吉林省长春市德惠市第二十九中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

吉林省长春市德惠二十九中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．﹣3x+1＝4x﹣3 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2+y﹣3＝0 D．3x2﹣5＝7 2．（3分）下列属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）华为Mate40系列智能机搭载着麒麟9000，5nm制程芯片，集成了153亿个集成电路．1nm＝0.0000001cm，那么5nm用科学记数法表示为（　　） A．0.5×10﹣7cm B．0.5×10﹣8cm C．5×10﹣6cm D．5×10﹣7cm 4．（3分）将一次函数y＝kx+b向下平移5个单位长度后得到y＝2x﹣4，则y＝kx+b的表达式是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣9 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x+5 5．（3分）下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DOC＝120°，BD＝4，则AD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，AB＝4，点A、C均在反比例函数，x＞0）的图象上，若△ABC是等边三角形，则k的值为（　　） A．4 B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则x+3y＝　 　 ． 10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m的值为　 　 ． 11．（3分）如图是同一平面直角坐标系中函数y1＝2x和的图象．观察图象不等式的解集为 　 　 ． 12．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ 　 　 ． 13．（3分）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为　 　 ． 14．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF．给出下面四个结论：①△OEC≌△OFD；②CF＝OC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④∠OEF＝45°；⑤BE2+CE2＝OE2．上述结论中，所有正确的序号是　 　 ． 三、解答题（共78分） 15．（6分）计算： （1）； （2）3﹣2+． 16．（6分）解方程： （1）x﹣2＝x（x﹣2）； （2）x2﹣5x﹣6＝0． 17．（6分）某AI实验室使用DeepSeek模型进行大型文本处理任务，但在实际处理时由于优化了算法，每小时处理的文档数量比原计划增加20%，结果完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时，求原计划每小时处理多少篇文档？ 18．（7分）如图，在▱ABCD中，O为线段AB的中点，连接DB、DO，延长DO、CB交于点E，连接AE，且满足∠AEB＝90°． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）若CD＝5，BE＝3，则四边形AECD的面积是 　 　 ． 19．（7分）图①、图②、图③分别是5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在如图网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，保留作图痕迹． （1）在图①中画一个以AB为对角线的菱形ACBD； （2）在图②中画一个以AB为斜边的等腰直角△ABE； （3）在图③中画一个面积为7的四边形ABMN，且有一个内角为45°． 20．（7分）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（满分为10分）．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 s2 C 8 n 83 2.01 （1）填空：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）通过比较方差，判断测试员对　 　 （填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）按图象识别能力测试成绩占40%，运动能力测试成绩占60%计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 22．（9分）感知：如图①，▱ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．证明：四边形OCED是平行四边形． 拓展：如图②，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．判断四边形OCED的形状，并说明理由； 应用：如图③，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠DBC＝30°，BC＝5，DE∥AC交BC的延长线于点F，CE∥BD．求四边形ACFD的周长是　 　 ． 23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝8，AE＝6．