由题意可知，用到的数学公理是：圆上的点到圆心的距离相等． 故答案为：圆上的点到圆心的距离相等． 【点评】本题考查了圆的基本概念，根据圆上的点到圆心的距离相等即可解答 15．（2分）关于x的不等式组有4个整数解，那么m的取值范围是 　﹣2.5＜m≤﹣2　 ． 【分析】根据题意，得出关于m的不等式，据此进行计算即可． 【解答】解：解不等式﹣x+2＞1得，x＜1， 解不等式x﹣2m≥1得，x≥2m+1， 因为此不等式组有4个整数解， 所以﹣4＜2m+1≤﹣3， 解得﹣2.5＜m≤﹣2． 故答案为：﹣2.5＜m≤﹣2． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出关于m的不等式是解题的关键． 16．（2分）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ的度数为　60°　 ． 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ABP≌△CAQ，则对应角∠ABP＝∠CAQ，所以由三角形外角的性质求得∠BOQ＝∠BAO+∠OAP＝∠BAP＝60°． 【解答】解：如图，在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°． ∵在△ABP与△CAQ中， ， ∴△ABP≌△CAQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠CAQ． ∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP， ∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°． 故填：60°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 17．（2分）如图是一个等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠后使点A落在BC边上的点D位置，若此时∠BFD＝80°，则∠DEF＝　70　 °． 【分析】先由等边三角形的性质可知∠A＝60°，利用∠BFD＝80°，求出∠AFE，从而利用三角形的内角和求出∠AEF，也就是∠DEF的角度． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， 由折叠的性质可知：∠AFE＝∠DFE，∠AEF＝∠DEF， 又∵∠BFD＝80°， ∴∠AFE＝∠DFE＝＝50°， ∴∠DEF＝∠AEF＝180°−∠A−∠AFE＝70°， 故答案为：70． 【点评】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，关键是根据等边三角形的性质和翻折的性质解答． 18．（2分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为 　4.8cm　 ． 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AM＝BM，则BM+DM＝AM+DM，当点A，点M，点D共线且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即BM+DM有最小值为AD的长，由面积公式可求解． 【解答】解：连接AD，AM， ∵EF垂直平分AB， ∴AM＝BM， ∴BM+DM＝AM+DM， ∴当点A，点M，点D共线且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即BM+DM有最小值为AD的长， ∵S△ABC＝BC•AD＝×5×AD＝12， ∴AD＝4.8cm， 故答案为：4.8cm． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 三、解答题（19-21每题6分；22-26每题8分，共58分） 19．（6分）解不等式：2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4． 【分析】不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：去括号得：2x﹣2≤10x﹣30﹣4， 移项得：2x﹣10x≤﹣30﹣4+2， 合并得：﹣8x≤﹣32， 解得：x≥4． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（6分）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得其非负整数解． 【解答】解：由2x﹣1＜3得：x＜2， 由﹣x﹣1≤0得：x≥﹣2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜2， 所以不等式组的非负整数解为0、1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（6分）如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠1＝∠2，试说明AB∥DC的理由． 【分析】根据角平分线性质推出∠CDE＝∠1，推出∠CDE＝∠2，根据平行线的判定推出即可． 【解答】解：AB∥DC， 理由是：∵DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC， ∴，， ∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠CDE＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠CDE＝∠2， ∴AB∥DC． 【点评】本题主要考查对平行线的判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能推出∠CDE＝∠2是解此题的关键． 22．（8分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB点F，G． （1）试说明：∠A＝∠D； （2）若∠B＝50°，∠D＝25°，求∠AFG的度数． 【分析】（1）由CE∥AB，得∠DCE＝∠B，而AB＝DC，CE＝BC，即可根据“SAS”证明△ABC≌△DCE，则∠A＝∠D； （2）由∠B＝50°，∠A＝∠D＝25°，得∠AGF＝∠B+∠D＝75°，则∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝80°． 【解答】解：（1）∵D是BC延长线上一点，CE∥AB， ∴∠DCE＝∠B， 在△ABC和△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， ∴∠A＝∠D． （2）解：∵∠B＝50°，∠D＝25°， ∴∠A＝∠D＝25°，∠AGF＝∠B+∠D＝75°， ∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝80°， ∴∠AFG的度数是80°． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DCE是解题的关键． 23．