7.2 .1 一元一次不等式的概念及解法 教学设计-2024-2025学年沪科版（2024）七年级数学下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 下学期 课题 7.2.1 一元一次不等式的概念及解法 教科书 书 名：沪科版七年级下册数学教材 出版社：上海科学技术出版社 教学目标 1.类比一元一次方程的有关概念、解法、学习一元一次不等式的有关概念、解法。 2.根据不等式的基本性质，掌握一元一次不等式解法的基本步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）。 3.能准确在数轴上表示解集，通过数轴将抽象解集可视化，强化几何直观。 教学重难点 教学重点： 1. 解含括号的一元一次不等式。 2. 用数轴表示一元一次不等式的解集。教学难点： 正确表示不等式的解集 教学过程 在本章的学习过程中，你可以持续思考以下问题： 1.为什么要学习不等式？不等式的本质是什么？ 2.如何得到一个不等式？求解不等式的基本思路是什么？ 单元知识学习脉络 不等式的基本性质 ( 一元一次不等 式的概念 ) ( 不等式的概念 )一元一次不等式的应用 设计目的：通过构建单元整体知识网络，帮助学生明确单元学习的主线，理解不等式的意义与实质。通过引导学生思考“为何学习不等式 ”“如何建模 ”“如何求解 ”等核心问题，逐步培养数学思维能力，建立知识点之间的内在联系，为后续知识的深入学习与应用奠定坚实基础。 环节一：情境导入，引入新知 问题：某公司的统计资料表明，科研经费每增加 1 万元，年利润就增加 1。8 万元。如果该公司原来的年利润是 200 万元，要使年利润超过 245 万元，那么增加的科研经费应高于多少万元？ 合作探究： 1、小组合作充分讨论； 2、每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3、讨论时间 3 分钟。 师生活动：教师给出问题，引得学生进行分析，学生尝试用学过的知识思考，并在小组内交流，汇总并举手发言。 分析：设该公司增加科研经费 x 万元，那么年利润就增加 1.8x 万元。因为利润要超过245 万元，所以 200+1.8x>245。 思考：你所列的式子具有什么特征?能否类比一元一次方程的特征得到不等式的特征? 总结：不等式的特征: (1)只含有一个未知数； (2)未知数的次数是 1； (3)不等号两边都是整式。 思考：类比一元一次方程的概念，这样的不等式该如何定义呢？ 总结：只含有一个未知数，未知数的次数是 1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。 设计意图：让学生类比表示等量关系的方程思想得出用不等式表示数量的不等关系，同时通过对比分析，有利于学生形成良好的数学思维习惯。 环节二：合作探究，获得新知 思考：一般地，利用不等式的性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集。对于不等式 200+1.8x>245，该如何求解呢？ 合作探究： 1.小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间 3 分钟。 师生活动：教师给出问题，学生积极思考，小组讨论然后回答问题。学生解题的过程可能是多元的，课堂上不要限制学生思维，更不要故意将学生往教师所需要的方面引导，留给学生足够的时间让他们充分表达自己的想法，相信学生有能力找到最优的解题方法。 预设答案：解：对于不等式 200+1.8x＞245，根据不等式的性质 1，两边同时减去 200，得 200+1.8x -200＞245-200。即：1.8x＞45。 再根据不等式的性质 2，两边同时除以 1.8，得：x＞25。 因此，这个不等式的解集为 x＞25。 总结：像这样求不等式的解集的过程叫作解不等式。 解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a 的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为 x<a 或x>a 的形式。 设计意图：利用不等式的性质解题，让学生感受利用不等式性质 1 的实质就是移项，渗透类比思想，初步体会解不等式与解方程的联系，为下一环节铺垫。 思考：类比解一元一次方程的步骤，你能解出不等式：2x+5≤7(2-x)，并把它的解集在数轴上表示出来吗？ 合作探究： 1.小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间 3 分钟。 师生活动：教师先要求学生解方程：2x+5=7(2-x)，对比解方程的过程来解一元一次不等式。小组讨论解一元一次不等式，然后找学生上台板演解题步骤，最后教师点评。教师边讲边引导学生理解每一步变形的依据，特变强调:当不等式两边都同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向改变。 预设答案：解方程：2x+5=7(2-x) 解：去括号，得：2x+5=14-7x . 移项，得：2x+7x= 14 - 5. 