精品解析：湖北省武汉市七一华源中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

七一华源中学2025年3月月考八年级数学试题 一、单选题（每小题3分，共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：，A错误； 是最简二次根式，B正确； ，C错误； ，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，掌握最简二次根式定义是解题的关键． 3. 若的三边分别为，，，下列给出的条件能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误． 根据二次根式的运算法则及性质即可解答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能相加，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 是一个正整数，则n的最小正整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知是一个最大完全平方数，据此即可求解． 【详解】解：∵，不是整数，不是整数，，不是整数， ∴的最小整数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，根据题意得是一个最大完全平方数是解题的关键． 6. 如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键第2025次得到的结果为． 根据勾股定理求出，因为，即可得到答案第2025次得到的结果为 【详解】解：， ， ， ， 点表示的数是 故选：A ． 7. 张大爷离家出门散步，他先向正东走了30 m，接着又向正南走了40 m，此时他离家的距离为(　　) A. 30 m B. 40 m C. 50 m D. 70 m 【答案】C 【解析】 【分析】画出示意图，然后根据勾股定理直接求得斜边，即为他离家的距离． 【详解】如图，由题意可得，∠ABC=90°， 所以他离家的距离AB==50m， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出示意图，并熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键. 8. 化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 9. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A. 28 B. 25 C. 30 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，然后，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点M ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 10. 代数式的最小值是（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，二次根式的性质，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 首先得到，如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可． 【详解】解：∵ ∴如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则， ∴在和中，根据勾股定理可得： ，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当点，，三点共线时，最小，即的最小值为的长， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：__________，__________，__________． 【答案】 ①. ## ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，，， 故答案为：；5；2． 12. 长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键明确长方形的面积长宽．根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， 故答案为：． 13. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 14. 如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，三角形的面积，圆的面积，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积再加上的面积减去以为直径的半圆的面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 以为直径半圆的面积； 以为直径半圆的面积； 以为直径半圆的面积； 的面积， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 15. a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．下列说法中：①能组成三角形；②能组成三角形；③c+h，a+b，h能组成直角三角形；④能组成直角三角形；正确的序号是_________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可． 【详解】解：，，是的三边，且，是斜边上的高， ①，不符合三角形的两边之和大于第三边； ∴不能组成三角形， ①错误； ②∵，； 又、、能组成三角形， ， ； ， ，，组成三角形（这里明显是最长边）； ，，能组成三角形， ②正确； ③，（直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半）， ， ， ， ， ， ， 、、能组成直角三角形； ③正确； ④不符合三角形的两边之和大于第三边； ，，不能组成直角三角形， ④错误． 正确的序号是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可． 16. 如图，等边中，点，分别在边和上，且，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平面直角坐标系的应用、二元一次方程组的求解及勾股定理的运用，解题的关键是通过建立坐标系确定各点坐标，利用直线上点的坐标关系列方程求交点，再用勾股定理计算线段长度． 设等边三角形边长为建立坐标系确定B、C、A的坐标；根据边长关系确定D、E的坐标；设直线和为含未知数的一次函数，结合两点坐标列方程确定函数表达式；联立方程求出交点M的坐标；用勾股定理计算的长度，结合的长度求出结果． 【详解】解：设等边的边长为则． 如图，建立平面直角坐标系，设． ∵是等边三角形，边长为作垂足为点G、 ∴，， ∴高，则． ∵点D在上，则； ∵点E在上，由可得，则， ∴E的横坐标为，纵坐标为，即． 设直线的方程为代入和得： ， 用第一个方程减第二个方程：，得， 代入第二个方程：，得， ∴直线的方程为． 设直线的方程为代入得 再代入：，得， ∴直线的方程为． 联立直线和的方程：． 得，两边除以得：， 解得，代入得，即． 计算的长度：由勾股定理得：， ， ∴． ∵， ∴， 代入得． ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算． （1）先化简各式，再进行计算即可； （2）利用除法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，整式的化简，正确计算是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证：连接，如图所示， 由题意，在中，， ∵，， ∴， ∴是为斜边的直角三角形， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． 20. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】（1）5 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； 【小问2详解】 解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 21. 如图是由小正方形组成的6×6网格．每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务．