（8分）如图，已知在三角形ABC中，点D是边BC上一点，P是线段AD上一点，∠ACP＝∠ABP，∠CPD＝∠BPD．求证： （1）BD＝CD； （2）AD⊥BC． 【分析】（1）判定△ABP≌△ACP（AAS），得到AB＝AC，∠BAP＝∠CAP，由等腰三角形的性质推出BD＝CD； （2）由等腰三角形的性质推出AD⊥BC． 【解答】证明：（1）∵∠CPD＝∠BPD， ∴180°﹣∠CPD＝180°﹣∠BPD， ∴∠APB＝∠APC， ∵∠ABP＝∠ACP，AP＝AP， ∴△ABP≌△ACP（AAS）， ∴AB＝AC，∠BAP＝∠CAP， ∴AD平分∠BAC， ∴BD＝CD； （2）由（1）知AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定△ABP≌△ACP（AAS），掌握等腰三角形“三线合一”的性质． 24．（8分）一个圆柱形木块切成四块（如图①），表面积增加72cm2；切成三块（如图②），表面积增加113.04cm2；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？（π取3.14） 【分析】根据图②增加的表面积可以求出圆柱底面圆的面积，进而求出底面圆的半径，再根据图①增加的表面积可以求出圆柱的高，问题随之得解． 【解答】解：该圆柱形一个底面积为113.04÷4＝28.26（cm2）， 28.26÷3.14＝9，9÷3＝3，3×2＝6， ∴底面半径为3cm，直径为6cm， 该圆柱形高为72÷4÷6＝3（cm） （cm2） 答：体积减少了56.52cm3． 【点评】本题主要考查了圆柱体表面积等知识，掌握此类知识，是解题的关键． 25．（8分）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G． （1）直线EG，FG有何位置关系？直接写出结论 　EG⊥FG　 ． （2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数． （3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系 　∠EOF＝2∠EPF　 ． 【分析】（1）由平行线大的性质推出∠BEF+∠EFD＝180°，由角平分线定义得到∠GEF+∠GFE＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，由三角形内角和定理求出∠G＝90°，推出EG⊥FG； （2）过M作MN∥AB，得到MN∥CD，由平行线的性质推得到∠EMF＝∠BEM+∠MFD，同理∠EGF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线定义得到∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，即可求出∠EMF＝45°； （3）由角平分线定义得到∠BEO+∠DFO＝2（∠BEP+∠DFP），而∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，得到∠EOF＝2∠EPF． 【解答】解：（1）如图1，直线EG⊥FG，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠EFD， ∴∠GEF+∠GFE＝（∠BEF+∠EFD）＝90°， ∴∠G＝180°﹣90°＝90°， ∴EG⊥FG， 故答案为：EG⊥FG； （2）如图2，过MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠MFD， ∴∠EMN+∠FMN＝∠BEM+∠MFD， ∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD， 同理：∠EGF＝∠BEG+∠DFG， ∵EM平分∠BEG，FM平分∠DFG， ∴∠BEG＝2∠BEM，∠DFG＝2∠DFM， ∴∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF， 由（1）知∠EGF＝90°， ∴∠EMF＝45°； （3）∠EOF＝2∠EPF，理由如下： ∵EP平分∠BEO，∠FP平分∠DFO， ∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP， ∴∠BEO+∠DFO＝2（∠BEP+∠DFP）， 由（2）的证明可得：∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∴∠EOF＝2（∠BEP+∠DFP）＝2∠EPF． 故答案为：∠EOF＝2∠EPF． 【点评】本题考查命题与定理，平行线的性质，关键是灵活应用平行线的性质来解决问题． 26．（8分）在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰△ABC纸片中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D． （1）当∠BPC＝100°时，α＝ 　50　 °； （2）当AP等于何值时，△APD≌△BCP？请说明理由； （3）在点P的滑动过程中，存在△PCD是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角α的大小；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝30°，进而可以解决问题； （2）当AP＝5时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝120°， ∴∠B＝30°， ∴α＝180°﹣100°﹣30°＝50°； 故答案为：50； （2）当AP＝5时，△ADP≌△BPC；理由如下： ∵∠ACB＝120°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∵∠APC是△BPC的一个外角， ∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α， ∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD， ∴∠α＝∠APD， ∵AP＝BC＝5， 在△ADP和△BPC中， ， ∴△ADP≌△BPC（ASA）； （3）存在△PCD是等腰三角形；理由如下： ∵△PCD是等腰三角形， ∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时， ∴∠PCD＝∠PDC＝（180°﹣30°）＝75°， 即120°﹣α＝75°， ∴∠α＝45°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°， ∴α＝90°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°， 即120°﹣α＝120°， ∴α＝0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合， ∵点P不与A，B重合， ∴α＝0°，舍去， 综合所述，存在△PCD是等腰三角形；α＝45°或90°． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$