合并同类项，得：9x = 9. x 系数化为 1，得：x = 1. 解不等式： 2x+5≤7(2-x) 解：去括号，得：2x+5≤14-7x. 移项，得：2x+7x≤ 14 - 5. 合并同类项，得：9x≤ 9. x 系数化为 1，得：x≤1 . 追问：如何在数轴上表示不等式的解集呢？ 因为x≤1，解集包括 1，所以是实心点。 思考：解不等式时也可以“移项 ”，依据是什么? 移项时，是否要改变不等号的方向？ 合作探究： 1.小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间 3 分钟. 师生活动：学生先独立思考后，师生交流讨论共同总结。 预设答案：解不等式“移项 ”的依据是不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变。所以移项时不需要改变不等号的方向。 设计意图：通过对上面例题的分析，学生已有初步解不等式的经验，例题讲解，让学生加深对解不等式的方法步骤的理解，通过画数轴表示不等式的解集，使学生直观感受不等式解集的无限性，渗透数形结合的思想，同时培养学生迁移类比的思想，符合学生的最近发展区。 环节三：应用新知，能力提升 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答。然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程。 例 1 若(m + 3)x m+2 − 5 > 8 是关于x 的一元一次不等式，则 m = . 分析：因为(m + 3)x m+2 − 5 > 8 是关于x 的一元一次不等式，所以m + 3 ≠ 0 ， m + 2 = 1 . 解得：m =- 1. 故答案为：-1. 预设答案：-1. 设计意图：让学生进一步加深对一元一次不等式的认识和理解，培养学生的应用意识.例 2 解下列不等式，并把解集用数轴表示出来. (1) 4(2x - 1) > 3(4x + 2) + 2 (2) 2(5x + 3) ≤ x - 3(1 - 2x) 分析：首先进行去括号，移项，合并同类项，进而解一元一次不等式即可. 预设答案：解： (1) 4(2x - 1) > 3(4x + 2) + 2 去括号，得 8x - 4 > 12x + 6 + 2 移项，得 8x - 12x > 6 + 2 + 4 合并同类项，得-4x > 12系数化为 1，得 x <- 3. 将解集表示在数轴上如下： 注意是空心点. (2) 2(5x + 3) ≤ x - 3(1 - 2x)去括号，得 10x + 6 ≤ x - 3 + 6x移项，得 10x - x - 6x ≤ - 3 - 6合并同类项，得 3x ≤ - 9 系数化为 1，得 x ≤ - 3. 将解集表示在数轴上如下： 强调学生注意是实心点 设计意图：通过解具体的一元一次不等式，巩固所学的基础知识，从学生解不等式的过程，教师能够及时发现学生存在问题，将学生的错误作为生成性资源，从而加深学生对不等式解法原理的理解．并重新建立自己新的知识架构体系。 环节四：巩固新知，应用感悟 1. 把不等式 2x-2 <4 的解集在数轴上表示出来，正确的是( ) 【答案】D 【解析】解:将不等式移项得:2x<4+2.合并同类项得 : 2x< 6. 系数化为 1 得:x<3将不等式的解集表示在数轴上如下 故选 : D. 2.如果关于x 的不等式(a + 1)x > a + 1 的解集是x < 1 ，则a 的取值范围是( ) A. a > 1 B. a < 1 C. a ≥ 1 D. a ≤ 1 【答案】C 【解析】解：因为不等式(a + 1)x > a + 1 的解集是x < 1 ，所以a + 1 < 0 解得a <一1. 故选 : C. 3.解下列不等式： (1)3(1 一 x) ≤ x + 8； (2)12 一 2x ≥ 3(2x 一 3)． 【答案】解：(1)去括号得：3 一 3x ≤ x + 8， 移项合并得：一4x ≤ 5， 解得：x ≥ 一 ； (2)去括号得：12 一 2x ≥ 6x 一 9， 移项合并得：一8x ≥ 一 21， 解得：x ≤ . 4.已知不等式x + a ≥ 2(x + 2)的解集在数轴上的表示如图所示，求不等式ax + 5 > 3a的解集． 【答案】解：解不等式x + a ≥ 2(x + 2) ，得x ≤ a 一 4． 由题图知不等式x + a ≥ 2(x + 2)的解集为x ≤ 一 3， 所以a 一 4 =一 3 ，解得a = 1． 把a = 1 代入ax + 5 > 3a中，得x + 5 > 3， 所以x >一 2． 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用。在进一步巩固所学知识的同时去发现问题， 以便弥补知识的漏洞。 （五）课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容。 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是一元一次不等式？ 3.解一元一次不等式的目标是什么？ 设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$