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A重合时，连结PE，以PE、EB为边构造平行四边形PEBF，设点P的运动时间为t（t＞0）秒． （1）当0＜t＜4时，DP＝　 　 ，4≤t≤12时，DP＝　 　 ．（用含t的代数式表示） （2）当点P不与点D重合，t＝　 　 ，四边形PEBF是菱形；t＝　 　 ，四边形PEBF是矩形． （3）当点P在线段DC上运动时，设▱PEBF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． （4）作点A关于直线PE的对称点A′，连结A′E，当A′E⊥AB时，直接写出t的值． 24．（12分）在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点Q（x，y）若满足，则称点P为点Q的友谊点．例如点（2，1）的友谊点为（5，2）． （1）点P（﹣2，2）的友谊点坐标是 　 　 ；若点P的友谊点为（7，﹣2），则点P的坐标是 　 　 ． （2）若点P（a，5）的友谊点在直线y＝2x﹣3上，则a的值为 　 　 ． （3）点P在直线y＝2x﹣1上，其横坐标为x0，点Q为点P的友谊点．若点Q到y轴的距离等于它到x轴的距离的2倍，求x0的值． （4）正方形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，5），B（3，5），C（3，2），D（0，2）．点P（m，n）在直线y＝x+1上，点Q为点P的友谊点，连结PQ，当线段PQ与正方形ABCD的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 吉林省长春市德惠二十九中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D A B C B D 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．﹣3x+1＝4x﹣3 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2+y﹣3＝0 D．3x2﹣5＝7 【分析】根据一元二次方程的定义即可得出答案． 【解答】解：A．未知数的最高次数是1，不满足题意，不符合题意； B．当a＝0时，不满足题意，不符合题意； C．含有x、y两个未知数，不符合题意； D．满足一元二次方程的定义，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（3分）下列属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察． 【解答】解：A．＝2，不符合题意； B．是最简二次根式； C．＝2，不符合题意； D．＝，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 3．（3分）华为Mate40系列智能机搭载着麒麟9000，5nm制程芯片，集成了153亿个集成电路．1nm＝0.0000001cm，那么5nm用科学记数法表示为（　　） A．0.5×10﹣7cm B．0.5×10﹣8cm C．5×10﹣6cm D．5×10﹣7cm 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：5nm＝0.0000005cm＝5×10﹣7cm， 故选：D． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．（3分）将一次函数y＝kx+b向下平移5个单位长度后得到y＝2x﹣4，则y＝kx+b的表达式是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣9 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x+5 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝kx+b向下平移5个单位长度后所得函数的解析式为y＝kx+b﹣5 ∵直线y＝kx+b向下平移5个单位长度后，得到直线y＝2x﹣4． ∴k＝2，b﹣5＝﹣4， ∴b＝1， ∴这个一次函数表达式为：y＝2x+1， 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 5．（3分）下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的加减法及基本性质逐项判断即可． 【解答】解：无法进行约分，则A不符合题意， 的分子、分母同时乘以2得，则B符合题意， ，则C不符合题意， 无法进行约分，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查分式的加减法及基本性质，熟练掌握其性质及运算法则是解题的关键． 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DOC＝120°，BD＝4，则AD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【分析】根据矩形性质得OA＝OD＝OB＝BD＝2，根据∠DOC＝120°得∠AOD＝60°，进而得△OAD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出AD的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线BD＝4， ∴OA＝OD＝OB＝BD＝2， ∵∠DOC＝120°， ∴∠AOD＝180°﹣∠DOC＝60°， ∴△OAD是等边三角形， ∴OA＝OD＝AD＝2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，所以∠OAE＝∠OCF，而∠AOE＝∠COF，即可证明△AOE≌△COF，得OE＝OF＝5，AE＝CF，则EF＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，由2AB+2CB＝30，得AB+CB＝15，则AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝25，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O， ∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF＝5，AE＝CF， ∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB， ∵▱ABCD的周长为30， ∴2AB+2CB＝30， ∴AB+CB＝15， ∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25， ∴四边形ABFE的周长是25， 故选：B． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AOE≌△COF是解题的关键． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，AB＝4，点A、C均在反比例函数，x＞0）的图象上，若△ABC是等边三角形，则k的值为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】作CD⊥x轴，设点B坐标为（m，0），则A（m，4），利用等边三角形性质得到BC＝4和∠CBD＝30°，解直角三角形得到点C坐标，列出关于m的方程解出m即可得到k值． 【解答】解：如图，作CD⊥x轴，垂足为点D， 设点B坐标为（m，0），则A（m，4）， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∵AB⊥x轴， ∴∠CBD＝30°， ∴CD＝＝2，BD＝， ∴C（m+2，2）， ∵A（m，4），C（m+2，2）都在反比例函数y＝的图象上， ∴4m＝2m+4， 解得m＝2， ∴k＝4m＝4×2＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，求出点A、C关于m的坐标是解答本题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 9．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则x+3y＝　3　 ． 【分析】根据同类二次根式的定义解答即可． 【解答】解：根据题意，得2+x＝5﹣3y， 解得x+3y＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m的值为　﹣2　 ． 【分析】把x＝0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0中，得 m2﹣4＝0， 解得m＝﹣2或2， 当m＝2时，原方程二次项系数m﹣2＝0，舍去， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念． 11．（3分）如图是同一平面直角坐标系中函数y1＝2x和的图象．观察图象不等式的解集为 　x＜﹣1或0＜x＜1　 ． 【分析】依据题意，结合图象，数形结合分析判断即可． 【解答】解：由图象，函数函数y1＝2x和的图象的交点横坐标为﹣1，1， ∴当x＜﹣1或0＜x＜1时，y1＜y2，即2x＜． 故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1． 【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用数形结合思想解题是关键． 12．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ 　　 ． 【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，AB＝＝5， ∵S菱形ABCD＝•AC•BD， S菱形ABCD＝DH•AB， ∴DH•5＝•6•8， ∴DH＝． 故答案为． 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半． 13．（3分）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为　且a≠3　 ． 【分析】先根据解分式方程的一般步骤求出x＝2a﹣3，然后根据分式方程的解为正数列不等式求解即可． 【解答】解：， 2x+a﹣3a＝x﹣3， 解得：x＝2a﹣3， ∵分式方程的解是正数， ∴2a﹣3＞0且2a﹣3≠3， 解得：且a≠3． 故答案为：且a≠3． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握解分式方程的一般步骤是关键． 14．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF．给出下面四个结论：①△OEC≌△OFD；②CF＝OC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④∠OEF＝45°；⑤BE2+CE2＝OE2．上述结论中，所有正确的序号是　①③④　 ． 【分析】由正方形的性质得OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC＝BD，AC⊥BD，则OC＝OD，∠COD＝90°，而∠EOF＝90°，可证明∠COE＝∠DOF，推导出∠OCE＝∠ODF＝45°，即可根据“ASA”证明△OEC≌△OFD，可判断①正确；由F为CD上的动点，O为AC上的定点，可知CF与OC不一定相等，可判断②错误；由S△OEC＝S△OFD，推导出S四边形CEOF＝S△COD＝S正方形ABCD，可判断③正确；由OE＝OF，∠EOF＝90°，得∠OEF＝∠OFE＝45°，可判断④正确；由CB＝CD，CE＝DF，证明BE＝CF，则BE2+CE2＝CF2+CE2＝EF2＝2OE2≠OE2，可判断⑤错误，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O， ∴CB＝CD，AC＝BD，OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC⊥BD，∠BCD＝90°， ∴OC＝OD，S△COD＝S△DOA＝S△AOB＝S△BOC＝S正方形ABCD，∠COD＝90°， ∵点E、F分别在BC、CD上，且∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF＝90°﹣∠CON， ∴∠OCE＝∠OCD＝∠BCD＝45°，∠ODF＝∠OCD＝45°， ∴∠OCE＝∠ODF， 在△OEC和△OFD中， ， ∴△OEC≌△OFD（ASA）， 故①正确； ∴OE＝OF，CE＝DF， ∵F为CD上的动点，O为AC上的定点， ∴线段CF的长度不确定，而OC的长度确定， ∴CF与OC不一定相等， 故②错误； ∵S△OEC＝S△OFD， ∴S四边形CEOF＝S△OEC+S△OFC＝S△OFD+S△OFC＝S△COD＝S正方形ABCD， 故③正确； ∵OE＝OF，∠EOF＝90°， ∴∠OEF＝∠OFE＝45°， 故④正确； ∵CB＝CD，CE＝DF， ∴CB﹣CE＝CD﹣DF， ∴BE＝CF， ∴BE2+CE2＝CF2+CE2＝EF2， ∵EF2＝OE2+OF2＝2OE2， ∴BE2+CE2＝2OE2≠OE2， 故⑤错误， 故答案为：①③④． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出OC＝OD，∠COE＝∠DOF，∠OCE＝∠ODF，进而证明△OEC≌△OFD是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15．（6分）计算： （1）； （2）3﹣2+． 【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用二次根式的乘法法则计算后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝9+4×（﹣1）﹣8+1 ＝9﹣4﹣8+1 ＝﹣2； （2）原式＝﹣+ ＝﹣+2 ＝2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16．（6分）解方程： （1）x﹣2＝x（x﹣2）； （2）x2﹣5x﹣6＝0． 【分析】（1）首先移项使方程的右边变成0，则左边即可提取公因式x﹣2，用因式分解法求解； （2）方程左边可以分解因式，因而可以用因式分解法求解． 【解答】解：（1）x﹣2＝x（x﹣2）， 即x﹣2﹣x（x﹣2）＝0， 因式分解，得（x﹣2）（1﹣x）＝0， ∴x﹣2＝0，1﹣x＝0， ∴x1＝2，x2＝1； （2）因式分解，得（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0，x+1＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣1． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 17．（6分）某AI实验室使用DeepSeek模型进行大型文本处理任务，但在实际处理时由于优化了算法，每小时处理的文档数量比原计划增加20%，结果完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时，求原计划每小时处理多少篇文档？ 【分析】设原计划每小时处理x篇文档，则实际每小时处理1.2x篇文档，根据“完成600篇文档的处理任务时，实际用时比原计划少用了2小时”建立方程求解即可． 【解答】解：设原计划每小时处理x篇文档， ∴得， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是此方程的根， 答：原计划每小时处理50篇文档． 【点评】本题考查了分式方程的应用，读懂题意找到关系式，建立分式方程是解题的关键． 18．（7分）如图，在▱ABCD中，O为线段AB的中点，连接DB、DO，延长DO、CB交于点E，连接AE，且满足∠AEB＝90°． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）若CD＝5，BE＝3，则四边形AECD的面积是 　12　 ． 【分析】（1）由O为线段AB的中点，得到AO＝BO，根据平行线的性质得到∠DAO＝∠EBO，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，推出四边形AEBD是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形AEBD是矩形； （2）根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝5，根据勾股定理得到AE＝＝4，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵O为线段AB的中点， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠EBO， 在△AOD与△BOE中， ， ∴△AOD≌△BOE（ASA）， ∴OD＝OE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵∠AEB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5， ∵BE＝3，∠AEB＝90°， ∴AE＝＝4， ∴四边形AECD的面积＝4×3＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19．（7分）图①、图②、图③分别是5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在如图网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，保留作图痕迹． （1）在图①中画一个以AB为对角线的菱形ACBD； （2）在图②中画一个以AB为斜边的等腰直角△ABE； （3）在图③中画一个面积为7的四边形ABMN，且有一个内角为45°． 【分析】（1）根据题意，画以AB为对角线的菱形即可． （2）根据题意，画以AB为斜边的等腰直角△ABE即可． （3）根据题意，画一个面积为7的四边形ABMN，且有一个内角为45°即可． 【解答】解：（1）如图1，菱形ACBD即为所作； （2）如图2，等腰直角△ABE即为所作； （3）如图3，四边形ABMN即为所作（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握网格作图、菱形的性质是解答本题的关键． 20．（7分）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（满分为10分）．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 s2 C 8 n 83 2.01 （1）填空：m＝　9　 ，n＝　8　 ； （2）通过比较方差，判断测试员对　B　 （填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）按图象识别能力测试成绩占40%，运动能力测试成绩占60%计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【分析】（1）把A款机器人测试员打分从低到高排列可得m＝9，由扇形统计图可得n＝8； （2）根据方差的意义分析即可； （3）根据图象识别能力测试成绩占40%，运动能力测试成绩占60%，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案． 【解答】解：（1）由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数m＝＝9， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分， ∴n＝8， 故答案为：9；8； （2）由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴＜1.85， 由表知， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 故答案为：B； （3）∵A款机器人的综合成绩为87×40%+85×60%＝85.8（分）， B款机器人的综合成绩为85×40%+87×60%＝86.2（分）， C款机器人的综合成绩为90×40%+83×60%＝85.8（分）， ∵86.2＞85.8， ∴综合成绩最高的是B款机器人． 【点评】本题考查扇形统计图，折线统计图和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． 22．（9分）感知：如图①，▱ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．证明：四边形OCED是平行四边形． 拓展：如图②，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．判断四边形OCED的形状，并说明理由； 应用：如图③，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠DBC＝30°，BC＝5，DE∥AC交BC的延长线于点F，CE∥BD．求四边形ACFD的周长是　20　 ． 【分析】感知：利用两组对边平行的四边形是平行四边形即可得出结论； 拓展：先判断出四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC＝OD，即可得出结论； 应用：先判断出四边形ACFD是平行四边形，再根据平行四边形以及菱形的性质得证得△ABC是等边三角形，即可得出结论． 【解答】感知：证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边； 拓展：解：四边形OCED是菱形， 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC＝BD， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形； 应用：解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB＝BC， ∵DE∥AC， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴CF＝AD＝BC＝5，DF＝AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠DBC＝30°， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴DF＝AC＝AB＝5， ∴四边形ACFD的周长为AC+CF+DF+DF+AD＝4×5＝20． 故答案为：20． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出四边形OCED是平行四边形是解本题的关键． 23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝8，AE＝6．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A重合时，连结PE，以PE、EB为边构造平行四边形PEBF，设点P的运动时间为t（t＞0）秒． （1）当0＜t＜4时，DP＝　6﹣2t　 ，4≤t≤12时，DP＝　2t﹣6　 ．