第6讲角平分线的性质和判定 暑假预习自学课 2025-2026学年人教版数学八年级上册

暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第6讲角平分线的性质和判定 ·内容一 角平分线的作法 ·内容二 角平分线的性质 ·内容三 角平分线的判定 ·内容四 课后作业 角平分线的作法 角平分线的作法 1.以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 N、M； 2.分别以点 M、N 为圆心，大于 1 2MN 的长为半径作弧，相交于点 P； 3.画射线 OP,OP 即为所求角平分线 【考点1：识别角平分线的尺规作图方法】 例题1.如图的尺规作图是作(    ) A. 线段的垂直平分线 B. 一个角等于已知角 C. 一条直线的平行线 D. 一个角的平分线 【答案】D  变式1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质连接、，根据证，即可得到答案． 【解答】 解：连接、， 在和中 ， ， 故选A． 【考点2：识别角平分线后进行相关计算】 例题2.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点若，，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键． 判断出是的平分线，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】 解：由题意得是的平分线，过点作于， 又， ， 的面积． 故选B． 变式2.如图，在中，，是边上一动点，连接，根据作图痕迹，若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  例题3.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式3.如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为    A. B. C. D. 无法确定 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线的画法与性质，垂线段的性质，首先由图形可知是的平分线，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等和垂线段最短进行求解即可． 【解答】 解：由图可知平分， ，， 点到的距离为， 的最小值为． 故选A． 例题4.如图，已知，以点为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作交于点，则的度数是          ． 【答案】  变式4.如图，以的顶点为圆心，以为半径作弧，交的两边于，两点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若，则点到的距离为          ． 【答案】  【解析】解：由作法得，平分， ， 过点作于，如图， 在中，， ， 即点到的距离为． 故答案为． 利用基本作图得到，平分，则，过点作于，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出即可． 本题考查了作图作一个角的平分线及直角三角形的性质． 【考点3：利用尺规作图画角平分线】 例题5.如图，已知． 尺规作图：作的平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； 如果，，的面积为，求的面积． 【答案】解：如图，为所作； 平分， 点到和的距离相等， ：：，即：：， ．  【解析】本题考查了作一个角的平分线，也考查了角平分线的性质，三角形的面积． 利用基本作图作的平分线即可； 先根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则利用三角形面积公式得到：：，然后利用比例的性质可求出的面积． 变式5.如图，在中，． 尺规作图：作的平分线交于点；保留作图痕迹，不写作法，标明字母 在的条件下，若，，求点到边的距离． 【答案】解：如图，射线即为所求； 过点作于点． ，，， ， 平分，，， ， ， ， 即， ， 点到边的距离为．  角平分线的性质 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 【考点1：角平分线性质的直接应用】 例题1.如图，若平分，，，垂足分别是，，则下列结论中错误的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  :变式1（1）.如图，为的平分线，于点，于点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式1（2）.如图，点是平分线上的一点，点在上，点在上，添加下列条件，仍不能得到的是(    ) A. ， B. C. D. 【答案】D  【解析】解：点是平分线上的一点， 当，时，，故A选项能得到； 当时，≌，故，故B选项能得到； 当时，≌，故，故C选项能得到； 当时，不能得到，故D选项符合题意； 故选：． 依据各选项中的条件，判定≌，进而得出不能得到的条件． 本题主要考查了全等三角形的判定与角平分线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【考点2：角平分线性质与三角形的面积】 例题2.如图，在中，平分，若，，则          ． 【答案】  变式2.如图，点是的平分线上一点，于，且，，则的面积是          ． 【答案】  【考点3：角平分线性质与三角形的全等】 例题3.如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为          ． 【答案】  变式3（1）.如图，在中，，平分，于点，若，，则的周长为          ． 【答案】  变式3（2）.如图，，平分，直角三角板的顶点在射线上移动，两直角边分别与，相交于点，，问与相等吗？试说明理由． 【答案】解：理由如下： 如图，过点分别作，，垂足分别为，． 又平分， ． ，   ． ． ． 又， ． ． 在和中，      ． ．  【解析】略 变式3（3）如图，四边形中，，，，于点求证：． 【答案】证明：， ， ， ，即平分， 又，于点， ．  【考点4：双重角平分线性质与三角形的面积比问题】 例题4.如图所示，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线相交于点，则          ． 【答案】：：  【解析】【分析】 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】 解：作于，于，于， 三条角平分线交于点，，，， ， ：：：：：：， 故答案为：：． 变式4（1）.如图，的角平分线相交于点，已知，，，则          ． 【答案】  变式4（2）.如图，是的三条内角的平分线的交点，已知，则          ． 【答案】  角平分线的判定 角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 符号语言：∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB ∴OC平分∠AOB 【考点1：角平分线判定的直接应用】 例题1.如图，是内部的一条射线，已知于点，于点，添加下列条件，一定可以判定平分的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式1（1）.图中，若，则能判定点在的平分线上的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式2（2）.如图，直线，相交于点，于点，于点若，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  变式2（3）.如图，是内一点，，，垂足分别为，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【考点2：角平分线判定与三角形的角平分线综合】 例题2.如图，点在内，且到三边的距离相等，连接，若，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式2（1）.在三角形中，到三边距离相等的点是(    ) A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 内部任意一点 【答案】B  变式2（2）.三条公路将，，三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建在(    ) A. 三条高所在直线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 【答案】C  【考点3：利用角平分线的判定求角的度数】 例题3.如图，点在的内部，于点，于点，，当          时，点在的平分线上，即          平分． 【答案】    变式3（1）.如图，，于点，于点若，则的度数为          ． 【答案】  变式 3（2）.如图，于，于，，，则          ． 【答案】  【考点4：角平分线的判定与三角形的全等】 例题4.如图，，是的中点，平分求证：平分提示：过点作，垂足为 【答案】证明：过点作于点，如图所示． ， ，． 平分， ． 又是的中点， ，． ，， 是的平分线， 即平分．   变式4（1）.如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点求证： 点到三边，，所在直线的距离相等； 点在的平分线上． 【答案】(1)证明：如图所示，过点P分别作PH⊥AC，PI⊥BC，PJ⊥AB，垂足分别为点H，I，J． ∵BF是∠CBD的平分线，点P在BF上， ∴PI＝PJ． 同理，PH＝PI． ∴PH＝PI＝PJ． ∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．   (2)由（1）得PH＝PJ，且PH⊥AC，PJ⊥AB，∴点P在∠A的平分线上．  变式4（2）如图，已知于点，于点，，相交于点若，求证：平分． 【答案】证明：，， ， 在和中， ， ≌， ， 又，， 平分．  变式4（3）已知：如图所示，在中，，求证：平分． 【答案】证明：过点作于点，于点． 在和中，      ． ． 又，， 平分．  （满分120分） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，在中，，的平分线交于点若，，则点到边的距离是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.如图，在中，，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  3.如图，在四边形中，平分，，已知，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  4.如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：过作于， 是的角平分线，， ， ， 的面积为， 的面积为， ， ， ， 故选：． 根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案． 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 5.将两个完全相同的三角尺按图所示的方式放置，使顶点重合于点处，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，在中，是的平分线，于点，于点，，，则的长为          ． 【答案】  7.如图，，和分别平分和，过点且与直线垂直．若，则点到的距离为          ． 【答案】  8.如图，在中，，为边上一点，连接，过点作于点已知，，则的度数为          ． 【答案】  9.如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，则的面积是          ． 【答案】  10.如图，已知于点，于点，，分别平分和，点在线段上．若，，则的长是          ． 【答案】  三、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知，用尺规作图作出的平分线，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】解：如图，射线即为所求．   【解析】本题主要考查的是角平分线的画法的有关知识，根据角平分线的画法进行作图即可． 12.如图，，，分别是三边上的点，，和的面积相等．求证：平分． 【答案】证明：过点作于，于，，，又，点在的平分线上，即平分．  13.如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为，求证：． 【答案】证明：是角平分线，，， ，， 在和中， ， ≌， ．  【解析】根据角平分线的性质得，再通过证明≌即可解决问题． 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键． 14.如图，射线平分，过射线上一点分别作于点，于点，连接交于点求证：． 【答案】证明：平分，，， ，， 在和中， ，， 在和中， ，．   15.如图，，，垂足分别为，，与相交于点，且． 求证：． 【答案】证明：， ，， ，， ≌ ， 在和中， ， ≌， ．  【解析】先由≌得，再证≌，即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质． 16.如图，，，垂足分别为，，，，相交于点，连接求证：平分． 【答案】证明：，，  在和中，  又，，平分．  17.如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明： ； ． 【答案】(1)∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠EAD．  又DE⊥AB，DC⊥AC， ∴∠DCA＝∠DEA＝90°． ∵AD＝AD， ∴△ADC≌△ADE(AAS)， ∴DC＝DE．  在Rt△CFD和Rt△EBD中，    ∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)． ​​​​​​​∴CF＝EB．  (2)由（1），知CF＝EB，△ADC≌△ADE(AAS)， ∴AC＝AE． ​∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第6讲角平分线的性质和判定 ·内容一 角平分线的作法 ·内容二 角平分线的性质 ·内容三 角平分线的判定 ·内容四 课后作业 角平分线的作法 角平分线的作法 1.以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 N、M； 2.分别以点 M、N 为圆心，大于 1 2MN 的长为半径作弧，相交于点 P； 3.画射线 OP,OP 即为所求角平分线 【考点1：识别角平分线的尺规作图方法】 例题1.如图的尺规作图是作(    ) A. 线段的垂直平分线 B. 一个角等于已知角 C. 一条直线的平行线 D. 一个角的平分线 变式1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是  (    ) A. B. C. D. 【考点2：识别角平分线后进行相关计算】 例题2.