每个任务的直线不得超过三条 （1）在图（1）中，过点画线段，使（点在格点上），并且在上方； （2）在（1）的基础上，请画出的角平分线； （3）在图（1）中，在上，在边上找一点，使； （4）在图（2）中，，分别是，上的动点，，画出使得最小时，点的位置． 【答案】（1） 如图1，即为所求； （2）如图1，即为所求； （3）如图1，点即为所求； （4） 如图2，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质和轴对称的性质是解题的关键． （1）在点上方3格即为点，此时根据勾股定理得到； （2）点右边1格点，则，根据等腰三角形的性质作出的中点，连接即可； （3）根据等腰三角形的性质得到和关于对称，根据对称性作图，连接交于，连接与交点即为； （4）由正方形的性质作出格点，由可证明，得到，则最小时，连接与的交点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现；当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题； （1）当时，求的最小值为________； （2）当时，求的最小值； （3）拓展延伸：如图，已知，，在轴正半轴上，在轴正半轴上，的面积始终为，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）2 （2）11 （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式，灵活运用题干中结论是解题的关键． （1）利用题干中的结论得：，即可求解； （2），对算式中前两项利用题干中结论即可求解； （3）设，其中，由已知面积求得，即得点D的坐标，从而可求得，则由得到关于x的关系式，利用题干中结论即可求解． 【小问1详解】 解：， 当且仅当，即时取得最小值，且最小值为2； 故答案为：2； 【小问2详解】 解： 而， 当且仅当，即时，取得最小值8，从而y取得最小值； 故当时，的最小值为11； 【小问3详解】 解：设，其中，则； ∵， ∴， 即点D的坐标为， ∴， ． 当且仅当，即时，面积取得最小值； 故四边形面积的最小值为． 23. 中，． 问题背景如图（1），点为上一点，，．求证：． 问题探究如图（2），，．探究，和之间的数量关系，并给出证明． 问题拓展如图（3），点，分别在边和上，连接和交于点，，，，直接写出的长度． 【答案】 （1）证明：∵中，， ∴，． ∵， ∴， ∴即． ∵， ∴ ， ∴，故． 在和中，， ∴ ． （2）． 证明：将绕点A逆时针旋转至， ∵旋转后与重合，． ∵， ∵， 即． 在和中，， ∴ 故． ∵，且、被所截， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴（因 ，故是直角三角形． 在中，由勾股定理得：． ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转辅助线构造及勾股定理，解题的关键是利用等腰直角三角形的角特征，通过构造垂线辅助线建立相似三角形关系，结合相似比和方程求解边长，进而计算目标线段长度． （1）利用等腰直角三角形角的等量代换和垂直条件证及用证明 （2）通过旋转至构造全等，证得结合平行线内错角和角推，用勾股定理得 （3）作垂线构造等腰直角三角形，证明利用相似比列方程求结合等腰直角三角形性质和勾股定理求长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，自点D作与交于点自点E作交于点 ∵，则，又， ∴ ∴，即， 由知，则， ∴， 又与都是等腰直角三角形，则， ∴，则， ∵， ∴，化简得， 解得：（因不合题意舍去）， 因等腰直角中，， ∴， ∴， 则． 24. 如图，平面直角坐标系中．，（，均大于0），点在第二象限． （1）若，满足，求线段的长度． （2）如图（1），在（1）的条件下，若，求证：． （3）如图（2），若，，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，过点O作交的延长线于点D，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）求出，，然后根据勾股定理求出； （2）过点O作交的延长线于点D，连接，证明是等腰直角三角形，然后证明，得，，所以，然后利用勾股定理即可解决问题； （3）如图2，过点O作交的延长线于点H，过点C作交x轴于点G，证明是等腰直角三角形，得，设，得，证明，得，然后证明，得，设，，根据完全平方公式得，进而可以求的面积． 【小问1详解】 解：， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，过点O作交的延长线于点H，过点C作交x轴于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴ ， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七一华源中学2025年3月月考八年级数学试题 一、单选题（每小题3分，共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若的三边分别为，，，下列给出的条件能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 是一个正整数，则n的最小正整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 张大爷离家出门散步，他先向正东走了30 m，接着又向正南走了40 m，此时他离家的距离为(　　) A. 30 m B. 40 m C. 50 m D. 70 m 8. 化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 9. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A. 28 B. 25 C. 30 D. 24 10. 代数式的最小值是（ ） A. B. C. D. 10 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：__________，__________，__________． 12. 长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 _________________． 13. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是________． 14. 如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为__________． 15. a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．下列说法中：①能组成三角形；②能组成三角形；③c+h，a+b，h能组成直角三角形；④能组成直角三角形；正确的序号是_________． 16. 如图，等边中，点，分别在边和上，且，，则的长为__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简，再求值．，其中． 19. 如图，四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 20. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 21. 如图是由小正方形组成的6×6网格．每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务．每个任务的直线不得超过三条 （1）在图（1）中，过点画线段，使（点在格点上），并且在上方； （2）在（1）的基础上，请画出的角平分线； （3）在图（1）中，在上，在边上找一点，使； （4）在图（2）中，，分别是，上的动点，，画出使得最小时，点的位置． 22. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现；当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题； （1）当时，求的最小值为________； （2）当时，求的最小值； （3）拓展延伸：如图，已知，，在轴正半轴上，在轴正半轴上，的面积始终为，求四边形面积的最小值． 23. 中，． 问题背景如图（1），点为上一点，，．求证：． 问题探究如图（2），，．探究，和之间的数量关系，并给出证明． 问题拓展如图（3），点，分别在边和上，连接和交于点，，，，直接写出的长度． 24. 如图，平面直角坐标系中．，（，均大于0），点在第二象限． （1）若，满足，求线段的长度． （2）如图（1），在（1）的条件下，若，求证：． （3）如图（2），若，，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $