7.3.1离散型随机变量的均值课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量的均值 温故知新 求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； 高二18班的小明家经营了一家商场，最近商场的三种糖果出现了滞销，总共有n千克，成本如下图所示，小明同学向父亲提议将三种糖果混合起来卖，他设计了以下三种方案，这三种方案成本是多少？ 18元/千克 24元/千克 36元/千克 创设情境 方案1：按照1:1:1的比例将糖果混合，平均成本为多少元/千克？ 方案2：按照1:2:3的比例将糖果混合，平均成本为 多少元/千克？ 方案3：按照 的比例将糖果混合，平均成本为多少元/千克？ 3 问题1：你是怎样计算方案1中的单价呢？ 问题2：你是怎样计算方案2中的单价呢？那么方案3呢？ 问题3：在计算方案2、3中，我们用到了 在统计学中，我们怎么称呼这些数？如果其中的n足够大时我们会怎样称呼它呢？ 问题4：你能不能把方案2、3列出分布表并观察其中的运算规律呢？ 权数或者频率 概率 随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 概念形成 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 典例分析 例1. 口袋里有大小相同的4个小球，其中红色、黄色各2个，现从中取出2个小球，记X为取出来的小球中红色小球的个数，求X的均值 解：由题可知，X的所有可能取值为0,1,2 X的分布列如下表所示： X的均值为 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X). 关键步骤 方法总结 7 1.1、 为了丰富学生的校园生活，学校开展了跳绳，50米来回接力跑两项竞赛，每项竞赛获胜得10分，失败得0分，高二18班的同学参与了这两项比赛，在这两个项目中获胜的概率分别为0.5,0.6，各项竞赛结果相互独立，用X表示高二18班的总得分，求X的期望。 巩固练习 解：分别用A,B,表示高二18班分别参加两项竞赛获胜的事件，A,B相互独立，X可取值为0,10,20 例2 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A, B, C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示. 规则如下: 按照A, B, C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 典例分析 解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立 X的分布列如下表所示： X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为 2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为 　　商场经销一件该商品，采用1期付款,其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．用Y表示经销一件该商品的利润． 求Y的分布列及均值E(Y)． X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 练习巩固 解：Y的可能取值为200元，250元，300元. P(Y=200)=P(X=1)=0.4 P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4 P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2 因此Y的分布列为 Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元). 这个均值有什么意义？一定能获得240元吗？ (2021年新高考Ⅰ卷节选)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0．8，能正确回答B类问题的概率为0．6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． 若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分X，求得分X的分布列； 高考在线 解：由题可知，设小明的得分为X,则X的所有可能取值为0,20,100 所以的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 2. 求离散型随机变量X均值的的步骤 课堂小结 (1)确定取值； (2)求概率：； (3)写分布列； (4)求均值 1.随机变量X的分布列为 则X的均值是(　　) A.2 B.2.1 C.2.3 D.随m的变化而变化 解析:因为0.2+0.5+m=1,所以m=0.3. 所以E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1. 答案:B X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 课后练习A级 2.某射手射击所得环数Y的分布列如下表: 已知Y的均值E(Y)=8.9,则y的值为　　　　　.  答案:0.4 Y 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 课后练习A级 课后练习B级 4．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个．现从中任意取出3个小球，若取到红球得2分，取到黄球得3分，取到绿球得4分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的数学期望为________ 3.从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E(X)= _____ 8 9 课后练习C级 6.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值. 解：由题意得，X可能的取值为1, 2, 3, 4, 5，则 X 1 2 3 4 5 P 课后练习C级 由离散型随机变量均值的定义知E(X)= ×(1+2+3+4+5)=3 P(X=4)= ，P(X=5)= P(X=1)= ，P(X=2)= ，P(X=3)= 故X的分布列为 解析:由得y=0.4. 5.(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. 解: (1)由甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每个项目获胜的概率如下表: 学校 获胜概率 项目一 项目二 项目三 甲 0.5 0.4 0.8 乙 0.5 0.6 0.2 甲学校要获得冠军,至少要获胜2个项目, 甲学校3个项目全胜的概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16, 甲学校仅有两个项目获胜的概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, 所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6. (2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为: P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34, P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06, 则X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13. $$