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点若，，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 变式2.如图，在中，，是边上一动点，连接，根据作图痕迹，若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 例题3.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 变式3.如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为    A. B. C. D. 无法确定 例题4.如图，已知，以点为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作交于点，则的度数是          ． 变式4.如图，以的顶点为圆心，以为半径作弧，交的两边于，两点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若，则点到的距离为          ． 【考点3：利用尺规作图画角平分线】 例题5.如图，已知． 尺规作图：作的平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； 如果，，的面积为，求的面积． 变式5.如图，在中，． 尺规作图：作的平分线交于点；保留作图痕迹，不写作法，标明字母 在的条件下，若，，求点到边的距离． 角平分线的性质 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 【考点1：角平分线性质的直接应用】 例题1.如图，若平分，，，垂足分别是，，则下列结论中错误的是  (    ) A. B. C. D. :变式1（1）.如图，为的平分线，于点，于点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 变式1（2）.如图，点是平分线上的一点，点在上，点在上，添加下列条件，仍不能得到的是(    ) A. ， B. C. D. 【考点2：角平分线性质与三角形的面积】 例题2.如图，在中，平分，若，，则          ． 变式2.如图，点是的平分线上一点，于，且，，则的面积是          ． 【考点3：角平分线性质与三角形的全等】 例题3.如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为          ． 变式3（1）.如图，在中，，平分，于点，若，，则的周长为          ． 变式3（2）.如图，，平分，直角三角板的顶点在射线上移动，两直角边分别与，相交于点，，问与相等吗？试说明理由． 变式3（3）如图，四边形中，，，，于点求证：． 【考点4：双重角平分线性质与三角形的面积比问题】 例题4.如图所示，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线相交于点，则          ． 变式4（1）.如图，的角平分线相交于点，已知，，，则          ． 变式4（2）.如图，是的三条内角的平分线的交点，已知，则          ． 角平分线的判定 角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 符号语言：∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB ∴OC平分∠AOB 【考点1：角平分线判定的直接应用】 例题1.如图，是内部的一条射线，已知于点，于点，添加下列条件，一定可以判定平分的是(    ) A. B. C. D. 变式1（1）.图中，若，则能判定点在的平分线上的是(    ) A. B. C. D. 变式2（2）.如图，直线，相交于点，于点，于点若，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 变式2（3）.如图，是内一点，，，垂足分别为，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【考点2：角平分线判定与三角形的角平分线综合】 例题2.如图，点在内，且到三边的距离相等，连接，若，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 变式2（1）.在三角形中，到三边距离相等的点是(    ) A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 内部任意一点 变式2（2）.三条公路将，，三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建在(    ) A. 三条高所在直线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 【考点3：利用角平分线的判定求角的度数】 例题3.如图，点在的内部，于点，于点，，当          时，点在的平分线上，即          平分．   变式3（1）.如图，，于点，于点若，则的度数为          ． 变式 3（2）.如图，于，于，，，则          ． 【考点4：角平分线的判定与三角形的全等】 例题4.如图，，是的中点，平分求证：平分提示：过点作，垂足为 变式4（1）.如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点求证： 点到三边，，所在直线的距离相等； 点在的平分线上． 变式4（2）如图，已知于点，于点，，相交于点若，求证：平分． 变式4（3）已知：如图所示，在中，，求证：平分． （满分120分） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，在中，，的平分线交于点若，，则点到边的距离是  (    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在四边形中，平分，，已知，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是  (    ) A. B. C. D. 5.将两个完全相同的三角尺按图所示的方式放置，使顶点重合于点处，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，在中，是的平分线，于点，于点，，，则的长为          ． 7.如图，，和分别平分和，过点且与直线垂直．若，则点到的距离为          ． 8.如图，在中，，为边上一点，连接，过点作于点已知，，则的度数为          ． 9.如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，则的面积是          ． 10.如图，已知于点，于点，，分别平分和，点在线段上．若，，则的长是          ． 三、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知，用尺规作图作出的平分线，保留作图痕迹，不写作法． 12.如图，，，分别是三边上的点，，和的面积相等．求证：平分． 13.如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为，求证：． 14.如图，射线平分，过射线上一点分别作于点，于点，连接交于点求证：．   15.如图，，，垂足分别为，，与相交于点，且． 求证：． 16.如图，，，垂足分别为，，，，相交于点，连接求证：平分． 17.如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明：；． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$