（用含t的代数式表示） （2）当点P不与点D重合，t＝　10　 ，四边形PEBF是菱形；t＝　7　 ，四边形PEBF是矩形． （3）当点P在线段DC上运动时，设▱PEBF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． （4）作点A关于直线PE的对称点A′，连结A′E，当A′E⊥AB时，直接写出t的值． 【分析】（1）当0＜t＜4时，DP＝AD﹣AP＝6﹣2t，当4≤t≤12时，DP＝2t﹣AD＝2t﹣6； （2）当点P在DC上时，可得出PF＝BF＝BE＝AB﹣AE＝16﹣6＝10，BC＝AD＝8，CF＝6，从而得出PC＝PF﹣CF＝4，PD＝CD﹣CP＝16﹣4＝12，进一步得出结果；当四边形PEBF是矩形时，可得PD＝AE＝6，2t＝AD+PD＝14，进而得出结果； （3）当4≤t≤7时，S＝BE•AD＝10×8＝80，当7＜t≤12时，S＝80﹣×8（2t﹣14）＝136﹣8t； （4）当点P在AD上时，可得出A′E＝AE＝6，∠A′EP＝∠AEP＝＝45°，∠APE＝∠AEP，从而得出AP＝AE＝6，进而得出结果；同样求得当点P在CD上时的情形． 【解答】解：（1）当0＜t＜4时，DP＝AD﹣AP＝6﹣2t， 当4≤t≤12时，DP＝2t﹣AD＝2t﹣6， 故答案为：6﹣2t，2t﹣6； （2）如图1， 当点P在DC上时， ∵PF＝BF＝BE＝AB﹣AE＝16﹣6＝10，BC＝AD＝8， ∴CF＝6， ∴PC＝PF﹣CF＝4， ∴PD＝CD﹣CP＝16﹣4＝12， ∴2t＝AD+PD＝20， ∴t＝10， 如图2， 当四边形PEBF是矩形时，可得PD＝AE＝6， ∴2t＝AD+PD＝14， ∴t＝7， 故答案为：10，7； （3）当4≤t≤7时， S＝BE•AD＝10×8＝80， 当7＜t≤12时， S＝80﹣×8（2t﹣14）＝136﹣8t， 综上所述：S＝； （4）如图3， 当点P在AD上时， ∵点A关于直线PE的对称点是A′， ∴A′E＝AE＝6，∠A′EP＝∠AEP＝＝45°， ∵∠A＝90°， ∴∠APE＝45°， ∴∠APE＝∠AEP， ∴AP＝AE＝6， ∴t＝3； 如图4， 当点P在CD上时，设A′E交CD于W， 由上知， PW＝EW＝AD＝8， ∴AD+DP＝8+6+8＝22， ∴t＝11， 综上所述：t＝3或11． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类推论． 24．（12分）在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点Q（x，y）若满足，则称点P为点Q的友谊点．例如点（2，1）的友谊点为（5，2）． （1）点P（﹣2，2）的友谊点坐标是 　（﹣3，4）　 ；若点P的友谊点为（7，﹣2），则点P的坐标是 　（3，﹣1）　 ． （2）若点P（a，5）的友谊点在直线y＝2x﹣3上，则a的值为 　　 ． （3）点P在直线y＝2x﹣1上，其横坐标为x0，点Q为点P的友谊点．若点Q到y轴的距离等于它到x轴的距离的2倍，求x0的值． （4）正方形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，5），B（3，5），C（3，2），D（0，2）．点P（m，n）在直线y＝x+1上，点Q为点P的友谊点，连结PQ，当线段PQ与正方形ABCD的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据“友谊点”的定义进行求解即可； （2）若点P（a，5）的友谊点为（2a+1，10），即（2a+1，10），由点（2a+1，10）在直线y＝2x﹣3上，可得2×（2a+1）﹣3＝10，解之可得； （3）先根据点Q为点P的友谊点．求得Q（2x0+1，4x0﹣2），再由点Q到y轴的距离等于它到x轴的距离的2倍，列出方程|2x0+1|＝2|4x0﹣2|，求解即可； （4）先根据题意画出图形，再求得Q（2m+1，2m+2）也在直线y＝x+1上，然后根据题意分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得：点P（﹣2，2）的友谊点坐标是（﹣2×2+1，2×2），即（﹣3，4）； 若点P的友谊点为（7，﹣2），则， ∴． ∴P（3，﹣1）， 故答案为：（﹣3，4），（3，﹣1）． （2）由题意得，点P（a，5）的友谊点为（2a+1，10）， ∵点（2a+1，10）在直线y＝2x﹣3上， ∴2×（2a+1）﹣3＝10， ∴a＝． 故答案为：． （3）∵点P在直线y＝2x﹣1上，其横坐标为x0， ∴P（x0，2x0﹣1）， ∵点Q为点P的友谊点． ∴Q（2x0+1，4x0﹣2）， ∵点Q到y轴的距离等于它到x轴的距离的2倍， ∴|2x0+1|＝2|4x0﹣2|， ∴x0＝或； （4）如图， 将y＝2代入y＝x+1中，得x＝1， 则F（1，2）， 将x＝3代入y＝x+1中，得y＝4， 则E（3，4）， ∵P（m，n）在直线y＝x+1上， ∴P（m，m+1）， ∵点Q为点P的友谊点， ∴Q（2m+1，2m+2）， 令x＝2m+1，y＝2m+2，得y＝x+1， ∴Q（2m+1，2m+2）也在直线y＝x+1上， 当线段PQ与正方形ABCD的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论： 当点P在点F下方（含点F），点Q在线段EF上时，符合题意， ∴，解得，0≤m≤1 当点P在线段EF上，点Q在点E上方（含点E）时，符合题意， ∴，解得1≤m≤3， 故m的取值范围是0≤m≤3． 【点评】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“理想点”的定义，并熟练加以运用，及一次函数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$